Simulare Evaluarea Națională nr. 47

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(18+7\cdot 6):5$ este: a) $30$ b) $60$ c) $5$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{9}=\frac{8}{3}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $24$ b) $72$ c) $3$ d) $27$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,5,7\}$ și $B=\{1,3,5,9\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{1,2,7,9\}$ b) $\{3,5\}$ c) $\{3,5,7\}$ d) $\{1,2,3,5,7,9\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $120$ b) $30$ c) $45$ d) $50$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $8$ b) $18$ c) $4$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=4-\sqrt{15}$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=8$ cm și $BC=14$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $6$ cm b) $3$ cm c) $11$ cm d) $14$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $35^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=60$ cm și $AC=32$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $92$ cm b) $4624$ cm c) $68$ cm d) $46$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=20$ cm, $CD=14$ cm și înălțimea $AD=8$ cm. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

a) $272{\text{cm}}^2$ b) $68{\text{cm}}^2$ c) $140{\text{cm}}^2$ d) $136{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $50^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $50^{\circ }$ b) $25^{\circ }$ c) $100^{\circ }$ d) $12,5^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$, cu $AB=6$ cm, $BC=3$ cm și $AE=4$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $72{\text{cm}}^3$ b) $36{\text{cm}}^3$ c) $13{\text{cm}}^3$ d) $144{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un rezervor este plin cu apă. În prima zi se folosește $30\%$ din apa aflată în rezervor, în a doua zi se folosește $20\%$ din apa rămasă, iar în rezervor mai rămân $280$ de litri de apă. a) (2 p) Arată că în a doua zi s-a folosit mai puțină apă decât în prima zi. b) (3 p) Determină câți litri de apă se aflau inițial în rezervor.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2-5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul lunar al energiei electrice pentru o familie este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+20$, unde $x$ reprezintă numărul de kWh consumați, iar $f(x)$ este costul total, în lei ($20$ lei abonament fix, plus $2$ lei pentru fiecare kWh consumat). a) (2 p) Calculează costul pentru un consum de $0$ kWh și costul pentru un consum de $30$ kWh. b) (3 p) Determină numărul de kWh consumați într-o lună în care factura a fost de $100$ de lei.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=30$ cm și $AC=16$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide triunghiulare regulate $VABC$ (baza este triunghi echilateral), cu latura bazei $AB=12$ cm și înălțimea $VO=2$ cm, unde $O$ este centrul bazei, iar $M$ este mijlocul laturii $AB$. a) (2 p) Calculează apotema bazei $OM$ și apotema piramidei $VM$. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) $(18+7\cdot 6):5=(18+42):5=60:5=12$.
2. a) $\frac{x}{9}=\frac{8}{3}\Rightarrow x=\frac{9\cdot 8}{3}=\frac{72}{3}=24$.
3. b) Elementele comune sunt $3$ și $5$, deci $A\cap B=\{3,5\}$.
4. c) $30\%\cdot 150=\frac{30}{100}\cdot 150=45$.
5. d) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=\frac{18}{2}=9$.
6. c) Cum $15<16$, avem $\sqrt{15}<4$, deci $a=4-\sqrt{15}>0$; totodată $15>9$, deci $\sqrt{15}>3$ și $a=4-\sqrt{15}<1$. Prin urmare $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AC=AB+BC=8+14=22$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=11$ cm; $MB=AM-AB=11-8=3$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. c) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{60^2+32^2}=\sqrt{3600+1024}=\sqrt{4624}=68$ cm.
4. d) Aria trapezului: $\mathcal{A}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}=\frac{(20+14)\cdot 8}{2}=\frac{34\cdot 8}{2}=136{\text{cm}}^2$.
5. b) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 50^{\circ }=25^{\circ }$.
6. a) $V=AB\cdot BC\cdot AE=6\cdot 3\cdot 4=72{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $V$ cantitatea inițială de apă (în litri). a) (2 p) Ziua întâi: $30\%$ din $V$. Ziua a doua: $20\%$ din rest $=20\%\cdot 70\%\cdot V=14\%$ din $V$ (1 p). Cum $14\%<30\%$, în a doua zi s-a folosit mai puțină apă decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a folosit $30\%+14\%=44\%$ din $V$, deci a rămas $56\%\cdot V$ (1 p). Acest rest este de $280$ de litri: $56\%\cdot V=280$ (1 p) $\Rightarrow V=\frac{280}{0,56}=500$ litri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2-5x=x(x-5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=5$, rămân $x\in \{-5,-1,1\}$ (1 p) (verificare: $E(-5)=0$, $E(-1)=-4$, $E(1)=6$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=2\cdot 0+20=20$ lei (costul pentru $0$ kWh este chiar abonamentul) (1 p); $f(30)=2\cdot 30+20=60+20=80$ lei (1 p). b) (3 p) Factura de $100$ de lei înseamnă $f(x)=100$: $2x+20=100$ (1 p) $\Rightarrow 2x=80$ (1 p) $\Rightarrow x=40$ kWh (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{30^2+16^2}=\sqrt{900+256}=\sqrt{1156}=34$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=16$, cateta alăturată $AB=30$, ipotenuza $BC=34$. $$\sin B=\frac{16}{34}=\frac{8}{17},\cos B=\frac{30}{34}=\frac{15}{17},\mathrm{tg}B=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=30+16+34=80$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei (triunghi echilateral cu latura $AB=12$): $OM=\frac{AB\sqrt{3}}{6}=\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$ cm (1 p). Triunghiul $VOM$ dreptunghic în $O$: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$ cm (1 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{\ell }=\frac{P_{baza}\cdot VM}{2}=\frac{(3\cdot 12)\cdot 4}{2}=\frac{36\cdot 4}{2}=72{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria bazei $A_b=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$; aria totală $A_t=A_{\ell }+A_b=(72+36\sqrt{3}){\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 36\sqrt{3}\cdot 2=24\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.