Simulare Evaluarea Națională nr. 45

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(18 + 7 \cdot 6) : 5$ este: a) $12$ b) $10$ c) $60$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{6} = \frac{5}{3}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $18$ b) $30$ c) $10$ d) $8$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A = {1, 2, 3}$ și $B = {3, 4, 5}$ . Reuniunea $A \cup B$ este mulțimea: a) ${3}$ b) ${1, 2, 3, 4}$ c) ${1, 2}$ d) ${1, 2, 3, 4, 5}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $50$ b) $45$ c) $120$ d) $30$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a = 49$ și $b = 11$ este: a) $18$ b) $8$ c) $9$ d) $7$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 5 - 26$ . Atunci: a) $a < 0$ b) $a = 0$ c) $0 < a < 1$ d) $a > 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 8$ cm și $B C = 4$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $2$ cm c) $6$ cm d) $1$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $3 5^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este drept. Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $5 5^{\circ}$ b) $4 5^{\circ}$ c) $9 0^{\circ}$ d) $12 5^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 8$ cm și $A C = 15$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $289$ cm c) $17$ cm d) $161$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $A B C D$ cu diagonalele $A C = 12$ cm și $B D = 16$ cm. Aria rombului $A B C D$ este egală cu:

a) $192 cm^{2}$ b) $48 cm^{2}$ c) $28 cm^{2}$ d) $96 cm^{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ , în care $A B$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $B C$ este de $8 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $8 0^{\circ}$ b) $4 0^{\circ}$ c) $2 0^{\circ}$ d) $16 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $A B C D E F G H$ cu $A B = 5$ cm, $B C = 3$ cm și $A E = 4$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $60 cm^{3}$ b) $12 cm^{3}$ c) $47 cm^{3}$ d) $23 cm^{3}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte La o expoziție de fotografie, numărul total de vizitatori a fost repartizat pe trei zile. În prima zi au venit $35%$ din numărul total de vizitatori, în a doua zi au venit $40%$ din vizitatorii rămași, iar în a treia zi au venit ultimii $234$ de vizitatori. a) (2 p) Arată că în a doua zi au venit mai puțini vizitatori decât în prima zi. b) (3 p) Determină numărul total de vizitatori ai expoziției.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} + 4 x}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 0$ și $x \neq = - 4$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x - 4}{x}$ , pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E (x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Abonamentul lunar la o sală de fitness costă o taxă fixă de $20$ de lei, la care se adaugă $4$ lei pentru fiecare intrare. Costul total, în lei, pentru $x$ intrări într-o lună este dat de funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x + 20$ . a) (2 p) Calculează $f (0)$ și $f (5)$ și precizează ce reprezintă fiecare în contextul problemei. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $O x$ în punctul $A$ și axa $O y$ în punctul $B$ . Determină aria triunghiului $A O B$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 15$ cm și $A D = 8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $A B C D$ . b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $A C$ și aria dreptunghiului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 12$ cm și $A C = 5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) (3 p) Calculează $sin B$ , $cos B$ , $tg B$ și perimetrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte Un recipient are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei $R = 6$ cm și înălțimea $h = 10$ cm. ( $O$ și $O^{'}$ sunt centrele bazelor.) a) (2 p) Calculează aria laterală a cilindrului. b) (3 p) Calculează aria totală și volumul cilindrului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	a)	c)	d)	b)	c)	a)

a) $(18 + 7 \cdot 6) : 5 = (18 + 42) : 5 = 60 : 5 = 12$ .
c) $\frac{x}{6} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot 5}{3} = 10$ .
d) Reuniunea conține toate elementele: $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ .
b) $30% \cdot 150 = \frac{30}{100} \cdot 150 = 45$ .
c) $a = 49 = 7$ ; media $= \frac{7 + 11}{2} = 9$ .
a) Cum $26 > 25$ , avem $26 > 5$ , deci $a = 5 - 26 < 0$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	a)	c)	d)	b)	a)

b) $A C = A B + B C = 8 + 4 = 12$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 6$ cm; $M B = A B - A M = 8 - 6 = 2$ cm.
a) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} - 9 0^{\circ} = 5 5^{\circ}$ .
c) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 17$ cm.
d) $A_{A B C D} = \frac{A C \cdot B D}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96 cm^{2}$ .
b) Unghiul $B A C$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $B C$ , deci $m (∠ B A C) = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .
a) $V = A B \cdot B C \cdot A E = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60 cm^{3}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $N$ numărul total de vizitatori. a) (2 p) Ziua întâi: $35%$ din $N$ . Ziua a doua: $40%$ din rest $= 40% \cdot 65% \cdot N = 26%$ din $N$ (1 p). Cum $26% < 35%$ , în a doua zi au venit mai puțini vizitatori decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile au venit $35% + 26% = 61%$ din $N$ , deci au rămas $39% \cdot N$ (1 p). Aceștia au venit a treia zi: $39% \cdot N = 234$ (1 p) $\Rightarrow N = \frac{234}{0 , 39} = 600$ de vizitatori (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ și $x^{2} + 4 x = x (x + 4)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x ( x + 4 )} = \frac{x - 4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E (x) = \frac{x - 4}{x} = 1 - \frac{4}{x}$ (1 p); $E (x) \in Z \Leftrightarrow x ∣ 4$ , deci $x \in {- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x = - 4$ , rămân $x \in {- 2, - 1, 1, 2, 4}$ (1 p) (verificare: $E (- 2) = 3$ , $E (- 1) = 5$ , $E (1) = - 3$ , $E (2) = - 1$ , $E (4) = 0$ ).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (0) = 4 \cdot 0 + 20 = 20$ – taxa fixă lunară (pentru $0$ intrări) (1 p); $f (5) = 4 \cdot 5 + 20 = 40$ – costul lunar pentru $5$ intrări, în lei (1 p). b) (3 p) $A = O x \cap G_{f}$ : $f (x) = 0 \Rightarrow 4 x + 20 = 0 \Rightarrow x = - 5$ , deci $A (- 5, 0)$ (1 p). $B = O y \cap G_{f}$ : $x = 0 \Rightarrow y = 20$ , deci $B (0, 20)$ (1 p). Triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ : $A_{A O B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{5 \cdot 20}{2} = 50$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{A B C D} = 2 (A B + A D) = 2 (15 + 8) = 46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $A C = A B^{2} + A D^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 17$ cm (2 p). Aria: $A_{A B C D} = A B \cdot A D = 15 \cdot 8 = 120 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$ : cateta opusă $A C = 5$ , cateta alăturată $A B = 12$ , ipotenuza $B C = 13$ . $sin B = \frac{5}{13}, cos B = \frac{12}{13}, tg B = \frac{5}{12} (2 p) .$ Perimetrul: $P = A B + A C + B C = 12 + 5 + 13 = 30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria laterală: $A_{ℓ} = 2 π R h = 2 π \cdot 6 \cdot 10 = 120 π cm^{2}$ (2 p). b) (3 p) Aria bazei: $A_{b} = π R^{2} = π \cdot 6^{2} = 36 π cm^{2}$ (1 p). Aria totală: $A_{t} = A_{ℓ} + 2 A_{b} = 120 π + 2 \cdot 36 π = 120 π + 72 π = 192 π cm^{2}$ (1 p). Volumul: $V = π R^{2} \cdot h = 36 π \cdot 10 = 360 π cm^{3}$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.