Simulare Evaluarea Națională nr. 41

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(15 + 3 \cdot 7) : 6$ este: a) $6$ b) $21$ c) $9$ d) $18$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{6} = \frac{7}{2}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $42$ b) $14$ c) $21$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A = {1, 2, 4, 6}$ și $B = {2, 3, 6, 9}$ . Intersecția $A \cap B$ este mulțimea: a) ${2}$ b) ${2, 3, 6, 9}$ c) ${1, 2, 4, 6}$ d) ${2, 6}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $40%$ din numărul $70$ reprezintă: a) $30$ b) $28$ c) $42$ d) $14$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a = 81$ și $b = 5$ este: a) $14$ b) $7$ c) $2$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 7 - 2$ . Atunci: a) $a < 0$ b) $a = 0$ c) $0 < a < 1$ d) $a > 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 3$ cm și $B C = 11$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $7$ cm c) $2$ cm d) $3$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $3 5^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este drept. Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $4 5^{\circ}$ b) $9 0^{\circ}$ c) $5 5^{\circ}$ d) $12 5^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 20$ cm și $A C = 21$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $41$ cm b) $29$ cm c) $841$ cm d) $41$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $A B C D$ cu $A B ∥ C D$ , $A B = 14$ cm, $C D = 8$ cm și înălțimea $A D = 5$ cm. Aria trapezului $A B C D$ este egală cu:

a) $110 cm^{2}$ b) $70 cm^{2}$ c) $44 cm^{2}$ d) $55 cm^{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ , în care $A B$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $B C$ este de $8 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $4 0^{\circ}$ b) $8 0^{\circ}$ c) $2 0^{\circ}$ d) $16 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D E F G H$ cu muchia $A B = 4$ cm. Volumul cubului este egal cu:

a) $16 cm^{3}$ b) $48 cm^{3}$ c) $64 cm^{3}$ d) $96 cm^{3}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un teren are suprafața totală $S$ (în metri pătrați). Pe $30%$ din teren se construiește o casă, pe $25%$ din suprafața rămasă se amenajează o grădină, iar restul de $420$ mp rămâne liber. a) (2 p) Arată că grădina ocupă o suprafață mai mică decât casa. b) (3 p) Determină suprafața totală $S$ a terenului.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} + 4 x}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 0$ și $x \neq = - 4$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x - 4}{x}$ , pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E (x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Salariul lunar al unui agent de vânzări este format dintr-o parte fixă de $1500$ lei, la care se adaugă un comision de $30$ lei pentru fiecare produs vândut. Notăm cu $x$ numărul de produse vândute într-o lună și cu $f (x)$ salariul corespunzător, $f : R \to R$ , $f (x) = 30 x + 1500$ . a) (2 p) Calculează $f (0)$ și $f (20)$ și precizează ce reprezintă fiecare valoare. b) (3 p) Determină câte produse a vândut agentul într-o lună în care a primit un salariu de $3300$ lei.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 21$ cm și $B C = 20$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $A B C D$ . b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $A C$ și aria dreptunghiului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 21$ cm și $A C = 20$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) (3 p) Calculează $sin B$ , $cos B$ , $tg B$ și perimetrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $A B C D E F G H$ cu dimensiunile $A B = 20$ cm, $B C = 21$ cm și $A E = 10$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea diagonalei bazei $A C$ . b) (3 p) Calculează volumul și aria totală ale paralelipipedului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	a)	c)	d)	b)	b)	c)

a) $(15 + 3 \cdot 7) : 6 = (15 + 21) : 6 = 36 : 6 = 6$ .
c) $\frac{x}{6} = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$ .
d) Elementele comune sunt $2$ și $6$ , deci $A \cap B = {2, 6}$ .
b) $40% \cdot 70 = \frac{40}{100} \cdot 70 = 28$ .
b) $a = 81 = 9$ ; media $= \frac{9 + 5}{2} = 7$ .
c) Cum $4 < 7 < 9$ , avem $2 < 7 < 3$ , deci $0 < 7 - 2 < 1$ , adică $0 < a < 1$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	a)	c)	b)	d)	a)	c)

a) $A C = A B + B C = 3 + 11 = 14$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 7$ cm; $M B = A M - A B = 7 - 3 = 4$ cm.
c) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} - 9 0^{\circ} = 5 5^{\circ}$ .
b) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 2 0^{2} + 2 1^{2} = 400 + 441 = 841 = 29$ cm.
d) $A_{A B C D} = \frac{( A B + C D ) \cdot A D}{2} = \frac{( 14 + 8 ) \cdot 5}{2} = \frac{22 \cdot 5}{2} = 55 cm^{2}$ .
a) Unghiul $B A C$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $B C$ , deci $m (∠ B A C) = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .
c) $V = ℓ^{3} = 4^{3} = 64 cm^{3}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ suprafața totală a terenului. a) (2 p) Casa ocupă $30%$ din $S$ . Suprafața rămasă după casă este $70%$ din $S$ , iar grădina ocupă $25%$ din aceasta: $25% \cdot 70% = 17, 5%$ din $S$ (1 p). Cum $17, 5% < 30%$ , grădina ocupă o suprafață mai mică decât casa (1 p). b) (3 p) Casa și grădina ocupă împreună $30% + 17, 5% = 47, 5%$ din $S$ , deci suprafața liberă este $100% - 47, 5% = 52, 5%$ din $S$ (1 p). Aceasta este de $420$ mp: $52, 5% \cdot S = 420$ (1 p) $\Rightarrow S = \frac{420}{0 , 525} = 800$ mp (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ și $x^{2} + 4 x = x (x + 4)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x ( x + 4 )} = \frac{x - 4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E (x) = \frac{x - 4}{x} = 1 - \frac{4}{x}$ (1 p); $E (x) \in Z \Leftrightarrow x ∣ 4$ , deci $x \in {- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x = - 4$ , rămân $x \in {- 2, - 1, 1, 2, 4}$ (1 p) (verificare: $E (- 2) = 3$ , $E (- 1) = 5$ , $E (1) = - 3$ , $E (2) = - 1$ , $E (4) = 0$ ).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (0) = 30 \cdot 0 + 1500 = 1500$ – salariul lunii în care nu vinde niciun produs (partea fixă) (1 p); $f (20) = 30 \cdot 20 + 1500 = 600 + 1500 = 2100$ – salariul pentru $20$ de produse vândute (1 p). b) (3 p) Salariul de $3300$ lei înseamnă $f (x) = 3300$ , adică $30 x + 1500 = 3300$ (1 p) $\Rightarrow 30 x = 1800$ (1 p) $\Rightarrow x = 60$ produse (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{A B C D} = 2 (A B + B C) = 2 (21 + 20) = 82$ cm. b) (3 p) Diagonala: $A C = A B^{2} + B C^{2} = 2 1^{2} + 2 0^{2} = 441 + 400 = 841 = 29$ cm (2 p). Aria: $A_{A B C D} = A B \cdot B C = 21 \cdot 20 = 420 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B C = A B^{2} + A C^{2} = 2 1^{2} + 2 0^{2} = 441 + 400 = 841 = 29$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$ : cateta opusă $A C = 20$ , cateta alăturată $A B = 21$ , ipotenuza $B C = 29$ . $sin B = \frac{20}{29}, cos B = \frac{21}{29}, tg B = \frac{20}{21} (2 p) .$ Perimetrul: $P = A B + A C + B C = 21 + 20 + 29 = 70$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Baza $A B C D$ este dreptunghi cu $A B = 20$ cm și $B C = 21$ cm. Diagonala bazei: $A C = A B^{2} + B C^{2} = 2 0^{2} + 2 1^{2} = 400 + 441 = 841 = 29$ cm (2 p). b) (3 p) Volumul: $V = A B \cdot B C \cdot A E = 20 \cdot 21 \cdot 10 = 4200 cm^{3}$ (1 p). Aria totală: $A_{t} = 2 (A B \cdot B C + A B \cdot A E + B C \cdot A E) = 2 (20 \cdot 21 + 20 \cdot 10 + 21 \cdot 10) = 2 (420 + 200 + 210) = 2 \cdot 830 = 1660 cm^{2}$ (2 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.