Simulare Evaluarea Națională nr. 32

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $18:2+3\cdot 4$ este: a) $16$ b) $21$ c) $48$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{10}=\frac{3}{5}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $15$ b) $2$ c) $6$ d) $50$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,4,6,8\}$ și $B=\{4,8,12\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{4,8\}$ b) $\{2,6\}$ c) $\{4\}$ d) $\{4,8,12\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $15\%$ din numărul $60$ reprezintă: a) $4$ b) $45$ c) $75$ d) $9$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=5$ este: a) $12$ b) $6$ c) $5$ d) $7$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{7}-2$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $8$ cm c) $3$ cm d) $5$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $90^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $55^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=5$ cm și $AC=12$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $17$ cm b) $\sqrt{119}$ cm c) $169$ cm d) $13$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ cm și $BC=12$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $28$ cm b) $20$ cm c) $\sqrt{112}$ cm d) $192$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $40^{\circ }$ b) $80^{\circ }$ c) $20^{\circ }$ d) $160^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cilindrul circular drept cu raza bazei $r=3$ cm și înălțimea $h=10$ cm. Volumul cilindrului este egal cu:

a) $30\pi {\text{cm}}^3$ b) $900\pi {\text{cm}}^3$ c) $90\pi {\text{cm}}^3$ d) $180\pi {\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un depozit are un stoc de mere. În prima zi vinde $30\%$ din stoc, în a doua zi vinde $20\%$ din ce a rămas, iar în a treia zi vinde ultimele $168$ kg. a) (2 p) Arată că în a doua zi depozitul a vândut mai puțin decât în prima zi. b) (3 p) Determină stocul inițial de mere.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2+4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte La un curs de înot, costul total plătit de un elev este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=20x+50$, unde $x$ este numărul de ședințe, taxa de înscriere este de $50$ de lei, iar fiecare ședință costă $20$ de lei. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(6)$ și precizează cât plătește un elev care participă la $6$ ședințe. b) (3 p) Un elev a plătit în total $250$ de lei. Determină la câte ședințe a participat.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=9$ cm și $AC=12$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=6$ cm. a) (2 p) Calculează aria totală a cubului. b) (3 p) Calculează volumul cubului, lungimea diagonalei unei fețe $AC$ și lungimea diagonalei cubului $AG$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $18:2+3\cdot 4=9+12=21$.
2. c) $\frac{x}{10}=\frac{3}{5}\Rightarrow x=\frac{10\cdot 3}{5}=6$.
3. a) Elementele comune sunt $4$ și $8$, deci $A\cap B=\{4,8\}$.
4. d) $15\%\cdot 60=\frac{15}{100}\cdot 60=9$.
5. b) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+5}{2}=6$.
6. c) Cum $4<7<9$, avem $2<\sqrt{7}<3$, deci $0<\sqrt{7}-2<1$, adică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-6=2$ cm.
2. c) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. d) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm.
4. b) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$ cm.
5. a) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. c) $V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 3^2\cdot 10=\pi \cdot 9\cdot 10=90\pi {\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ stocul inițial. a) (2 p) Ziua întâi: $30\%$ din $S$. Ziua a doua: $20\%$ din rest $=20\%\cdot 70\%\cdot S=14\%$ din $S$ (1 p). Cum $14\%<30\%$, în a doua zi s-a vândut mai puțin decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a vândut $30\%+14\%=44\%$ din $S$, deci a rămas $56\%\cdot S$ (1 p). Acest rest a fost vândut a treia zi: $56\%\cdot S=168$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{168}{0,56}=300$ kg (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2+4x=x(x+4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}=\frac{x-4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x-4}{x}=1-\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=-4$, rămân $x\in \{-2,-1,1,2,4\}$ (1 p) (verificare: $E(-2)=3$, $E(-1)=5$, $E(1)=-3$, $E(2)=-1$, $E(4)=0$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=20\cdot 0+50=50$ (1 p); $f(6)=20\cdot 6+50=120+50=170$, deci un elev care participă la $6$ ședințe plătește $170$ de lei (1 p). b) (3 p) Costul total este $250$ de lei: $20x+50=250$ (1 p) $\Rightarrow 20x=200$ (1 p) $\Rightarrow x=10$, deci elevul a participat la $10$ ședințe (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=12$, cateta alăturată $AB=9$, ipotenuza $BC=15$. $$\sin B=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},\cos B=\frac{9}{15}=\frac{3}{5},\mathrm{tg}B=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=9+12+15=36$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Cubul are $6$ fețe pătrate cu latura $AB=6$ cm, deci aria totală: $A_t=6\cdot A{B}^2=6\cdot 6^2=6\cdot 36=216{\text{cm}}^2$ (2 p). b) (3 p) Volumul: $V=A{B}^3=6^3=216{\text{cm}}^3$ (1 p). Diagonala unei fețe: $AC=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm (1 p). Diagonala cubului: $AG=AB\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ cm (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.