Simulare Evaluarea Națională nr. 43

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(12+6\cdot 3):6$ este: a) $30$ b) $5$ c) $9$ d) $15$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{14}=\frac{5}{7}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $10$ b) $70$ c) $2$ d) $35$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,4,6,8\}$ și $B=\{4,8,12\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{2,6\}$ b) $\{4,8,12\}$ c) $\{4,8\}$ d) $\{2,4,6,8,12\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $30$ b) $50$ c) $120$ d) $45$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $18$ b) $9$ c) $8$ d) $4$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=4-\sqrt{15}$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $8$ cm b) $16$ cm c) $4$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $25^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $25^{\circ }$ b) $65^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $115^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=10$ cm și $AC=24$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $26$ cm b) $34$ cm c) $676$ cm d) $14$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu latura $AB=6$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $12$ cm b) $36$ cm c) $6\sqrt{2}$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $50^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $50^{\circ }$ b) $100^{\circ }$ c) $12,5^{\circ }$ d) $25^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=4$ cm. Volumul cubului este egal cu:

a) $16{\text{cm}}^3$ b) $64{\text{cm}}^3$ c) $96{\text{cm}}^3$ d) $48{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte O prăjitorie are un stoc de cafea boabe. În prima zi vinde $30\%$ din stoc, în a doua zi vinde $20\%$ din cantitatea rămasă, iar în a treia zi vinde ultimele $168$ kg de cafea. a) (2 p) Arată că în a doua zi prăjitoria a vândut mai puțină cafea decât în prima zi. b) (3 p) Determină stocul inițial de cafea.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2+5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul lunar, în lei, al unui abonament de internet mobil este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+12$, unde $12$ lei reprezintă abonamentul de bază, iar $x$ este numărul de GB consumați (câte $4$ lei fiecare). a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(3)$ (costul pentru $0$ GB, respectiv pentru $3$ GB). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=24$ cm și $AD=10$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unui tetraedru regulat $ABCD$ (toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale congruente), cu muchia de $6$ cm. Se consideră baza $ABC$, iar $D$ este vârful opus; $O$ este centrul bazei $ABC$. a) (2 p) Calculează aria unei fețe și aria totală a tetraedrului. b) (3 p) Calculează volumul tetraedrului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(12+6\cdot 3):6=(12+18):6=30:6=5$.
2. a) $\frac{x}{14}=\frac{5}{7}\Rightarrow x=\frac{14\cdot 5}{7}=10$.
3. c) Elementele comune sunt $4$ și $8$, deci $A\cap B=\{4,8\}$.
4. d) $30\%\cdot 150=\frac{30}{100}\cdot 150=45$.
5. b) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=9$.
6. c) Cum $9<15<16$, avem $3<\sqrt{15}<4$, deci $0<4-\sqrt{15}<1$, adică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-6=2$ cm.
2. b) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-25^{\circ }-90^{\circ }=65^{\circ }$.
3. a) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$ cm.
4. c) În pătrat diagonala este $AC=AB\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm.
5. d) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 50^{\circ }=25^{\circ }$.
6. b) $V={\ell }^3=4^3=64{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ stocul inițial de cafea. a) (2 p) Ziua întâi: $30\%$ din $S$. Ziua a doua: $20\%$ din rest $=20\%\cdot 70\%\cdot S=14\%$ din $S$ (1 p). Cum $14\%<30\%$, în a doua zi s-a vândut mai puțină cafea decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a vândut $30\%+14\%=44\%$ din $S$, deci a rămas $56\%\cdot S$ (1 p). Acest rest a fost vândut a treia zi: $56\%\cdot S=168$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{168}{0,56}=300$ kg (1 p). (Verificare: ziua 1 $=90$ kg, ziua 2 $=42$ kg, ziua 3 $=168$ kg, total $300$ kg.)

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2+5x=x(x+5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x+5)}=\frac{x-5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x-5}{x}=1-\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=-5$, rămân $x\in \{-1,1,5\}$ (1 p) (verificare: $E(-1)=6$, $E(1)=-4$, $E(5)=0$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=4\cdot 0+12=12$ (lei) (1 p); $f(3)=4\cdot 3+12=24$ (lei) (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 4x+12=0\Rightarrow x=-3$, deci $A(-3,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=12$, deci $B(0,12)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{3\cdot 12}{2}=18$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(24+10)=68$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=24\cdot 10=240{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=5$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{5}{13},\cos B=\frac{12}{13},\mathrm{tg}B=\frac{5}{12}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+5+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Muchia tetraedrului este $\ell =6$ cm; toate fețele sunt triunghiuri echilaterale. a) (2 p) Aria unei fețe (triunghi echilateral de latură $6$): $A_f=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Tetraedrul are $4$ fețe, deci aria totală $A_t=4\cdot 9\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) $O$ este centrul bazei $ABC$; distanța de la $O$ la un vârf al bazei este raza cercului circumscris triunghiului echilateral: $AO=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ cm (1 p). În triunghiul $DOA$ dreptunghic în $O$, înălțimea tetraedrului este $DO=\sqrt{D{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_{ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=\frac{1}{3}\cdot 18\sqrt{18}=6\cdot 3\sqrt{2}=18\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.