Simulare Evaluarea Națională nr. 51

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $9\cdot 4+12:3$ este: a) $16$ b) $40$ c) $48$ d) $4$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{8}=\frac{5}{2}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $20$ b) $40$ c) $16$ d) $10$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numărul elementelor mulțimii $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -2\le x<4\}$ este egal cu: a) $4$ b) $5$ c) $7$ d) $6$

Exercițiul 4 · 5 puncte $18\%$ din numărul $250$ reprezintă: a) $205$ b) $4,5$ c) $45$ d) $450$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $18$ b) $9$ c) $8$ d) $7$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{17}-4$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $M$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=5$ cm și $BC=11$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $5$ cm b) $2$ cm c) $3$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $55^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $90^{\circ }$ b) $55^{\circ }$ c) $145^{\circ }$ d) $35^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $17$ cm b) $23$ cm c) $289$ cm d) $\sqrt{161}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ cu diagonalele $AC=16$ cm și $BD=30$ cm. Perimetrul rombului $ABCD$ este egal cu:

a) $46$ cm b) $68$ cm c) $92$ cm d) $60$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $64^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $64^{\circ }$ b) $16^{\circ }$ c) $128^{\circ }$ d) $32^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu dimensiunile $AB=8$ cm, $BC=5$ cm și $AE=3$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $120{\text{cm}}^3$ b) $158{\text{cm}}^3$ c) $16{\text{cm}}^3$ d) $79{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Andrei își propune să strângă o sumă de bani, economisind lunar. În prima lună pune deoparte $30\%$ din suma propusă, în a doua lună economisește $25\%$ din ce îi mai rămăsese de strâns, iar în a treia lună depune ultimii $630$ de lei, atingând astfel suma propusă. a) (2 p) Arată că în a doua lună Andrei a economisit mai puțin decât în prima lună. b) (3 p) Determină suma pe care și-a propus Andrei să o economisească.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2+5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte La o parcare cu plată se percepe o taxă fixă de intrare (primul interval) de $8$ lei și, în plus, $4$ lei pentru fiecare oră de staționare. Costul, în lei, pentru $x$ ore de staționare este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+8$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(3)$ (costul plătit doar la intrare, respectiv costul pentru $3$ ore de staționare). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=30$ cm și $AD=16$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=15$ cm și $AC=8$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O bijuterie decorativă are forma unui tetraedru regulat $ABCD$ (toate muchiile egale), cu muchia de $6$ cm. Punctul $O$ este centrul feței $BCD$. a) (2 p) Calculează aria totală a tetraedrului. b) (3 p) Calculează lungimea înălțimii $AO$ a tetraedrului și volumul acestuia.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $9\cdot 4+12:3=36+4=40$ (înmulțirea și împărțirea înaintea adunării).
2. a) $\frac{x}{8}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=\frac{8\cdot 5}{2}=\frac{40}{2}=20$.
3. d) $A=\{-2,-1,0,1,2,3\}$ are $6$ elemente.
4. c) $18\%\cdot 250=\frac{18}{100}\cdot 250=45$.
5. b) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=\frac{18}{2}=9$.
6. c) Cum $16<17<25$, avem $4<\sqrt{17}<5$, deci $0<\sqrt{17}-4<1$, adică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AC=AB+BC=5+11=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-5=3$ cm.
2. d) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-55^{\circ }-90^{\circ }=35^{\circ }$.
3. a) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. b) Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc; latura este ipotenuză într-un triunghi dreptunghic cu catetele $\frac{AC}{2}=8$ cm și $\frac{BD}{2}=15$ cm: $\ell =\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$ cm, deci $P=4\cdot 17=68$ cm.
5. d) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 64^{\circ }=32^{\circ }$.
6. a) $V=AB\cdot BC\cdot AE=8\cdot 5\cdot 3=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ suma pe care Andrei și-a propus să o economisească. a) (2 p) Luna întâi: $30\%$ din $S$. Luna a doua: $25\%$ din rest $=25\%\cdot 70\%\cdot S=17,5\%$ din $S$ (1 p). Cum $17,5\%<30\%$, în a doua lună a economisit mai puțin decât în prima (1 p). b) (3 p) După primele două luni a economisit $30\%+17,5\%=47,5\%$ din $S$, deci a mai rămas $52,5\%\cdot S$ (1 p). Acest rest a fost depus în a treia lună: $52,5\%\cdot S=630$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{630}{0,525}=1200$ lei (1 p). (Verificare: $360+210+630=1200$.)

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2+5x=x(x+5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x+5)}=\frac{x-5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x-5}{x}=1-\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=-5$, rămân $x\in \{-1,1,5\}$ (1 p) (verificare: $E(-1)=6$, $E(1)=-4$, $E(5)=0$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=4\cdot 0+8=8$ (1 p); $f(3)=4\cdot 3+8=20$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 4x+8=0\Rightarrow x=-2$, deci $A(-2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=8$, deci $B(0,8)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 8}{2}=8$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(30+16)=92$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{30^2+16^2}=\sqrt{900+256}=\sqrt{1156}=34$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=30\cdot 16=480{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=8$, cateta alăturată $AB=15$, ipotenuza $BC=17$. $$\sin B=\frac{8}{17},\cos B=\frac{15}{17},\mathrm{tg}B=\frac{8}{15}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=15+8+17=40$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fețele tetraedrului regulat sunt triunghiuri echilaterale cu latura de $6$ cm. a) (2 p) Aria unei fețe: $A_{\text{fața˘}}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Tetraedrul are $4$ fețe, deci aria totală $A_t=4\cdot 9\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Înălțimea unei fețe (mediana triunghiului echilateral) este $\frac{\ell \sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm. Distanța de la $O$ (centrul de greutate al feței $BCD$) la vârful $B$ este $OB=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ cm (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$ ($AO\perp$ baza), deci $AO=\sqrt{A{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_{BCD}\cdot AO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, clasa a VIII-a, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.