Simulare Evaluarea Națională nr. 67

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(28+7\cdot 2):6$ este: a) $7$ b) $8$ c) $6$ d) $42$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{4}=\frac{11}{2}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $44$ b) $8$ c) $22$ d) $5,5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,5,7\}$ și $B=\{1,2,4,5,8\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{1,2,3,4,5,7,8\}$ b) $\{2,5\}$ c) $\{3,7\}$ d) $\{1,4,8\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $50$ b) $120$ c) $30$ d) $45$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=13$ este: a) $20$ b) $10$ c) $6,5$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{26}-5$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $4$ cm c) $8$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $50^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $50^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $40^{\circ }$ d) $130^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=15$ cm și $AC=20$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $45$ cm b) $35$ cm c) $625$ cm d) $25$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=9$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $21$ cm b) $15$ cm c) $\sqrt{63}$ cm d) $225$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $80^{\circ }$ b) $20^{\circ }$ c) $40^{\circ }$ d) $160^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu dimensiunile $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $120{\text{cm}}^3$ b) $148{\text{cm}}^3$ c) $74{\text{cm}}^3$ d) $15{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un apicultor estimează, la începutul sezonului, producția totală de miere pe care o va recolta. La prima recoltă obține $40\%$ din producția totală, la a doua recoltă obține $30\%$ din mierea rămasă, iar la a treia recoltă obține ultimele $63$ kg de miere. a) (2 p) Arată că la a doua recoltă apicultorul a obținut mai puțină miere decât la prima recoltă. b) (3 p) Determină producția totală de miere din acel sezon.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2+5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte La un curs de înot se plătește o taxă unică de înscriere de $40$ lei și, în plus, $25$ lei pentru fiecare ședință. Costul total, în lei, pentru $x$ ședințe este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=25x+40$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(6)$ și precizează ce reprezintă $f(0)$ în contextul problemei. b) (3 p) Un cursant a plătit în total $315$ lei pentru participarea la curs. Determină numărul de ședințe la care a participat.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ cm și $AD=12$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=18$ cm și $AC=24$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă metalică are forma unei prisme triunghiulare regulate $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu latura bazei $AB=6$ cm și înălțimea prismei $A{A}^{\prime }=10$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul bazei și aria laterală a prismei. b) (3 p) Calculează aria bazei, aria totală și volumul prismei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(28+7\cdot 2):6=(28+14):6=42:6=7$.
2. c) $\frac{x}{4}=\frac{11}{2}\Rightarrow x=\frac{4\cdot 11}{2}=\frac{44}{2}=22$.
3. b) Elementele comune sunt $2$ și $5$, deci $A\cap B=\{2,5\}$.
4. d) $30\%\cdot 150=\frac{30}{100}\cdot 150=45$.
5. b) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+13}{2}=\frac{20}{2}=10$.
6. c) Cum $25<26<36$, avem $5<\sqrt{26}<6$, deci $0<\sqrt{26}-5<1$, adică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-6=2$ cm.
2. c) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-50^{\circ }-90^{\circ }=40^{\circ }$.
3. d) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$ cm.
4. b) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.
5. c) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. a) $V=AB\cdot BC\cdot A{A}^{\prime }=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ producția totală de miere (în kg). a) (2 p) Prima recoltă: $40\%$ din $S$, deci rămâne $60\%\cdot S$. A doua recoltă: $30\%$ din rest $=30\%\cdot 60\%\cdot S=18\%$ din $S$ (1 p). Cum $18\%<40\%$, la a doua recoltă s-a obținut mai puțină miere decât la prima recoltă (1 p). b) (3 p) După primele două recolte s-a obținut $40\%+18\%=58\%$ din $S$, deci a rămas $42\%\cdot S$ (1 p). Acest rest a fost recoltat a treia oară: $42\%\cdot S=63$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{63}{0,42}=150$ kg (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2+5x=x(x+5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x+5)}=\frac{x-5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x-5}{x}=1-\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=-5$, rămân $x\in \{-1,1,5\}$ (1 p) (verificare: $E(-1)=6$, $E(1)=-4$, $E(5)=0$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=25\cdot 0+40=40$; $f(6)=25\cdot 6+40=150+40=190$ (1 p). Valoarea $f(0)=40$ reprezintă taxa de înscriere (costul plătit înainte de orice ședință) (1 p). b) (3 p) Costul total pentru $x$ ședințe este $315$ lei: $25x+40=315$ (1 p) $\Rightarrow 25x=275$ (1 p) $\Rightarrow x=11$ ședințe (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(16+12)=56$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=16\cdot 12=192{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=24$, cateta alăturată $AB=18$, ipotenuza $BC=30$. $$\sin B=\frac{24}{30}=\frac{4}{5},\cos B=\frac{18}{30}=\frac{3}{5},\mathrm{tg}B=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=18+24+30=72$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Baza este un triunghi echilateral cu latura $\ell =AB=6$ cm, iar înălțimea prismei este $A{A}^{\prime }=10$ cm. a) (2 p) Perimetrul bazei: $P_{baza}=3\cdot 6=18$ cm (1 p). Aria laterală: $A_{\ell }=P_{baza}\cdot A{A}^{\prime }=18\cdot 10=180{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Aria bazei (triunghi echilateral): $A_b=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria totală: $A_t=A_{\ell }+2\cdot A_b=180+2\cdot 9\sqrt{3}=180+18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=A_b\cdot A{A}^{\prime }=9\sqrt{3}\cdot 10=90\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.