Simulare Evaluarea Națională nr. 69

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(28 + 4 \cdot 8) : 4$ este: a) $64$ b) $15$ c) $60$ d) $32$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{9} = \frac{8}{3}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $24$ b) $21$ c) $3$ d) $72$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A = {2, 4, 6, 8}$ și $B = {4, 5, 6, 7}$ . Intersecția $A \cap B$ este mulțimea: a) ${2, 8}$ b) ${4, 5, 6}$ c) ${4, 6}$ d) ${2, 4, 5, 6, 7, 8}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30%$ din numărul $120$ reprezintă: a) $90$ b) $40$ c) $30$ d) $36$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a = 49$ și $b = 11$ este: a) $18$ b) $9$ c) $8$ d) $4, 5$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 20 - 4$ . Atunci: a) $a < 0$ b) $a = 0$ c) $0 < a < 1$ d) $a > 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 5$ cm și $B C = 11$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $8$ cm b) $5, 5$ cm c) $3$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $5 5^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este drept. Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $3 5^{\circ}$ b) $4 5^{\circ}$ c) $9 0^{\circ}$ d) $12 5^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 16$ cm și $A C = 30$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $46$ cm b) $32$ cm c) $24$ cm d) $34$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $A B C D$ (cu $A B ∥ D C$ ), cu baza mare $A B = 20$ cm, baza mică $D C = 12$ cm și înălțimea $A D = 6$ cm. Aria trapezului $A B C D$ este egală cu:

a) $192 cm^{2}$ b) $96 cm^{2}$ c) $80 cm^{2}$ d) $108 cm^{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ , în care $A B$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $B C$ este de $4 8^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $2 4^{\circ}$ b) $4 8^{\circ}$ c) $1 2^{\circ}$ d) $9 6^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $A B C D E F G H$ , cu dimensiunile $A B = 8$ cm, $B C = 5$ cm și $A E = 3$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $158 cm^{3}$ b) $16 cm^{3}$ c) $120 cm^{3}$ d) $40 cm^{3}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un colecționar are o colecție de timbre. În prima lună dăruiește $30%$ din colecție, în a doua lună dăruiește $20%$ din timbrele rămase, iar după aceste două luni în colecție mai rămân $168$ de timbre. a) (2 p) Arată că în a doua lună colecționarul a dăruit mai puține timbre decât în prima lună. b) (3 p) Determină câte timbre a avut la început colecția.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} - 5 x}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 0$ și $x \neq = 5$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x + 5}{x}$ , pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E (x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul lunar al energiei electrice pentru o familie este dat de funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 16$ , unde $x$ reprezintă numărul de kWh consumați, $16$ lei este abonamentul fix, iar $2$ lei este prețul unui kWh (costul fiind exprimat în lei). a) (2 p) Calculează $f (0)$ (costul la un consum nul) și $f (12)$ (costul pentru un consum de $12$ kWh). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $O x$ în punctul $A$ și axa $O y$ în punctul $B$ . Determină aria triunghiului $A O B$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 30$ cm și $A D = 16$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $A B C D$ . b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $A C$ și aria dreptunghiului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 45$ cm și $A C = 24$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) (3 p) Calculează $sin B$ , $cos B$ , $tg B$ și perimetrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide triunghiulare regulate $V A B C$ , cu latura bazei $A B = 12$ cm și înălțimea $V O = 2$ cm ( $O$ este centrul bazei, iar $M$ este mijlocul laturii $B C$ ). a) (2 p) Calculează apotema bazei $O M$ și apotema piramidei $V M$ . b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	a)	c)	d)	b)	c)

b) $(28 + 4 \cdot 8) : 4 = (28 + 32) : 4 = 60 : 4 = 15$ .
a) $\frac{x}{9} = \frac{8}{3} \Rightarrow x = \frac{9 \cdot 8}{3} = \frac{72}{3} = 24$ .
c) Elementele comune sunt $4$ și $6$ , deci $A \cap B = {4, 6}$ .
d) $30% \cdot 120 = \frac{30}{100} \cdot 120 = 36$ .
b) $a = 49 = 7$ ; media $= \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$ .
c) Cum $16 < 20 < 25$ , avem $4 < 20 < 5$ , deci $0 < 20 - 4 < 1$ , adică $0 < a < 1$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	c)	a)	d)	b)	a)	c)

c) $A C = A B + B C = 5 + 11 = 16$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 8$ cm; $M B = A M - A B = 8 - 5 = 3$ cm.
a) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 5^{\circ}$ .
d) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 6^{2} + 3 0^{2} = 256 + 900 = 1156 = 34$ cm.
b) $A_{A B C D} = \frac{( A B + D C ) \cdot A D}{2} = \frac{( 20 + 12 ) \cdot 6}{2} = \frac{32 \cdot 6}{2} = 96 cm^{2}$ .
a) Unghiul $B A C$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $B C$ , deci $m (∠ B A C) = \frac{1}{2} \cdot 4 8^{\circ} = 2 4^{\circ}$ .
c) $V = A B \cdot B C \cdot A E = 8 \cdot 5 \cdot 3 = 120 cm^{3}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ numărul inițial de timbre. a) (2 p) Luna întâi: se dăruiește $30%$ din $S$ . Luna a doua: $20%$ din rest $= 20% \cdot 70% \cdot S = 14%$ din $S$ (1 p). Cum $14% < 30%$ , în a doua lună s-au dăruit mai puține timbre decât în prima lună (1 p). b) (3 p) După primele două luni s-a dăruit $30% + 14% = 44%$ din $S$ , deci a rămas $56% \cdot S$ (1 p). Acest rest reprezintă cele $168$ de timbre: $56% \cdot S = 168$ (1 p) $\Rightarrow S = \frac{168}{0 , 56} = 300$ de timbre (1 p). (Verificare: luna I $\to 90$ , rămân $210$ ; luna a II-a $\to 20% \cdot 210 = 42$ , rămân $168$ .)

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ și $x^{2} - 5 x = x (x - 5)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x ( x - 5 )} = \frac{x + 5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E (x) = \frac{x + 5}{x} = 1 + \frac{5}{x}$ (1 p); $E (x) \in Z \Leftrightarrow x ∣ 5$ , deci $x \in {- 5, - 1, 1, 5}$ (1 p). Din domeniu se exclud $x = 0$ și $x = 5$ , rămân $x \in {- 5, - 1, 1}$ (1 p) (verificare: $E (- 5) = 0$ , $E (- 1) = - 4$ , $E (1) = 6$ ).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (0) = 2 \cdot 0 + 16 = 16$ (lei) (1 p); $f (12) = 2 \cdot 12 + 16 = 24 + 16 = 40$ (lei) (1 p). b) (3 p) $A = O x \cap G_{f}$ : $f (x) = 0 \Rightarrow 2 x + 16 = 0 \Rightarrow x = - 8$ , deci $A (- 8, 0)$ (1 p). $B = O y \cap G_{f}$ : $x = 0 \Rightarrow y = 16$ , deci $B (0, 16)$ (1 p). Triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ : $A_{A O B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{8 \cdot 16}{2} = 64$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{A B C D} = 2 (A B + A D) = 2 (30 + 16) = 92$ cm. b) (3 p) Diagonala: $A C = A B^{2} + A D^{2} = 3 0^{2} + 1 6^{2} = 900 + 256 = 1156 = 34$ cm (2 p). Aria: $A_{A B C D} = A B \cdot A D = 30 \cdot 16 = 480 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B C = A B^{2} + A C^{2} = 4 5^{2} + 2 4^{2} = 2025 + 576 = 2601 = 51$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$ : cateta opusă $A C = 24$ , cateta alăturată $A B = 45$ , ipotenuza $B C = 51$ . $sin B = \frac{24}{51} = \frac{8}{17}, cos B = \frac{45}{51} = \frac{15}{17}, tg B = \frac{24}{45} = \frac{8}{15} (2 p) .$ Perimetrul: $P = A B + A C + B C = 45 + 24 + 51 = 120$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei (triunghi echilateral cu latura $12$ ): $O M = \frac{A B 3}{6} = \frac{12 3}{6} = 23$ cm (1 p). Triunghiul $V O M$ dreptunghic în $O$ : $V M = V O^{2} + O M^{2} = 2^{2} + (23)^{2} = 4 + 12 = 16 = 4$ cm (1 p). b) (3 p) Perimetrul bazei $P_{ba z a} = 3 \cdot 12 = 36$ cm; aria laterală $A_{ℓ} = \frac{P _{ba z a} \cdot V M}{2} = \frac{36 \cdot 4}{2} = 72 cm^{2}$ (1 p). Aria bazei $A_{b} = \frac{A B ^{2} 3}{4} = \frac{144 3}{4} = 363 cm^{2}$ ; aria totală $A_{t} = A_{ℓ} + A_{b} = 72 + 363 cm^{2}$ (1 p). Volumul $V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot V O = \frac{1}{3} \cdot 363 \cdot 2 = 243 cm^{3}$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.