Simulare Evaluarea Națională nr. 55

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(24 + 5 \cdot 6) : 9$ este: a) $54$ b) $6$ c) $9$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{14} = \frac{5}{7}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $10$ b) $2$ c) $12$ d) $35$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A = {2, 3, 5, 7}$ și $B = {1, 3, 5, 9}$ . Intersecția $A \cap B$ este mulțimea: a) ${3, 5, 7}$ b) ${1, 2, 7, 9}$ c) ${1, 2, 3, 5, 7, 9}$ d) ${3, 5}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $15%$ din numărul $80$ reprezintă: a) $68$ b) $12$ c) $15$ d) $6$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a = 49$ și $b = 11$ este: a) $9$ b) $18$ c) $4$ d) $8$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 7 - 2$ . Atunci: a) $a < 0$ b) $a = 0$ c) $0 < a < 1$ d) $a > 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 5$ cm și $B C = 11$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $8$ cm b) $3$ cm c) $5$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $5 5^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este drept. Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $3 5^{\circ}$ b) $5 5^{\circ}$ c) $9 0^{\circ}$ d) $14 5^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 10$ cm și $A C = 24$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $676$ cm b) $34$ cm c) $14$ cm d) $26$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $A B C D$ cu latura $A B = 10$ cm. Aria pătratului $A B C D$ este egală cu:

a) $40 cm^{2}$ b) $400 cm^{2}$ c) $100 cm^{2}$ d) $20 cm^{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ , în care $A B$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $B C$ este de $8 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $8 0^{\circ}$ b) $4 0^{\circ}$ c) $2 0^{\circ}$ d) $16 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D E F G H$ cu muchia $A B = 4$ cm. Volumul cubului este egal cu:

a) $96 cm^{3}$ b) $16 cm^{3}$ c) $48 cm^{3}$ d) $64 cm^{3}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Andrei are o colecție de timbre. El dăruiește fratelui său $30%$ din timbre, apoi îi dăruiește unui prieten $20%$ din timbrele rămase, iar în final constată că mai are $168$ de timbre. a) (2 p) Arată că prietenului i-a dat mai puține timbre decât fratelui. b) (3 p) Determină câte timbre avea Andrei la început în colecție.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} + 5 x}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 0$ și $x \neq = - 5$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x - 5}{x}$ , pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E (x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul lunar, în lei, al unui abonament de internet mobil este dat de funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 6 x + 18$ , unde $x$ reprezintă numărul de gigabytes (GB) suplimentari consumați într-o lună. a) (2 p) Calculează $f (0)$ (costul de bază al abonamentului) și $f (2)$ (costul pentru $2$ GB suplimentari). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $O x$ în punctul $A$ și axa $O y$ în punctul $B$ . Determină aria triunghiului $A O B$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 24$ cm și $B C = 10$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $A B C D$ . b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $A C$ și aria dreptunghiului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 12$ cm și $A C = 5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) (3 p) Calculează $sin B$ , $cos B$ , $tg B$ și perimetrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide triunghiulare regulate $V A B C$ , cu latura bazei $A B = 63$ cm și înălțimea $V O = 4$ cm ( $O$ este centrul bazei, $M$ este mijlocul laturii $B C$ ). a) (2 p) Calculează lungimea apotemei bazei $O M$ și a apotemei piramidei $V M$ . b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	a)	d)	b)	a)	c)

b) $(24 + 5 \cdot 6) : 9 = (24 + 30) : 9 = 54 : 9 = 6$ .
a) $\frac{x}{14} = \frac{5}{7} \Rightarrow x = \frac{14 \cdot 5}{7} = 10$ .
d) Elementele comune sunt $3$ și $5$ , deci $A \cap B = {3, 5}$ .
b) $15% \cdot 80 = \frac{15}{100} \cdot 80 = 12$ .
a) $a = 49 = 7$ ; media $= \frac{7 + 11}{2} = 9$ .
c) Cum $4 < 7 < 9$ , avem $2 < 7 < 3$ , deci $0 < 7 - 2 < 1$ , adică $0 < a < 1$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	a)	d)	c)	b)	d)

b) $A C = A B + B C = 5 + 11 = 16$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 8$ cm; $M B = A M - A B = 8 - 5 = 3$ cm.
a) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 5^{\circ}$ .
d) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 0^{2} + 2 4^{2} = 100 + 576 = 676 = 26$ cm.
c) Aria pătratului: $A_{A B C D} = ℓ^{2} = 1 0^{2} = 100 cm^{2}$ .
b) Unghiul $B A C$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $B C$ , deci $m (∠ B A C) = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .
d) $V = ℓ^{3} = 4^{3} = 64 cm^{3}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ numărul inițial de timbre. a) (2 p) Fratele primește $30%$ din $S$ . Rămân $70%$ din $S$ ; prietenul primește $20%$ din rest $= 20% \cdot 70% \cdot S = 14%$ din $S$ (1 p). Cum $14% < 30%$ , prietenul a primit mai puține timbre decât fratele (1 p). b) (3 p) După cele două daruri s-a dat $30% + 14% = 44%$ din $S$ , deci au rămas $56% \cdot S$ (1 p). Acest rest este de $168$ de timbre: $56% \cdot S = 168$ (1 p) $\Rightarrow S = \frac{168}{0 , 56} = 300$ de timbre (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ și $x^{2} + 5 x = x (x + 5)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x ( x + 5 )} = \frac{x - 5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E (x) = \frac{x - 5}{x} = 1 - \frac{5}{x}$ (1 p); $E (x) \in Z \Leftrightarrow x ∣ 5$ , deci $x \in {- 5, - 1, 1, 5}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x = - 5$ , rămân $x \in {- 1, 1, 5}$ (1 p) (verificare: $E (- 1) = 6$ , $E (1) = - 4$ , $E (5) = 0$ ).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (0) = 6 \cdot 0 + 18 = 18$ (1 p); $f (2) = 6 \cdot 2 + 18 = 12 + 18 = 30$ (1 p). b) (3 p) $A = O x \cap G_{f}$ : $f (x) = 0 \Rightarrow 6 x + 18 = 0 \Rightarrow x = - 3$ , deci $A (- 3, 0)$ (1 p). $B = O y \cap G_{f}$ : $x = 0 \Rightarrow y = 18$ , deci $B (0, 18)$ (1 p). Triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ : $A_{A O B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{3 \cdot 18}{2} = 27$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{A B C D} = 2 (A B + B C) = 2 (24 + 10) = 68$ cm. b) (3 p) Diagonala: $A C = A B^{2} + B C^{2} = 2 4^{2} + 1 0^{2} = 576 + 100 = 676 = 26$ cm (2 p). Aria: $A_{A B C D} = A B \cdot B C = 24 \cdot 10 = 240 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$ : cateta opusă $A C = 5$ , cateta alăturată $A B = 12$ , ipotenuza $B C = 13$ . $sin B = \frac{5}{13}, cos B = \frac{12}{13}, tg B = \frac{5}{12} (2 p) .$ Perimetrul: $P = A B + A C + B C = 12 + 5 + 13 = 30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei (triunghi echilateral de latură $63$ ): $O M = \frac{A B \cdot 3}{6} = \frac{6 3 \cdot 3}{6} = \frac{18}{6} = 3$ cm (1 p). Triunghiul $V O M$ dreptunghic în $O$ : $V M = V O^{2} + O M^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 = 5$ cm (1 p). b) (3 p) Perimetrul bazei $P_{ba z a} = 3 \cdot 63 = 183$ cm; aria laterală $A_{ℓ} = \frac{P _{ba z a} \cdot V M}{2} = \frac{18 3 \cdot 5}{2} = 453 cm^{2}$ (1 p). Aria bazei $A_{b} = \frac{A B ^{2} \cdot 3}{4} = \frac{( 6 3 ) ^{2} \cdot 3}{4} = \frac{108 3}{4} = 273 cm^{2}$ ; aria totală $A_{t} = 453 + 273 = 723 cm^{2}$ (1 p). Volumul: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot V O = \frac{1}{3} \cdot 273 \cdot 4 = 363 cm^{3}$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.