Simulare Evaluarea Națională nr. 40

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $18+4\cdot (10-7)$ este: a) $30$ b) $66$ c) $51$ d) $90$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{12}{x}=\frac{3}{5}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $7,2$ b) $20$ c) $4$ d) $36$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{3,4,5\}$. Reuniunea $A\cup B$ este mulțimea: a) $\{3\}$ b) $\{1,2,4,5\}$ c) $\{1,2,3,4,5\}$ d) $\{2,3,4\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $180$ b) $30$ c) $5$ d) $45$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=5$ este: a) $12$ b) $6$ c) $2$ d) $7$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{7}-2$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=8$ cm și $BC=4$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $6$ cm c) $4$ cm d) $1$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $55^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $145^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $35^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ cu latura $AB=8$ cm. Lungimea înălțimii din vârful $C$ este egală cu:

a) $8\sqrt{3}$ cm b) $4\sqrt{3}$ cm c) $16$ cm d) $4$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=9$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $21$ cm b) $15$ cm c) $225$ cm d) $108$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $80^{\circ }$ b) $160^{\circ }$ c) $40^{\circ }$ d) $20^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $MNP$ cu latura $MN=6$ cm. Aria triunghiului $MNP$ este egală cu:

a) $36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ b) $18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ c) $9{\text{cm}}^2$ d) $9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un magazin de îmbrăcăminte are un stoc de tricouri. În prima zi vinde $35\%$ din stoc, în a doua zi vinde $20\%$ din câte au rămas, iar în a treia zi vinde ultimele $260$ de tricouri. a) (2 p) Arată că în a doua zi magazinul a vândut mai puține tricouri decât în prima zi. b) (3 p) Determină stocul inițial de tricouri.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2-4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma de plată de pe factura la apă a unei familii se calculează cu funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+12$, unde $x$ reprezintă numărul de metri cubi (${\text{m}}^3$) de apă consumați, iar $f(x)$ este suma de plată, în lei (abonamentul fix plus costul pe ${\text{m}}^3$). a) (2 p) Calculează $f(0)$ (abonamentul lunar) și $f(3)$ (plata pentru $3{\text{m}}^3$). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=9$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=4$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea diagonalei unei fețe $AC$ și lungimea diagonalei cubului $AG$. b) (3 p) Calculează aria totală și volumul cubului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $18+4\cdot (10-7)=18+4\cdot 3=18+12=30$.
2. b) $\frac{12}{x}=\frac{3}{5}\Rightarrow 3x=12\cdot 5=60\Rightarrow x=20$.
3. c) Reuniunea conține toate elementele, fără repetare: $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$.
4. d) $30\%\cdot 150=\frac{30}{100}\cdot 150=45$.
5. b) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+5}{2}=6$.
6. c) Cum $4<7<9$, avem $2<\sqrt{7}<3$, deci $0<\sqrt{7}-2<1$, adică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $AC=AB+BC=8+4=12$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=6$ cm; $MB=AB-AM=8-6=2$ cm.
2. c) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-55^{\circ }-90^{\circ }=35^{\circ }$.
3. b) Înălțimea triunghiului echilateral de latură $\ell$ este $h=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ cm.
4. b) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.
5. c) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. d) Aria triunghiului echilateral de latură $\ell$ este $\mathcal{A}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ stocul inițial de tricouri. a) (2 p) Ziua întâi: $35\%$ din $S$. Ziua a doua: $20\%$ din rest $=20\%\cdot 65\%\cdot S=13\%$ din $S$ (1 p). Cum $13\%<35\%$, în a doua zi s-au vândut mai puține tricouri decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a vândut $35\%+13\%=48\%$ din $S$, deci a rămas $52\%\cdot S$ (1 p). Acest rest a fost vândut a treia zi: $52\%\cdot S=260$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{260}{0,52}=500$ de tricouri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2-4x=x(x-4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x-4)}=\frac{x+4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclud $x=0$ și $x=4$, rămân $x\in \{-4,-2,-1,1,2\}$ (1 p) (verificare: $E(-4)=0$, $E(2)=3$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=4\cdot 0+12=12$ lei (abonamentul) (1 p); $f(3)=4\cdot 3+12=24$ lei (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 4x+12=0\Rightarrow x=-3$, deci $A(-3,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=12$, deci $B(0,12)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{3\cdot 12}{2}=18$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=9$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=15$. $$\sin B=\frac{9}{15}=\frac{3}{5},\cos B=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},\mathrm{tg}B=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+9+15=36$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Diagonala feței: triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$, $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ cm (1 p). Diagonala cubului: triunghiul $ACG$ dreptunghic în $C$, $AG=\sqrt{A{C}^2+C{G}^2}=\sqrt{(4\sqrt{2}{)}^2+4^2}=\sqrt{32+16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm (1 p). b) (3 p) Aria unei fețe $=A{B}^2=4^2=16{\text{cm}}^2$ (1 p); aria totală $A_t=6\cdot 16=96{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=A{B}^3=4^3=64{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (triunghi echilateral, Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (cubul: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.