Simulare Evaluarea Națională nr. 66

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(35+5\cdot 3):5$ este: a) $10$ b) $24$ c) $38$ d) $7$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{14}=\frac{5}{7}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $70$ b) $10$ c) $2$ d) $4$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,4,6,8\}$ și $B=\{4,8,12\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{2,6\}$ b) $\{4,8,12\}$ c) $\{4,8\}$ d) $\{2,4,6,8,12\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $50$ b) $120$ c) $30$ d) $45$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{81}$ și $b=5$ este: a) $14$ b) $7$ c) $2$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{15}-3$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $8$ cm b) $4$ cm c) $1$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $35^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $145^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=10$ cm și $AC=24$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $34$ cm b) $26$ cm c) $676$ cm d) $\sqrt{576}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu latura $AB=6$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $12$ cm b) $36$ cm c) $6\sqrt{2}$ cm d) $3\sqrt{2}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $80^{\circ }$ b) $20^{\circ }$ c) $160^{\circ }$ d) $40^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=4$ cm. Volumul cubului este egal cu:

a) $64{\text{cm}}^3$ b) $16{\text{cm}}^3$ c) $48{\text{cm}}^3$ d) $24{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Familia Ionescu și-a propus să economisească o sumă de bani pentru o excursie. În prima lună au pus deoparte $30\%$ din sumă, în a doua lună au economisit $20\%$ din ce mai rămăsese de economisit, iar în a treia lună ultimii $840$ lei, atingând astfel obiectivul. a) (2 p) Arată că în a doua lună familia a economisit mai puțin decât în prima lună. b) (3 p) Determină suma totală pe care familia și-a propus să o economisească.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2+5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte O firmă de telefonie oferă un abonament de internet mobil cu un cost fix de $20$ de lei pe lună, la care se adaugă $4$ lei pentru fiecare gigabyte (GB) de trafic suplimentar consumat. Costul lunar, în lei, pentru $x$ GB de trafic suplimentar este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+20$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(5)$ și precizează ce reprezintă $f(0)$ în contextul problemei. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=24$ cm și $AD=10$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=10$ cm și $AC=24$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă decorativă are forma unui tetraedru regulat $ABCD$ cu muchia de $6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $CD$. a) (2 p) Arată că apotema (înălțimea) unei fețe, $AM$, este egală cu $3\sqrt{3}$ cm. b) (3 p) Calculează aria totală și volumul tetraedrului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(35+5\cdot 3):5=(35+15):5=50:5=10$.
2. b) $\frac{x}{14}=\frac{5}{7}\Rightarrow x=\frac{14\cdot 5}{7}=10$.
3. c) Elementele comune sunt $4$ și $8$, deci $A\cap B=\{4,8\}$.
4. d) $30\%\cdot 150=\frac{30}{100}\cdot 150=45$.
5. b) $a=\sqrt{81}=9$; media $=\frac{9+5}{2}=7$.
6. c) Cum $9<15<16$, avem $3<\sqrt{15}<4$, deci $0<\sqrt{15}-3<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-6=2$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. b) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$ cm.
4. c) În pătrat, diagonala $=\ell \sqrt{2}$, deci $AC=6\sqrt{2}$ cm.
5. d) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. a) $V={\ell }^3=4^3=64{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ suma pe care familia și-a propus să o economisească. a) (2 p) Prima lună: $30\%$ din $S$. A doua lună: $20\%$ din rest $=20\%\cdot 70\%\cdot S=14\%$ din $S$ (1 p). Cum $14\%<30\%$, în a doua lună s-a economisit mai puțin decât în prima lună (1 p). b) (3 p) După primele două luni s-a economisit $30\%+14\%=44\%$ din $S$, deci a mai rămas $56\%\cdot S$ (1 p). Acest rest a fost economisit în a treia lună: $56\%\cdot S=840$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{840}{0,56}=1500$ lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2+5x=x(x+5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x+5)}=\frac{x-5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x-5}{x}=1-\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=-5$, rămân $x\in \{-1,1,5\}$ (1 p) (verificare: $E(-1)=6$, $E(1)=-4$, $E(5)=0$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=4\cdot 0+20=20$ (1 p); $f(5)=4\cdot 5+20=40$ (1 p). $f(0)=20$ reprezintă costul fix (abonamentul) plătit lunar, chiar și fără trafic suplimentar. b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 4x+20=0\Rightarrow x=-5$, deci $A(-5,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=20$, deci $B(0,20)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{5\cdot 20}{2}=50$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(24+10)=68$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=24\cdot 10=240{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{676}=26$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=24$, cateta alăturată $AB=10$, ipotenuza $BC=26$. $$\sin B=\frac{24}{26}=\frac{12}{13},\cos B=\frac{10}{26}=\frac{5}{13},\mathrm{tg}B=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=10+24+26=60$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Fața $ACD$ este un triunghi echilateral cu latura $6$ cm, iar $M$ este mijlocul laturii $CD$, deci $AM$ este înălțime în acest triunghi (1 p). Din triunghiul dreptunghic $AMD$ ($AD=6$, $MD=3$): $AM=\sqrt{A{D}^2-M{D}^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ cm (1 p). b) (3 p) Tetraedrul regulat are $4$ fețe – triunghiuri echilaterale cu latura $6$ cm; aria unei fețe este $\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$, deci aria totală $A_t=4\cdot 9\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Fie $O$ centrul feței $BCD$; atunci $AO\perp (BCD)$ și $AO=\sqrt{A{D}^2-O{D}^2}$, unde $OD=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$, deci $AO=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_{BCD}\cdot AO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.