Simulare Evaluarea Națională nr. 42

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(36-4\cdot 3):6$ este: a) $16$ b) $4$ c) $24$ d) $9$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{15}=\frac{3}{5}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $25$ b) $5$ c) $9$ d) $45$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,5,7\}$ și $B=\{2,4,6\}$. Numărul de elemente ale mulțimii $A\cup B$ este egal cu: a) $6$ b) $1$ c) $7$ d) $9$

Exercițiul 4 · 5 puncte $15\%$ din numărul $240$ reprezintă: a) $16$ b) $24$ c) $360$ d) $36$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{81}$ și $b=5$ este: a) $7$ b) $14$ c) $2$ d) $45$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{7}-2$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=3$ cm și $BC=9$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $3$ cm b) $6$ cm c) $1$ cm d) $4,5$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $35^{\circ }$ b) $55^{\circ }$ c) $145^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $289$ cm c) $17$ cm d) $\sqrt{161}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=9$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $225$ cm b) $21$ cm c) $\sqrt{48}$ cm d) $15$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $80^{\circ }$ b) $40^{\circ }$ c) $160^{\circ }$ d) $20^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu $AB=8$ cm, $BC=5$ cm și $AE=3$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $40{\text{cm}}^3$ b) $158{\text{cm}}^3$ c) $120{\text{cm}}^3$ d) $26{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Într-o zi, Andrei trimite mesaje de pe telefon. Dimineața trimite $20\%$ din numărul total de mesaje ale zilei, la prânz trimite jumătate ($50\%$) din mesajele rămase, iar seara trimite ultimele $120$ de mesaje. a) (2 p) Arată că la prânz Andrei a trimis mai multe mesaje decât dimineața. b) (3 p) Determină numărul total de mesaje trimise de Andrei în acea zi.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2-4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte O firmă de curierat percepe pentru o livrare o taxă fixă de $6$ lei, la care se adaugă câte $2$ lei pentru fiecare colet transportat. Costul total, în lei, pentru transportul a $x$ colete este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+6$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(4)$ (costul pentru $0$, respectiv pentru $4$ colete). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ cm și $AD=12$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=5$ cm și $AC=12$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide patrulatere regulate $VABCD$, cu latura bazei $AB=12$ cm și înălțimea $VO=8$ cm ($O$ este centrul bazei, $M$ este mijlocul laturii $BC$). a) (2 p) Calculează lungimea apotemei piramidei $VM$. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(36-4\cdot 3):6=(36-12):6=24:6=4$.
2. c) $\frac{x}{15}=\frac{3}{5}\Rightarrow x=\frac{15\cdot 3}{5}=9$.
3. a) $A\cup B=\{2,3,4,5,6,7\}$, care are $6$ elemente.
4. d) $15\%\cdot 240=\frac{15}{100}\cdot 240=36$.
5. a) $a=\sqrt{81}=9$; media $=\frac{9+5}{2}=7$.
6. c) Cum $4<7<9$, avem $2<\sqrt{7}<3$, deci $0<\sqrt{7}-2<1$, adică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $AC=AB+BC=3+9=12$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=6$ cm; $MB=AM-AB=6-3=3$ cm.
2. b) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. c) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. d) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.
5. b) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. c) $V=AB\cdot BC\cdot AE=8\cdot 5\cdot 3=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $N$ numărul total de mesaje. a) (2 p) Dimineața: $20\%$ din $N$. La prânz: $50\%$ din rest $=50\%\cdot 80\%\cdot N=40\%$ din $N$ (1 p). Cum $40\%>20\%$, la prânz a trimis mai multe mesaje decât dimineața (1 p). b) (3 p) După dimineață și prânz s-a trimis $20\%+40\%=60\%$ din $N$, deci au rămas $40\%\cdot N$ (1 p). Aceste mesaje au fost trimise seara: $40\%\cdot N=120$ (1 p) $\Rightarrow N=\frac{120}{0,40}=300$ mesaje (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2-4x=x(x-4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x-4)}=\frac{x+4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=4$, rămân $x\in \{-4,-2,-1,1,2\}$ (1 p) (verificare: $E(-4)=0$, $E(-2)=-1$, $E(-1)=-3$, $E(1)=5$, $E(2)=3$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=2\cdot 0+6=6$ (1 p); $f(4)=2\cdot 4+6=14$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 2x+6=0\Rightarrow x=-3$, deci $A(-3,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=6$, deci $B(0,6)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{3\cdot 6}{2}=9$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(16+12)=56$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=16\cdot 12=192{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=12$, cateta alăturată $AB=5$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13},\mathrm{tg}B=\frac{12}{5}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=5+12+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei: $OM=\frac{AB}{2}=6$ cm. Triunghiul $VOM$ dreptunghic în $O$: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm (2 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{\ell }=\frac{P_{baza}\cdot VM}{2}=\frac{48\cdot 10}{2}=240{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria bazei $A_b=12^2=144{\text{cm}}^2$; aria totală $A_t=240+144=384{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 8=384{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.