Simulare Evaluarea Națională nr. 35

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(15+3\cdot 5):6$ este: a) $3$ b) $5$ c) $30$ d) $15$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{9}=\frac{4}{3}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $27$ b) $16$ c) $12$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră intervalele $A=(-3,2]$ și $B=[0,5)$. Intersecția $A\cap B$ este intervalul: a) $[0,2]$ b) $(-3,5)$ c) $(0,2]$ d) $[0,2)$

Exercițiul 4 · 5 puncte $15\%$ din numărul $60$ reprezintă: a) $45$ b) $4$ c) $75$ d) $9$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $18$ b) $9$ c) $4$ d) $8$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=2-\sqrt{5}$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=3$ cm și $BC=9$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $6$ cm b) $3$ cm c) $9$ cm d) $1,5$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $\sqrt{161}$ cm c) $17$ cm d) $289$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ ($AB\parallel CD$, $AD\perp AB$), cu bazele $AB=9$ cm și $CD=5$ cm și înălțimea $AD=6$ cm. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

a) $42{\text{cm}}^2$ b) $84{\text{cm}}^2$ c) $54{\text{cm}}^2$ d) $24{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $64^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $64^{\circ }$ b) $32^{\circ }$ c) $16^{\circ }$ d) $128^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu dimensiunile $AB=5$ cm, $BC=4$ cm și $AE=3$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $12{\text{cm}}^3$ b) $120{\text{cm}}^3$ c) $20{\text{cm}}^3$ d) $60{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Familia Ionescu are strânsă o sumă de bani drept economii. Într-o lună folosește $25\%$ din economii pentru o reparație, apoi $20\%$ din suma rămasă pentru cărți; după aceste cheltuieli familiei îi mai rămân $480$ de lei. a) (2 p) Arată că pentru cărți familia a folosit o sumă mai mică decât pentru reparație. b) (3 p) Determină suma inițială a economiilor familiei.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2-4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul lunar plătit pentru energia electrică este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=0,8x+20$, unde $x$ reprezintă consumul, în kWh, iar $f(x)$ este costul, în lei ($20$ lei abonament fix și $0,8$ lei pentru fiecare kWh consumat). a) (2 p) Calculează costul plătit pentru un consum de $0$ kWh și pentru un consum de $50$ kWh. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=9$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă decorativă are forma unui tetraedru regulat $ABCD$ (toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale congruente), cu muchia de $6$ cm. Se notează cu $O$ centrul feței $ABC$. a) (2 p) Calculează aria totală a tetraedrului. b) (3 p) Calculează înălțimea $DO$ a tetraedrului și volumul acestuia.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(15+3\cdot 5):6=(15+15):6=30:6=5$.
2. c) $\frac{x}{9}=\frac{4}{3}\Rightarrow x=\frac{9\cdot 4}{3}=12$.
3. a) $A\cap B$ conține numerele reale mai mari sau egale cu $0$ și cel mult egale cu $2$, deci $A\cap B=[0,2]$.
4. d) $15\%\cdot 60=\frac{15}{100}\cdot 60=9$.
5. b) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=9$.
6. a) Cum $5>4$, avem $\sqrt{5}>2$, deci $a=2-\sqrt{5}<0$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AC=AB+BC=3+9=12$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=6$ cm; $MB=AM-AB=6-3=3$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. c) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. a) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}=\frac{(9+5)\cdot 6}{2}=\frac{14\cdot 6}{2}=42{\text{cm}}^2$.
5. b) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 64^{\circ }=32^{\circ }$.
6. d) $V=AB\cdot BC\cdot AE=5\cdot 4\cdot 3=60{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ suma inițială a economiilor. a) (2 p) Pentru reparație s-a folosit $25\%$ din $S$. Pentru cărți s-a folosit $20\%$ din rest $=20\%\cdot 75\%\cdot S=15\%$ din $S$ (1 p). Cum $15\%<25\%$, pentru cărți s-a folosit o sumă mai mică decât pentru reparație (1 p). b) (3 p) După cele două cheltuieli s-a folosit $25\%+15\%=40\%$ din $S$, deci a rămas $60\%\cdot S$ (1 p). Acest rest reprezintă cei $480$ de lei: $60\%\cdot S=480$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{480}{0,6}=800$ de lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2-4x=x(x-4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x-4)}=\frac{x+4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclud $x=0$ și $x=4$, rămân $x\in \{-4,-2,-1,1,2\}$ (1 p) (verificare: $E(-4)=0$, $E(-2)=-1$, $E(-1)=-3$, $E(1)=5$, $E(2)=3$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=0,8\cdot 0+20=20$ lei (1 p); $f(50)=0,8\cdot 50+20=40+20=60$ lei (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 0,8x+20=0\Rightarrow x=-25$, deci $A(-25,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=20$, deci $B(0,20)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{25\cdot 20}{2}=250$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=9$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=15$. $$\sin B=\frac{9}{15}=\frac{3}{5},\cos B=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},\mathrm{tg}B=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+9+15=36$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Toate fețele sunt triunghiuri echilaterale cu latura de $6$ cm. a) (2 p) Aria unei fețe: ${\mathcal{A}}_f=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria totală (4 fețe): ${\mathcal{A}}_t=4\cdot 9\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) $O$ este centrul de greutate al triunghiului echilateral $ABC$; înălțimea triunghiului $ABC$ este $\frac{\ell \sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$, iar $AO=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ cm (1 p). În triunghiul $DOA$ dreptunghic în $O$: $DO=\sqrt{D{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot {\mathcal{A}}_{ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.