Simulare Evaluarea Națională nr. 64

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(12 + 8 \cdot 3) : 6$ este: a) $6$ b) $10$ c) $36$ d) $4$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{6} = \frac{7}{2}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $42$ b) $21$ c) $3$ d) $84$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră intervalele $A = [- 2, 5)$ și $B = (1, 7]$ . Intersecția $A \cap B$ este intervalul: a) $[- 2, 7]$ b) $(1, 7]$ c) $[1, 5)$ d) $(1, 5)$

Exercițiul 4 · 5 puncte $40%$ din numărul $70$ reprezintă: a) $40$ b) $30$ c) $28$ d) $280$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a = 81$ și $b = 5$ este: a) $7$ b) $14$ c) $9$ d) $45$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 26 - 5$ . Atunci: a) $a < 0$ b) $a = 0$ c) $0 < a < 1$ d) $a > 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 6$ cm și $B C = 14$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $10$ cm c) $8$ cm d) $20$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $5 5^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este drept. Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $12 5^{\circ}$ b) $3 5^{\circ}$ c) $5 5^{\circ}$ d) $9 0^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 15$ cm și $A C = 8$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $23$ cm c) $17$ cm d) $34$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $A B C D$ , cu $A B ∥ D C$ , dreptunghic în $A$ și în $D$ , cu $A B = 30$ cm, $D C = 9$ cm și $A D = 20$ cm. Aria trapezului $A B C D$ este egală cu:

a) $390 cm^{2}$ b) $780 cm^{2}$ c) $600 cm^{2}$ d) $195 cm^{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ , în care $A B$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $B C$ este de $6 4^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $6 4^{\circ}$ b) $3 2^{\circ}$ c) $12 8^{\circ}$ d) $1 6^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D E F G H$ cu muchia $A B = 4$ cm. Volumul cubului este egal cu:

a) $16 cm^{3}$ b) $48 cm^{3}$ c) $96 cm^{3}$ d) $64 cm^{3}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un colecționar are o colecție de cărți. În prima lună dăruiește bibliotecii $30%$ din colecție, în a doua lună dăruiește $20%$ din câte i-au rămas, iar ultimele $168$ de cărți le păstrează. a) (2 p) Arată că în a doua lună a dăruit mai puține cărți decât în prima lună. b) (3 p) Determină numărul inițial de cărți din colecție.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} - 5 x}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 0$ și $x \neq = 5$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x + 5}{x}$ , pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E (x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Salariul lunar, în lei, al unui agent de vânzări este dat de funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 50 x + 1000$ , unde $x$ este numărul de produse vândute într-o lună (o parte fixă de $1000$ de lei, plus un comision de $50$ de lei pentru fiecare produs vândut). a) (2 p) Calculează $f (0)$ și $f (10)$ și precizează ce reprezintă fiecare valoare în contextul problemei. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $O x$ în punctul $A$ și axa $O y$ în punctul $B$ . Determină aria triunghiului $A O B$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 21$ cm și $B C = 20$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $A B C D$ . b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $A C$ și aria dreptunghiului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 12$ cm și $A C = 5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) (3 p) Calculează $sin B$ , $cos B$ , $tg B$ și perimetrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $A B C D E F G H$ cu dimensiunile $A B = 12$ cm, $B C = 9$ cm și $A E = 10$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea diagonalei bazei $A C$ . b) (3 p) Calculează aria totală și volumul paralelipipedului dreptunghic.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	a)	b)	d)	c)	a)	c)

a) $(12 + 8 \cdot 3) : 6 = (12 + 24) : 6 = 36 : 6 = 6$ .
b) $\frac{x}{6} = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$ .
d) $A \cap B$ conține numerele mai mari strict decât $1$ (de la $B$ ) și mai mici strict decât $5$ (de la $A$ ), deci $A \cap B = (1, 5)$ .
c) $40% \cdot 70 = \frac{40}{100} \cdot 70 = 28$ .
a) $a = 81 = 9$ ; media $= \frac{9 + 5}{2} = 7$ .
c) Cum $25 < 26 < 36$ , avem $5 < 26 < 6$ , deci $0 < 26 - 5 < 1$ , adică $0 < a < 1$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	a)	b)	c)	a)	b)	d)

a) $A C = A B + B C = 6 + 14 = 20$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 10$ cm; $M B = A M - A B = 10 - 6 = 4$ cm.
b) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 5^{\circ}$ .
c) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 17$ cm.
a) $A_{A B C D} = \frac{( A B + D C ) \cdot A D}{2} = \frac{( 30 + 9 ) \cdot 20}{2} = \frac{39 \cdot 20}{2} = 390 cm^{2}$ .
b) Unghiul $B A C$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $B C$ , deci $m (∠ B A C) = \frac{1}{2} \cdot 6 4^{\circ} = 3 2^{\circ}$ .
d) $V = ℓ^{3} = 4^{3} = 64 cm^{3}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $N$ numărul inițial de cărți. a) (2 p) Prima lună: $30%$ din $N$ . A doua lună: $20%$ din rest $= 20% \cdot 70% \cdot N = 14%$ din $N$ (1 p). Cum $14% < 30%$ , în a doua lună s-au dăruit mai puține cărți decât în prima lună (1 p). b) (3 p) După primele două luni s-au dăruit $30% + 14% = 44%$ din $N$ , deci au rămas $56% \cdot N$ (1 p). Aceste cărți sunt cele $168$ păstrate: $56% \cdot N = 168$ (1 p) $\Rightarrow N = \frac{168}{0 , 56} = 300$ de cărți (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ și $x^{2} - 5 x = x (x - 5)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x ( x - 5 )} = \frac{x + 5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E (x) = \frac{x + 5}{x} = 1 + \frac{5}{x}$ (1 p); $E (x) \in Z \Leftrightarrow x ∣ 5$ , deci $x \in {- 5, - 1, 1, 5}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x = 5$ , rămân $x \in {- 5, - 1, 1}$ (1 p) (verificare: $E (- 5) = 0$ , $E (- 1) = - 4$ , $E (1) = 6$ ).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (0) = 50 \cdot 0 + 1000 = 1000$ – salariul (partea fixă) când nu vinde niciun produs (1 p); $f (10) = 50 \cdot 10 + 1000 = 1500$ – salariul pentru $10$ produse vândute (1 p). b) (3 p) $A = O x \cap G_{f}$ : $50 x + 1000 = 0 \Rightarrow x = - 20$ , deci $A (- 20, 0)$ (1 p). $B = O y \cap G_{f}$ : $x = 0 \Rightarrow y = 1000$ , deci $B (0, 1000)$ (1 p). Triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ : $A_{A O B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{20 \cdot 1000}{2} = 10000$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{A B C D} = 2 (A B + B C) = 2 (21 + 20) = 82$ cm. b) (3 p) Diagonala: $A C = A B^{2} + B C^{2} = 2 1^{2} + 2 0^{2} = 441 + 400 = 841 = 29$ cm (2 p). Aria: $A_{A B C D} = A B \cdot B C = 21 \cdot 20 = 420 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$ : cateta opusă $A C = 5$ , cateta alăturată $A B = 12$ , ipotenuza $B C = 13$ . $sin B = \frac{5}{13}, cos B = \frac{12}{13}, tg B = \frac{5}{12} (2 p) .$ Perimetrul: $P = A B + A C + B C = 12 + 5 + 13 = 30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Baza $A B C D$ este dreptunghi; diagonala ei: $A C = A B^{2} + B C^{2} = 1 2^{2} + 9^{2} = 144 + 81 = 225 = 15$ cm (2 p). b) (3 p) Aria totală: $A_{t} = 2 (A B \cdot B C + B C \cdot A E + A B \cdot A E) = 2 (12 \cdot 9 + 9 \cdot 10 + 12 \cdot 10) = 2 (108 + 90 + 120) = 2 \cdot 318 = 636 cm^{2}$ (2 p). Volumul: $V = A B \cdot B C \cdot A E = 12 \cdot 9 \cdot 10 = 1080 cm^{3}$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.