Simulare Evaluarea Națională nr. 53

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(12 + 8 \cdot 9) : 6$ este: a) $30$ b) $84$ c) $20$ d) $14$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{6} = \frac{7}{2}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $21$ b) $14$ c) $42$ d) $\frac{12}{7}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A = {2, 3, 5, 7}$ și $B = {1, 3, 5, 9}$ . Intersecția $A \cap B$ este mulțimea: a) ${1, 2, 7, 9}$ b) ${3, 5, 7}$ c) ${3, 5}$ d) ${1, 2, 3, 5, 7, 9}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30%$ din numărul $90$ reprezintă: a) $3$ b) $27$ c) $60$ d) $120$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a = 49$ și $b = 11$ este: a) $18$ b) $11$ c) $2$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 26 - 5$ . Atunci: a) $a < 0$ b) $a = 0$ c) $0 < a < 1$ d) $a > 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 8$ cm și $B C = 14$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $6$ cm b) $3$ cm c) $2$ cm d) $22$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $3 5^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este drept. Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $5 5^{\circ}$ b) $4 5^{\circ}$ c) $12 5^{\circ}$ d) $9 0^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 20$ cm și $A C = 21$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $41$ cm b) $41$ cm c) $29$ cm d) $20$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $A B C D$ , cu $A B ∥ C D$ , $A B = 30$ cm (baza mare), $C D = 9$ cm (baza mică) și înălțimea $A D = 20$ cm ( $A D ⊥ A B$ ). Aria trapezului $A B C D$ este egală cu:

a) $780 cm^{2}$ b) $390 cm^{2}$ c) $195 cm^{2}$ d) $600 cm^{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ , în care $A B$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $B C$ este de $8 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $8 0^{\circ}$ b) $2 0^{\circ}$ c) $4 0^{\circ}$ d) $16 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $A B C D E F G H$ cu $A B = 8$ cm, $B C = 5$ cm și $A E = 4$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $80 cm^{3}$ b) $320 cm^{3}$ c) $136 cm^{3}$ d) $160 cm^{3}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezervorul de combustibil al unui utilaj conține o cantitate de motorină. În prima etapă de lucru se consumă $30%$ din cantitatea de combustibil, în a doua etapă se consumă $20%$ din cât a rămas, iar la final în rezervor mai sunt $84$ de litri de motorină. a) (2 p) Arată că, după primele două etape, s-a consumat mai puțin de jumătate din cantitatea inițială de combustibil. b) (3 p) Determină cantitatea inițială de combustibil din rezervor.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} + 5 x}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 0$ și $x \neq = - 5$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x - 5}{x}$ , pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E (x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Salariul lunar (în lei) al unui agent de vânzări este dat de funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 50 x + 600$ , unde $x$ reprezintă numărul de produse vândute (o parte fixă de $600$ de lei, la care se adaugă un comision de $50$ de lei pentru fiecare produs vândut). a) (2 p) Calculează $f (0)$ și $f (8)$ (salariul pentru $0$ , respectiv pentru $8$ produse vândute). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $O x$ în punctul $A$ și axa $O y$ în punctul $B$ . Determină aria triunghiului $A O B$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 42$ cm și $A D = 40$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $A B C D$ . b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $A C$ și aria dreptunghiului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 8$ cm și $A C = 15$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) (3 p) Calculează $sin B$ , $cos B$ , $tg B$ și perimetrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte O cutie de conserve are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei $R = 6$ cm și înălțimea $h = 10$ cm. a) (2 p) Calculează aria bazei cilindrului. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul cilindrului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	d)	a)	c)	b)	d)	c)

d) $(12 + 8 \cdot 9) : 6 = (12 + 72) : 6 = 84 : 6 = 14$ .
a) $\frac{x}{6} = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$ .
c) Elementele comune sunt $3$ și $5$ , deci $A \cap B = {3, 5}$ .
b) $30% \cdot 90 = \frac{30}{100} \cdot 90 = 27$ .
d) $a = 49 = 7$ ; media $= \frac{7 + 11}{2} = 9$ .
c) Cum $25 < 26 < 36$ , avem $5 < 26 < 6$ , deci $0 < 26 - 5 < 1$ , adică $0 < a < 1$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	a)	c)	b)	c)	d)

b) $A C = A B + B C = 8 + 14 = 22$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 11$ cm; $M B = A M - A B = 11 - 8 = 3$ cm.
a) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} - 9 0^{\circ} = 5 5^{\circ}$ .
c) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 2 0^{2} + 2 1^{2} = 400 + 441 = 841 = 29$ cm.
b) $A_{A B C D} = \frac{( A B + C D ) \cdot A D}{2} = \frac{( 30 + 9 ) \cdot 20}{2} = \frac{39 \cdot 20}{2} = 390 cm^{2}$ .
c) Unghiul $B A C$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $B C$ , deci $m (∠ B A C) = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .
d) $V = A B \cdot B C \cdot A E = 8 \cdot 5 \cdot 4 = 160 cm^{3}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $V$ cantitatea inițială de combustibil. a) (2 p) În prima etapă se consumă $30%$ din $V$ . În a doua etapă se consumă $20%$ din rest, adică $20% \cdot 70% = 14%$ din $V$ (1 p). În total s-a consumat $30% + 14% = 44%$ din $V$ , iar $44% < 50%$ , deci mai puțin de jumătate (1 p). b) (3 p) După primele două etape a rămas $100% - 44% = 56%$ din $V$ (1 p). Acest rest reprezintă cei $84$ de litri: $56% \cdot V = 84$ (1 p) $\Rightarrow V = \frac{84}{0 , 56} = 150$ litri (1 p). (verificare: etapa 1: $0, 3 \cdot 150 = 45$ l, rămân $105$ l; etapa 2: $0, 2 \cdot 105 = 21$ l, rămân $84$ l).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ și $x^{2} + 5 x = x (x + 5)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x ( x + 5 )} = \frac{x - 5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E (x) = \frac{x - 5}{x} = 1 - \frac{5}{x}$ (1 p); $E (x) \in Z \Leftrightarrow x ∣ 5$ , deci $x \in {- 5, - 1, 1, 5}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x = - 5$ , rămân $x \in {- 1, 1, 5}$ (1 p) (verificare: $E (- 1) = 6$ , $E (1) = - 4$ , $E (5) = 0$ ).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (0) = 50 \cdot 0 + 600 = 600$ (1 p); $f (8) = 50 \cdot 8 + 600 = 400 + 600 = 1000$ (1 p). b) (3 p) $A = O x \cap G_{f}$ : $f (x) = 0 \Rightarrow 50 x + 600 = 0 \Rightarrow x = - 12$ , deci $A (- 12, 0)$ (1 p). $B = O y \cap G_{f}$ : $x = 0 \Rightarrow y = 600$ , deci $B (0, 600)$ (1 p). Triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ : $A_{A O B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{12 \cdot 600}{2} = 3600$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{A B C D} = 2 (A B + A D) = 2 (42 + 40) = 164$ cm. b) (3 p) Diagonala: $A C = A B^{2} + A D^{2} = 4 2^{2} + 4 0^{2} = 1764 + 1600 = 3364 = 58$ cm (2 p). Aria: $A_{A B C D} = A B \cdot A D = 42 \cdot 40 = 1680 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B C = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 17$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$ : cateta opusă $A C = 15$ , cateta alăturată $A B = 8$ , ipotenuza $B C = 17$ . $sin B = \frac{15}{17}, cos B = \frac{8}{17}, tg B = \frac{15}{8} (2 p) .$ Perimetrul: $P = A B + A C + B C = 8 + 15 + 17 = 40$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria bazei: $A_{b} = π R^{2} = π \cdot 6^{2} = 36 π cm^{2}$ (2 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{ℓ} = 2 π R h = 2 π \cdot 6 \cdot 10 = 120 π cm^{2}$ (1 p). Aria totală: $A_{t} = A_{ℓ} + 2 A_{b} = 120 π + 2 \cdot 36 π = 120 π + 72 π = 192 π cm^{2}$ (1 p). Volumul: $V = π R^{2} h = π \cdot 36 \cdot 10 = 360 π cm^{3}$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.