Simulare Evaluarea Națională nr. 71

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(43+6\cdot 8):7$ este: a) $91$ b) $7$ c) $56$ d) $13$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{14}=\frac{6}{7}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $16$ b) $12$ c) $84$ d) $\frac{7}{12}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma dintre numărul $-34$ și opusul numărului $19$ este egală cu: a) $-15$ b) $53$ c) $-53$ d) $15$

Exercițiul 4 · 5 puncte O bibliotecă școlară are un fond de $340$ de cărți de povești. Un elev împrumută $15\%$ dintre acestea. Numărul de cărți împrumutate de elev este: a) $45$ b) $55$ c) $51$ d) $34$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi au calculat valoarea expresiei $E=\sqrt{98}-\sqrt{50}$ și au obținut fiecare alt rezultat: Bogdan a scris $\sqrt{48}$, Ana a scris $2\sqrt{2}$, Carla a scris $4\sqrt{3}$, iar David a scris $48$. Cine are dreptate? a) Bogdan b) Ana c) Carla d) David

Exercițiul 6 · 5 puncte Diagrama arată numărul de elevi înscriși la cercul opțional de robotică, în patru luni: septembrie – $24$, octombrie – $18$, noiembrie – $30$, decembrie – $22$. Diferența dintre luna cu cel mai mare număr de înscrieri și luna cu cel mai mic număr de înscrieri este: a) $8$ b) $6$ c) $12$ d) $30$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $M$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=5$ cm și $BC=9$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $7$ cm b) $2$ cm c) $4$ cm d) $9$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, iar dreapta $c$ le intersectează în punctele $M$, respectiv $N$. Măsura unghiului $1$ (format de $c$ cu $a$, deasupra lui $a$) este de $118^{\circ }$. Măsura unghiului $2$ (format de $c$ cu $b$, dedesubtul lui $b$, de aceeași parte a lui $c$ ca unghiul $1$) este egală cu:

a) $118^{\circ }$ b) $62^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $56^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=7$ cm și $AC=24$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $31$ cm b) $17$ cm c) $168$ cm d) $25$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu diagonalele $AC=16$ cm și $BD=12$ cm. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

a) $192$ cm² b) $56$ cm² c) $96$ cm² d) $28$ cm²

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$. Măsura unghiului la centru $AOB$ este de $100^{\circ }$, iar punctul $C$ aparține arcului mare $AB$. Măsura unghiului înscris $ACB$ este egală cu:

a) $50^{\circ }$ b) $100^{\circ }$ c) $25^{\circ }$ d) $200^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$, cu latura bazei $AB=6$ cm și înălțimea $VO=8$ cm ($O$ este centrul bazei). Volumul piramidei este egal cu:

a) $288$ cm³ b) $96$ cm³ c) $144$ cm³ d) $48$ cm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un magazin de articole sportive vinde mingi de fotbal cu prețul $p$ lei (număr natural). Se știe că, dacă prețul se mărește cu $12$ lei, se obține exact dublul prețului inițial micșorat cu $9$ lei. a) (2 p) Verifică dacă $p=18$ lei este soluția problemei. b) (3 p) Determină prețul $p$ al mingii de fotbal.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{2}{x-1}+\frac{x-5}{x^2-1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 1$ și $x\ne -1$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{3}{x+1}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-\frac{3}{4}x+6$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(8)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Se consideră punctul $C(7,7)$. Arată că triunghiul $ABC$ este isoscel și că unghiurile $BAC$ și $ABC$ sunt congruente.

Exercițiul 4 · 5 puncte În cercul cu centrul $O$ și raza $R=10$ cm este înscris triunghiul $ABC$, unde $AB$ este diametru, iar măsura arcului mic $AC$ este de $40^{\circ }$. Coarda $CD$ este paralelă cu diametrul $AB$ ($D$ pe cerc, cu $m(\widehat{BD})=40^{\circ }$). Semidreapta $[AE$ este bisectoarea unghiului $\angle CAB$, cu $E$ al doilea punct în care bisectoarea intersectează cercul. a) (2 p) Arată că $m(\angle ACB)=90^{\circ }$ și calculează $m(\angle CAB)$. b) (3 p) Arată că $E$ este mijlocul arcului mic $BC$ (cel care nu conține pe $A$) și calculează $m(\angle BAE)$ și $m(\angle EAC)$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În paralelogramul $ABCD$, cu $AB=18$ cm, punctul $M$ este mijlocul laturii $CD$. Segmentul $AM$ intersectează diagonala $BD$ în punctul $P$. a) (2 p) Arată că triunghiurile $DPM$ și $BPA$ sunt asemenea și determină raportul de asemănare $\frac{DM}{AB}$. b) (3 p) Știind că $BD=27$ cm, calculează lungimile $DP$ și $BP$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei prisme drepte $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghi echilateral $ABC$ de latură $6$ cm și înălțimea prismei $A{A}^{\prime }=8$ cm. a) (2 p) Calculează aria bazei $ABC$ și perimetrul bazei. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul prismei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) $(43+6\cdot 8):7=(43+48):7=91:7=13$.
2. b) $\frac{x}{14}=\frac{6}{7}\Rightarrow x=\frac{14\cdot 6}{7}=12$.
3. c) Opusul lui $19$ este $-19$; suma $=-34+(-19)=-53$.
4. c) $15\%\cdot 340=\frac{15}{100}\cdot 340=51$.
5. b) $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$; $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$; $E=7\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ — Ana are dreptate.
6. c) Maximul este $30$ (noiembrie), minimul este $18$ (octombrie); diferența $=30-18=12$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AC=AB+BC=5+9=14$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=7$ cm; $MB=AM-AB=7-5=2$ cm.
2. b) Unghiul $1$ (deasupra lui $a$) și unghiul $2$ (dedesubtul lui $b$) sunt unghiuri externe de aceeași parte a secantei $c$ (nu corespondente), deci sunt suplementare: $m(\angle 2)=180^{\circ }-118^{\circ }=62^{\circ }$.
3. d) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ cm.
4. c) Aria rombului $=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=96{\text{cm}}^2$.
5. a) Unghiul înscris $ACB$ subîntinde același arc $AB$ ca și unghiul la centru $AOB$, deci $m(\angle ACB)=\frac{1}{2}\cdot 100^{\circ }=50^{\circ }$.
6. b) Aria bazei $A_b=6^2=36{\text{cm}}^2$; $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 8=96{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $p$ prețul mingii. a) (2 p) Pentru $p=18$: $p+12=18+12=30$, iar $2p-9=2\cdot 18-9=27$ (1 p). Cum $30\ne 27$, egalitatea nu este verificată, deci $p=18$ nu este soluția problemei (1 p). b) (3 p) Ecuația problemei este $p+12=2p-9$ (1 p). Rezolvăm: $12+9=2p-p\Rightarrow p=21$ (1 p). Verificare: $21+12=33$ și $2\cdot 21-9=33$ — egalitatea se verifică, deci prețul mingii este $p=21$ lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Aducem la același numitor $(x-1)(x+1)=x^2-1$: $\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+1)}{x^2-1}$ (1 p). Atunci $E(x)=\frac{2(x+1)+(x-5)}{x^2-1}=\frac{2x+2+x-5}{x^2-1}=\frac{3x-3}{x^2-1}=\frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3}{x+1}$, pentru $x\ne 1$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{3}{x+1}\in \mathbb{Z}\iff (x+1)\mid 3$, deci $x+1\in \{-3,-1,1,3\}$ (1 p), adică $x\in \{-4,-2,0,2\}$ (1 p). Toate aceste valori respectă domeniul ($x\ne 1$, $x\ne -1$), deci soluțiile sunt $x\in \{-4,-2,0,2\}$ (1 p) (verificare: $E(-4)=-1$, $E(-2)=-3$, $E(0)=3$, $E(2)=1$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=-\frac{3}{4}\cdot 0+6=6$ (1 p); $f(8)=-\frac{3}{4}\cdot 8+6=-6+6=0$ (1 p). b) (3 p) Graficul intersectează $Ox$ în $A$, unde $f(x)=0\Rightarrow x=8$, deci $A(8,0)$; intersectează $Oy$ în $B(0,6)$ (din $f(0)=6$) (1 p). Calculăm, folosind teorema lui Pitagora în triunghiuri dreptunghice auxiliare: $CA=\sqrt{(8-7{)}^2+(0-7{)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$ și $CB=\sqrt{(7-0{)}^2+(7-6{)}^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}$ (1 p). Cum $CA=CB=\sqrt{50}$, triunghiul $ABC$ este isoscel cu vârful $C$, deci unghiurile de la bază sunt congruente: $\angle BAC\equiv \angle ABC$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $AB$ este diametru, deci unghiul înscris $\angle ACB$ este înscris într-un semicerc, așadar $m(\angle ACB)=90^{\circ }$ (1 p). Arcul $\widehat{CB}$ (care nu conține pe $A$) are măsura $180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$ (semicercul de deasupra lui $AB$ are $180^{\circ }$); unghiul înscris $\angle CAB$ subîntinde acest arc, deci $m(\angle CAB)=\frac{140^{\circ }}{2}=70^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) Conform teoremei bisectoarei unui unghi înscris, bisectoarea $[AE$ a unghiului $\angle CAB$ intersectează cercul în mijlocul arcului $\widehat{CB}$ care nu conține pe $A$ (1 p). Deci arcele $\widehat{BE}$ și $\widehat{EC}$ sunt egale, fiecare având $\frac{140^{\circ }}{2}=70^{\circ }$ (1 p). Unghiurile înscrise corespunzătoare sunt $m(\angle BAE)=\frac{70^{\circ }}{2}=35^{\circ }$ și $m(\angle EAC)=\frac{70^{\circ }}{2}=35^{\circ }$, confirmând că $[AE$ este bisectoare ($35^{\circ }+35^{\circ }=70^{\circ }$) (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) În paralelogramul $ABCD$, laturile opuse sunt paralele și egale: $CD\parallel AB$ și $CD=AB=18$ cm, deci $DM=\frac{CD}{2}=9$ cm (1 p). Cum $DM\parallel AB$ ($M\in CD$), unghiurile $\angle MDP\equiv \angle ABP$ (alterne interne) și $\angle DPM\equiv \angle BPA$ (opuse la vârf), deci triunghiurile $DPM$ și $BPA$ sunt asemenea (cazul U.U.), cu raportul $\frac{DM}{AB}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$ (1 p). b) (3 p) Din asemănare, $\frac{DP}{BP}=\frac{DM}{AB}=\frac{1}{2}$, deci $BP=2\cdot DP$ (1 p). Cum $BD=BP+DP=27$ cm, obținem $2\cdot DP+DP=27\Rightarrow 3\cdot DP=27\Rightarrow DP=9$ cm (1 p). Atunci $BP=2\cdot DP=2\cdot 9=18$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria bazei (triunghi echilateral cu latura $6$ cm): $A_b=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Perimetrul bazei: $P_b=3\cdot 6=18$ cm (1 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{\ell }=P_b\cdot A{A}^{\prime }=18\cdot 8=144{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria totală: $A_t=A_{\ell }+2\cdot A_b=144+2\cdot 9\sqrt{3}=144+18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=A_b\cdot A{A}^{\prime }=9\sqrt{3}\cdot 8=72\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, procente, radicali, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (unghiuri, patrulatere, cerc) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic; teoremele despre cerc (unghi înscris, unghi la centru, bisectoarea unui unghi înscris) se aplică direct, fără demonstrații suplimentare.