Simulare Evaluarea Națională nr. 34

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(45+3\cdot 5):6$ este: a) $8$ b) $10$ c) $40$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $12$ b) $20$ c) $3$ d) $19$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,4,6,8\}$ și $B=\{1,2,3,4,5\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{2,4,6,8\}$ b) $\{1,2,3,4,5\}$ c) $\{2,4\}$ d) $\{1,2,3,4,5,6,8\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un produs costă $120$ de lei și se scumpește cu $20\%$. Noul preț al produsului este: a) $140$ lei b) $100$ lei c) $24$ lei d) $144$ lei

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=5$ este: a) $7$ b) $6$ c) $12$ d) $35$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=4-\sqrt{15}$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $8$ cm c) $6$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $55^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $45^{\circ }$ b) $35^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ cu latura $AB=6$ cm și înălțimea $CF$. Lungimea înălțimii $CF$ este egală cu:

a) $6\sqrt{3}$ cm b) $3$ cm c) $3\sqrt{3}$ cm d) $9$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=9$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $15$ cm b) $21$ cm c) $\sqrt{63}$ cm d) $225$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $80^{\circ }$ b) $20^{\circ }$ c) $40^{\circ }$ d) $160^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $AE=3$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $13{\text{cm}}^3$ b) $108{\text{cm}}^3$ c) $144{\text{cm}}^3$ d) $72{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un bazin conține o cantitate de apă. În prima zi se folosește $30\%$ din apa din bazin, în a doua zi se folosește $20\%$ din apa rămasă, iar în a treia zi se golesc ultimii $560$ de litri rămași. a) (2 p) Arată că în a doua zi s-a folosit mai puțină apă decât în prima zi. b) (3 p) Determină cantitatea inițială de apă din bazin.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2+4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte O firmă de livrare pizza percepe pentru o comandă un cost de bază de $6$ lei, la care se adaugă câte $3$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. Costul total al unei livrări, în funcție de distanța $x$ (în km), este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+6$. a) (2 p) Calculează costul unei livrări la o distanță de $4$ km, adică $f(4)$, și valoarea $f(0)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ cm și $AD=12$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide patrulatere regulate $VABCD$, cu latura bazei $AB=8$ cm și înălțimea $VO=3$ cm ($O$ este centrul bazei, $M$ este mijlocul laturii $BC$). a) (2 p) Calculează lungimea apotemei piramidei $VM$. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(45+3\cdot 5):6=(45+15):6=60:6=10$.
2. a) $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}\Rightarrow x=\frac{15\cdot 4}{5}=12$.
3. c) Elementele comune sunt $2$ și $4$, deci $A\cap B=\{2,4\}$.
4. d) Scumpirea este $20\%\cdot 120=24$ lei, deci noul preț $=120+24=144$ lei.
5. b) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+5}{2}=6$.
6. c) Cum $16>15>9$, avem $3<\sqrt{15}<4$, deci $0<4-\sqrt{15}<1$, adică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-6=2$ cm.
2. b) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-55^{\circ }-90^{\circ }=35^{\circ }$.
3. c) Înălțimea triunghiului echilateral de latură $\ell$ este $h=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm.
4. a) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.
5. c) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. d) $V=AB\cdot BC\cdot AE=6\cdot 4\cdot 3=72{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ cantitatea inițială de apă (în litri). a) (2 p) Prima zi: se folosește $30\%$ din $S$. A doua zi: $20\%$ din rest $=20\%\cdot 70\%\cdot S=14\%$ din $S$ (1 p). Cum $14\%<30\%$, în a doua zi s-a folosit mai puțină apă decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a folosit $30\%+14\%=44\%$ din $S$, deci a rămas $56\%\cdot S$ (1 p). Acest rest s-a golit în a treia zi: $56\%\cdot S=560$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{560}{0,56}=1000$ litri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2+4x=x(x+4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}=\frac{x-4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x-4}{x}=1-\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=-4$, rămân $x\in \{-2,-1,1,2,4\}$ (1 p) (verificare: $E(-2)=3$, $E(-1)=5$, $E(1)=-3$, $E(2)=-1$, $E(4)=0$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(4)=3\cdot 4+6=18$ lei (costul livrării la $4$ km) (1 p); $f(0)=3\cdot 0+6=6$ lei (costul de bază) (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 3x+6=0\Rightarrow x=-2$, deci $A(-2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=6$, deci $B(0,6)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 6}{2}=6$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(16+12)=56$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=16\cdot 12=192{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=5$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{5}{13},\cos B=\frac{12}{13},\mathrm{tg}B=\frac{5}{12}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+5+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei: $OM=\frac{AB}{2}=4$ cm. Triunghiul $VOM$ dreptunghic în $O$: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ cm (2 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{\ell }=\frac{P_{baza}\cdot VM}{2}=\frac{(4\cdot 8)\cdot 5}{2}=\frac{32\cdot 5}{2}=80{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria bazei $A_b=8^2=64{\text{cm}}^2$; aria totală $A_t=80+64=144{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 3=64{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.