Simulare Evaluarea Națională nr. 73

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(38-2\cdot 7):4+5$ este: a) $6$ b) $29$ c) $11$ d) $16$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cel mai mare număr natural $x$ pentru care $5x-3<38$ este: a) $7$ b) $41$ c) $9$ d) $8$

Exercițiul 3 · 5 puncte Scris ca fracție ordinară, numărul $2,(3)$ este egal cu: a) $\frac{23}{9}$ b) $\frac{7}{3}$ c) $\frac{3}{7}$ d) $\frac{7}{9}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Într-un depozit sunt $740$ de jucării. Dintre acestea, $45\%$ sunt seturi de construcție. Numărul seturilor de construcție din depozit este: a) $295$ b) $370$ c) $33,3$ d) $333$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi calculează valoarea expresiei $E=2\sqrt{81}-5\cdot 3$. Radu obține $E=3$, Elena obține $E=33$, Vlad obține $E=-3$, iar Maria obține $E=13$. Elevul (eleva) care a calculat corect este: a) Radu b) Elena c) Vlad d) Maria

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=4-\sqrt{15}$. Atunci: a) $a<0$ b) $0<a<1$ c) $a=0$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=7$ cm și $BC=11$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $5$ cm c) $9$ cm d) $4$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, tăiate de secanta $c$. Unghiul format de secantă cu dreapta $a$, marcat în figură, are măsura de $126^{\circ }$. Măsura unghiului corespunzător lui, format de secantă cu dreapta $b$, este egală cu:

a) $54^{\circ }$ b) $108^{\circ }$ c) $126^{\circ }$ d) $63^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $AD$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, cu $D\in BC$, $BD=4$ cm și $DC=16$ cm. Lungimea înălțimii $AD$ este egală cu:

a) $64$ cm b) $20$ cm c) $\sqrt{20}$ cm d) $8$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ cu diagonalele $AC=16$ cm și $BD=12$ cm. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

a) $96{\text{cm}}^2$ b) $192{\text{cm}}^2$ c) $48{\text{cm}}^2$ d) $28{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul $O$. Punctele $A$ și $C$ aparțin cercului, iar unghiul la centru $AOC$ are măsura de $110^{\circ }$. Punctul $B$ aparține arcului mare $AC$. Măsura unghiului înscris $ABC$ este egală cu:

a) $110^{\circ }$ b) $55^{\circ }$ c) $35^{\circ }$ d) $220^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza un triunghi echilateral de latură $6$ cm și înălțimea prismei $10$ cm. Volumul prismei este egal cu:

a) $60\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ b) $90\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ c) $180\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ d) $360{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte La un concurs, prețul unui bilet de intrare este de $18$ lei. Organizatorii acordă grupurilor organizate o reducere fixă de $40$ de lei, indiferent de numărul de bilete cumpărate. Un grup de elevi a plătit, în total, suma de $230$ de lei pentru bilete. a) (2 p) Arată că grupul de elevi nu a cumpărat $10$ bilete. b) (3 p) Determină câte bilete a cumpărat grupul de elevi.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+4}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 4$ și $x\ne -4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{8}{x^2-16}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Arată că produsul $E(2)\cdot E(-2)$ este pătratul unui număr rațional.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-8$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(4)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$. Determină distanța de la origine $O$ la punctul $M$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată, patrulaterul $ABCD$ este înscris într-un cerc de centru $O$, cu $AC$ diametru, $AC=10$ cm. Se cunosc $AB=6$ cm, $BC=8$ cm, $AD=8$ cm și $DC=6$ cm ($B$ și $D$ sunt de o parte și de alta a diametrului $AC$). a) (2 p) Calculează aria triunghiului $ABC$. b) (3 p) Știind că triunghiul $ACD$ este dreptunghic în $D$, calculează aria patrulaterului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Paralelogramul $ABCD$ are aria $96{\text{cm}}^2$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul laturii $BC$. Se decupează triunghiul $MBN$ din colțul $B$ al paralelogramului. a) (2 p) Arată că $\frac{{\mathcal{A}}_{MBN}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=\frac{1}{4}$. b) (3 p) Calculează aria triunghiului decupat $MBN$ și aria patrulaterului rămas $AMNCD$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă tehnică are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu baza mare $ABCD$ pătrat de latură $10$ cm, baza mică $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ pătrat de latură $4$ cm și înălțimea trunchiului $4$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea apotemei trunchiului de piramidă. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de piramidă.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $(38-2\cdot 7):4+5=(38-14):4+5=24:4+5=6+5=11$.
2. d) $5x-3<38\Rightarrow 5x<41\Rightarrow x<8,2$, deci cel mai mare număr natural este $x=8$.
3. b) $2,(3)=2+\frac{3}{9}=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$.
4. d) $45\%\cdot 740=\frac{45}{100}\cdot 740=333$.
5. a) $E=2\sqrt{81}-5\cdot 3=2\cdot 9-15=18-15=3$; doar Radu a obținut $E=3$.
6. b) Cum $9<15<16$, avem $3<\sqrt{15}<4$, deci $0<4-\sqrt{15}<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $AC=AB+BC=7+11=18$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=9$ cm; $MB=AM-AB=9-7=2$ cm.
2. c) Unghiurile corespondente formate de o secantă cu două drepte paralele sunt congruente, deci măsura căutată este tot $126^{\circ }$.
3. d) Relația metrică din triunghiul dreptunghic: $A{D}^2=BD\cdot DC=4\cdot 16=64$, deci $AD=\sqrt{64}=8$ cm.
4. a) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=\frac{192}{2}=96{\text{cm}}^2$.
5. b) Unghiul înscris $\angle ABC$ subîntinde același arc $AC$ ca și unghiul la centru $\angle AOC$, deci $m(\angle ABC)=\frac{1}{2}\cdot 110^{\circ }=55^{\circ }$.
6. b) Aria bazei (triunghi echilateral): ${\mathcal{A}}_{baza}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$; $V={\mathcal{A}}_{baza}\cdot h=9\sqrt{3}\cdot 10=90\sqrt{3}{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $x$ numărul de bilete cumpărate de grup. a) (2 p) Dacă grupul ar fi cumpărat $10$ bilete, suma plătită ar fi fost $18\cdot 10-40=180-40=140$ lei (1 p). Cum $140\ne 230$, grupul nu a cumpărat $10$ bilete (1 p). b) (3 p) Ecuația corespunzătoare situației reale este $18x-40=230$ (1 p) $\Rightarrow 18x=270$ (1 p) $\Rightarrow x=\frac{270}{18}=15$ bilete (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Aducem la același numitor: $E(x)=\frac{(x+4)-(x-4)}{(x-4)(x+4)}$ (1 p) $=\frac{8}{x^2-16}$ (1 p). b) (3 p) $E(2)=\frac{8}{4-16}=\frac{8}{-12}=-\frac{2}{3}$ (1 p); $E(-2)=\frac{8}{4-16}=-\frac{2}{3}$ (1 p) (expresia depinde doar de $x^2$, deci $E(-2)=E(2)$). Produsul $E(2)\cdot E(-2)=\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2$, deci este pătratul unui număr rațional (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=2\cdot 0-8=-8$ (1 p); $f(4)=2\cdot 4-8=0$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow x=4$, deci $A(4,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=-8$, deci $B(0,-8)$ (1 p). Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ are coordonatele $M\left(\frac{4+0}{2},\frac{0+(-8)}{2}\right)=M(2,-4)$; distanța $OM=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Cum $AC$ este diametru, unghiul înscris în semicerc $\angle ABC$ este drept, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$. Verificare cu reciproca teoremei lui Pitagora: $A{B}^2+B{C}^2=6^2+8^2=36+64=100=A{C}^2$ (1 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Analog, unghiul înscris $\angle ADC$ este drept (subîntinde tot diametrul $AC$), iar $A{D}^2+D{C}^2=8^2+6^2=64+36=100=A{C}^2$, confirmat (1 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ACD}=\frac{AD\cdot DC}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria patrulaterului: ${\mathcal{A}}_{ABCD}={\mathcal{A}}_{ABC}+{\mathcal{A}}_{ACD}=24+24=48{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $MB=\frac{AB}{2}$ și $BN=\frac{BC}{2}$, iar unghiul $B$ este comun triunghiurilor $MBN$ și $ABC$ (1 p). Conform cazului de asemănare LUL, triunghiurile $MBN$ și $ABC$ sunt asemenea, cu raportul de asemănare $k=\frac{1}{2}$, deci $\frac{{\mathcal{A}}_{MBN}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=k^2=\frac{1}{4}$ (1 p). b) (3 p) Diagonala $AC$ împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, deci ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{2}=\frac{96}{2}=48{\text{cm}}^2$ (1 p). Din a), ${\mathcal{A}}_{MBN}=\frac{1}{4}\cdot 48=12{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria rămasă: ${\mathcal{A}}_{AMNCD}={\mathcal{A}}_{ABCD}-{\mathcal{A}}_{MBN}=96-12=84{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Notăm cu $O$ și $O^{\prime }$ centrele bazelor, iar $M$, $M^{\prime }$ mijloacele laturilor $BC$, respectiv $B^{\prime }{C}^{\prime }$. a) (2 p) Apotemele bazelor: $OM=\frac{10}{2}=5$ cm, $O^{\prime }{M}^{\prime }=\frac{4}{2}=2$ cm; diferența lor este $5-2=3$ cm. În triunghiul dreptunghic format de înălțimea trunchiului și această diferență, apotema trunchiului este $M{M}^{\prime }=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ cm (2 p). b) (3 p) Perimetrele bazelor: $P_{mare}=4\cdot 10=40$ cm, $P_{mic}=4\cdot 4=16$ cm. Aria laterală: $A_{\ell }=\frac{(P_{mare}+P_{mic})}{2}\cdot M{M}^{\prime }=\frac{40+16}{2}\cdot 5=28\cdot 5=140{\text{cm}}^2$ (1 p). Ariile bazelor: $A_{mare}=10^2=100{\text{cm}}^2$, $A_{mic}=4^2=16{\text{cm}}^2$; aria totală $A_t=140+100+16=256{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{h}{3}\left(A_{mare}+A_{mic}+\sqrt{A_{mare}\cdot A_{mic}}\right)=\frac{4}{3}\left(100+16+\sqrt{1600}\right)=\frac{4}{3}\cdot 156=208{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, geometrie plană (unghiuri, relații metrice, cerc) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic; unghiul înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc.