Simulare Evaluarea Națională nr. 54

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(45-3\cdot 5):6$ este: a) $30$ b) $5$ c) $35$ d) $7$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{21}=\frac{4}{7}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $12$ b) $3$ c) $84$ d) $7$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{-1,0,1,2,3\}$ și $B=\{2,3,4,5\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{2,3,4\}$ b) $\{2,3,4,5\}$ c) $\{2,3\}$ d) $\{-1,0,1,2,3,4,5\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $40\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $90$ b) $40$ c) $110$ d) $60$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{81}$ și $b=5$ este: a) $14$ b) $7$ c) $45$ d) $2$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{5}-2$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $9$ cm b) $3$ cm c) $6$ cm d) $18$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $65^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $115^{\circ }$ b) $65^{\circ }$ c) $25^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=16$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $20$ cm b) $28$ cm c) $\sqrt{112}$ cm d) $400$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ în care diagonala $AC=20$ cm și latura $AB=16$ cm. Lungimea laturii $BC$ este egală cu:

a) $18$ cm b) $12$ cm c) $4$ cm d) $\sqrt{656}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $50^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $50^{\circ }$ b) $100^{\circ }$ c) $12,5^{\circ }$ d) $25^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $AE=5$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $15{\text{cm}}^3$ b) $148{\text{cm}}^3$ c) $120{\text{cm}}^3$ d) $60{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Pentru un concert s-a pus în vânzare un număr de bilete. În prima zi s-au vândut $30\%$ din bilete, în a doua zi s-au vândut $40\%$ din biletele rămase, iar în a treia zi s-au vândut ultimele $210$ de bilete. a) (2 p) Arată că în a doua zi s-au vândut mai puține bilete decât în prima zi. b) (3 p) Determină numărul total de bilete puse în vânzare.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2-5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Un curier percepe o taxă fixă și, în plus, un cost pentru fiecare colet livrat. Costul total, în lei, pentru livrarea a $x$ colete este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x+12$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ (taxa fixă) și $f(2)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ cm și $AD=12$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=9$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Un obiect decorativ are forma unui con circular drept cu raza bazei $R=6$ cm și înălțimea $h=8$ cm ($V$ este vârful, iar $O$ este centrul bazei). a) (2 p) Calculează lungimea generatoarei $g$ a conului. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul conului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(45-3\cdot 5):6=(45-15):6=30:6=5$.
2. a) $\frac{x}{21}=\frac{4}{7}\Rightarrow x=\frac{21\cdot 4}{7}=\frac{84}{7}=12$.
3. c) Elementele comune sunt $2$ și $3$, deci $A\cap B=\{2,3\}$.
4. d) $40\%\cdot 150=\frac{40}{100}\cdot 150=60$.
5. b) $a=\sqrt{81}=9$; media $=\frac{9+5}{2}=7$.
6. c) Cum $4<5<9$, avem $2<\sqrt{5}<3$, deci $a=\sqrt{5}-2$ verifică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AC=AB+BC=6+12=18$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=9$ cm; $MB=AM-AB=9-6=3$ cm.
2. c) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-65^{\circ }-90^{\circ }=25^{\circ }$.
3. a) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$ cm.
4. b) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$ cm.
5. d) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 50^{\circ }=25^{\circ }$.
6. c) $V=AB\cdot BC\cdot AE=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $N$ numărul total de bilete. a) (2 p) Ziua întâi: $30\%$ din $N$. Ziua a doua: $40\%$ din rest $=40\%\cdot 70\%\cdot N=28\%$ din $N$ (1 p). Cum $28\%<30\%$, în a doua zi s-au vândut mai puține bilete decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a vândut $30\%+28\%=58\%$ din $N$, deci au rămas $42\%\cdot N$ (1 p). Acest rest a fost vândut a treia zi: $42\%\cdot N=210$ (1 p) $\Rightarrow N=\frac{210}{0,42}=500$ de bilete (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2-5x=x(x-5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=5$, rămân $x\in \{-5,-1,1\}$ (1 p) (verificare: $E(-5)=0$, $E(-1)=-4$, $E(1)=6$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=6\cdot 0+12=12$ (1 p); $f(2)=6\cdot 2+12=24$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 6x+12=0\Rightarrow x=-2$, deci $A(-2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=12$, deci $B(0,12)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 12}{2}=12$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(16+12)=56$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=16\cdot 12=192{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=9$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=15$. $$\sin B=\frac{9}{15}=\frac{3}{5},\cos B=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},\mathrm{tg}B=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+9+15=36$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $VOM$ (cu $M$ pe cercul bazei) este dreptunghic în $O$: $g=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ cm (2 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{\ell }=\pi \cdot R\cdot g=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi {\text{cm}}^2$ (1 p). Aria bazei $A_b=\pi R^2=36\pi {\text{cm}}^2$; aria totală $A_t=60\pi +36\pi =96\pi {\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi R^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 36\pi \cdot 8=96\pi {\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.