Simulare Evaluarea Națională nr. 31

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(36-2\cdot 6):4$ este: a) $5$ b) $6$ c) $24$ d) $9$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{12}=\frac{5}{6}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $72$ b) $15$ c) $10$ d) $2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,5,7\}$ și $B=\{1,3,5,9\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{3,5\}$ b) $\{1,2,7,9\}$ c) $\{3,5,7\}$ d) $\{1,2,3,5,7,9\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $120$ reprezintă: a) $90$ b) $40$ c) $150$ d) $36$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $18$ b) $9$ c) $11$ d) $7$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=4-\sqrt{15}$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=3$ cm și $BC=7$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $5$ cm b) $4$ cm c) $2$ cm d) $1$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $45^{\circ }$ b) $55^{\circ }$ c) $35^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $\sqrt{161}$ cm c) $17$ cm d) $289$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu latura $AB=6$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $12$ cm b) $\sqrt{12}$ cm c) $36$ cm d) $6\sqrt{2}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $64^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $32^{\circ }$ b) $64^{\circ }$ c) $16^{\circ }$ d) $128^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $240{\text{cm}}^3$ b) $74{\text{cm}}^3$ c) $15{\text{cm}}^3$ d) $120{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un rezervor este plin cu apă. În prima zi se folosește $20\%$ din apa aflată în rezervor, iar în a doua zi se folosește $30\%$ din apa rămasă. După aceste două zile, în rezervor mai rămân $560$ de litri de apă. a) (2 p) Arată că, după cele două zile, în rezervor a rămas $56\%$ din cantitatea inițială de apă. b) (3 p) Determină câți litri de apă au fost la început în rezervor și câți litri s-au folosit în fiecare dintre cele două zile.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2-5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul lunar (în lei) al unui abonament de internet mobil, în funcție de numărul $x$ de gigaocteți (GB) suplimentari consumați, este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x+20$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ (costul abonamentului fără GB suplimentari) și $f(3)$ (costul pentru $3$ GB suplimentari). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=5$ cm și $AC=12$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă decorativă are forma unei piramide triunghiulare regulate $VABC$, cu latura bazei $AB=12$ cm și înălțimea $VO=2$ cm ($O$ este centrul bazei, iar $M$ este mijlocul laturii $BC$). a) (2 p) Calculează lungimea apotemei piramidei $VM$. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(36-2\cdot 6):4=(36-12):4=24:4=6$.
2. c) $\frac{x}{12}=\frac{5}{6}\Rightarrow x=\frac{12\cdot 5}{6}=10$.
3. a) Elementele comune sunt $3$ și $5$, deci $A\cap B=\{3,5\}$.
4. d) $30\%\cdot 120=\frac{30}{100}\cdot 120=36$.
5. b) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=9$.
6. c) Cum $9<15<16$, avem $3<\sqrt{15}<4$, deci $0<4-\sqrt{15}<1$; prin urmare $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AC=AB+BC=3+7=10$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=5$ cm; $MB=AM-AB=5-3=2$ cm.
2. b) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. c) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. d) Diagonala pătratului cu latura $\ell$: $AC=\ell \sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm.
5. a) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 64^{\circ }=32^{\circ }$.
6. d) $V=AB\cdot BC\cdot A{A}^{\prime }=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $V$ cantitatea inițială de apă (în litri). a) (2 p) După prima zi rămâne $100\%-20\%=80\%$ din $V$ (1 p). În a doua zi se folosește $30\%$ din rest $=30\%\cdot 80\%=24\%$ din $V$, deci rămâne $80\%-24\%=56\%$ din $V$ (1 p). b) (3 p) Cantitatea rămasă este $56\%\cdot V=560$ (1 p) $\Rightarrow V=\frac{560}{0,56}=1000$ litri (1 p). În prima zi s-au folosit $20\%\cdot 1000=200$ litri, iar în a doua zi $30\%\cdot 800=240$ litri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2-5x=x(x-5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclud $x=0$ și $x=5$, rămân $x\in \{-5,-1,1\}$ (1 p) (verificare: $E(-5)=0$, $E(-1)=-4$, $E(1)=6$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=5\cdot 0+20=20$ (lei) (1 p); $f(3)=5\cdot 3+20=35$ (lei) (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 5x+20=0\Rightarrow x=-4$, deci $A(-4,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=20$, deci $B(0,20)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu $OA=4$ și $OB=20$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{4\cdot 20}{2}=40$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=12$, cateta alăturată $AB=5$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13},\mathrm{tg}B=\frac{12}{5}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=5+12+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei (triunghi echilateral cu latura $12$): $OM=\frac{AB\sqrt{3}}{6}=\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$ cm. Triunghiul $VOM$ dreptunghic în $O$: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$ cm (2 p). b) (3 p) Perimetrul bazei $P_{baza}=3\cdot 12=36$ cm; aria laterală: $A_{\ell }=\frac{P_{baza}\cdot VM}{2}=\frac{36\cdot 4}{2}=72{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria bazei $A_b=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$; aria totală $A_t=A_{\ell }+A_b=72+36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 36\sqrt{3}\cdot 2=24\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.