Simulare Evaluarea Națională nr. 74

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(15 \cdot 4 - 18) : 3 + 7$ este: a) $14$ b) $33$ c) $21$ d) $25$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{12} = \frac{5}{4}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $9, 6$ b) $15$ c) $48$ d) $60$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A = {3, 6, 9, 12}$ și $B = {6, 9, 15, 18}$ . Intersecția $A \cap B$ este mulțimea: a) ${6}$ b) ${3, 12, 15, 18}$ c) ${3, 6, 9, 12, 15, 18}$ d) ${6, 9}$

Exercițiul 4 · 5 puncte O carte are $180$ de pagini. Radu a citit deja $35%$ din carte. Câte pagini a citit Radu? a) $117$ b) $63$ c) $54$ d) $72$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi calculează valoarea expresiei $E = 144 - 2 \cdot 9$ . Andrei obține $12$ , Bianca obține $18$ , Carmen obține $6$ , iar Dan obține $0$ . Cine are rezultatul corect? a) Andrei b) Bianca c) Carmen d) Dan

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 5 - 23$ . Atunci: a) $a < 0$ b) $a > 1$ c) $a = 0$ d) $0 < a < 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 7$ cm și $B C = 11$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $1$ cm b) $2$ cm c) $3$ cm d) $4$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $5 5^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este drept. Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $3 5^{\circ}$ b) $4 5^{\circ}$ c) $5 5^{\circ}$ d) $9 0^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 15$ cm și $A C = 20$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $35$ cm b) $625$ cm c) $25$ cm d) $175$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 15$ cm și $B C = 8$ cm. Lungimea diagonalei $A C$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $17$ cm c) $89$ cm d) $161$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ , în care $A B$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura unghiului $A B C$ este de $2 5^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $2 5^{\circ}$ b) $11 5^{\circ}$ c) $6 5^{\circ}$ d) $5 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $A B C D E F G H$ cu $A B = 3$ cm, $B C = 4$ cm și $A E = 12$ cm. Lungimea diagonalei $A G$ este egală cu:

a) $19$ cm b) $9$ cm c) $25$ cm d) $13$ cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Din două localități aflate la distanța de $230$ km una de cealaltă, pornesc în același moment, unul spre celălalt, pe același drum, un autoturism cu viteza de $52$ km/h și un autocamion cu viteza de $40$ km/h. a) (2 p) Arată că, după $2$ ore de la plecare, cele două vehicule nu s-au întâlnit încă. b) (3 p) Determină după câte ore de la plecare se întâlnesc cele două vehicule.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 6 x}{x ^{2} - 7 x + 6}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 1$ și $x \neq = 6$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x}{x - 1}$ , pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Arată că, oricare ar fi numărul natural $n$ , numărul $N_{n} = 2^{n + 3} - 2^{n + 1} - 2^{n}$ este divizibil cu $5$ .

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 9$ . a) (2 p) Calculează $f (- 2)$ și $f (5)$ . b) (3 p) Se consideră punctele $A (- 2, f (- 2))$ , $B (5, f (5))$ și $C (10, 21)$ . Arată că punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul $O$ și raza $R = 17$ cm. Coarda $A B$ este astfel încât distanța de la $O$ la $A B$ este $O M = 8$ cm ( $M$ fiind mijlocul lui $A B$ ). a) (2 p) Calculează lungimea coardei $A B$ . b) (3 p) O a doua coardă, $C D$ , este perpendiculară pe $A B$ în punctul lor de intersecție $K$ , iar distanța de la $O$ la $C D$ este $O N = 6$ cm ( $N$ fiind mijlocul lui $C D$ ). Calculează distanța $O K$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte În paralelogramul $A B C D$ , cu $A B = 20$ cm și $B C = 14$ cm, punctul $M$ este mijlocul laturii $B C$ , iar diagonala $B D = 24$ cm. Segmentele $A M$ și $B D$ se intersectează în punctul $P$ . a) (2 p) Arată că triunghiurile $B P M$ și $D P A$ sunt asemenea și că raportul de asemănare este $\frac{1}{2}$ . b) (3 p) Calculează lungimile segmentelor $B P$ și $P D$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide patrulatere regulate $V A B C D$ , cu latura bazei $A B = 8$ cm și apotema $V M = 5$ cm ( $O$ este centrul bazei, $M$ este mijlocul laturii $B C$ ). a) (2 p) Calculează înălțimea piramidei $V O$ . b) (3 p) Calculează aria totală și volumul piramidei, precum și distanța de la punctul $O$ la planul $(V B C)$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	c)	b)	d)	b)	c)	d)

c) $(15 \cdot 4 - 18) : 3 + 7 = (60 - 18) : 3 + 7 = 42 : 3 + 7 = 14 + 7 = 21$ .
b) $\frac{x}{12} = \frac{5}{4} \Rightarrow x = \frac{12 \cdot 5}{4} = 15$ .
d) Elementele comune sunt $6$ și $9$ , deci $A \cap B = {6, 9}$ .
b) $35% \cdot 180 = \frac{35}{100} \cdot 180 = 63$ pagini.
c) $E = 144 - 2 \cdot 9 = 12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6$ , valoare obținută de Carmen.
d) $23 < 25 \Rightarrow 23 < 5$ , deci $a = 5 - 23 > 0$ ; cum $23 > 4 \Rightarrow a < 1$ . Așadar $0 < a < 1$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	a)	c)	b)	c)	d)

b) $A C = A B + B C = 7 + 11 = 18$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 9$ cm; $M B = A M - A B = 9 - 7 = 2$ cm.
a) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 5^{\circ}$ .
c) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 5^{2} + 2 0^{2} = 225 + 400 = 625 = 25$ cm.
b) Triunghiul $A B C$ dreptunghic în $B$ : $A C = A B^{2} + B C^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 17$ cm.
c) $A B$ diametru $\Rightarrow$ unghiul $A C B$ este drept (unghi înscris în semicerc); în triunghiul $A B C$ : $m (∠ B A C) = 9 0^{\circ} - m (∠ A B C) = 9 0^{\circ} - 2 5^{\circ} = 6 5^{\circ}$ .
d) Triunghiul dreptunghic $A B C$ (cu catetele $A B = 3$ , $B C = 4$ ): $A C = 3^{2} + 4^{2} = 5$ cm. Triunghiul dreptunghic $A C G$ (catete $A C = 5$ , $C G = A E = 12$ ): $A G = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ cm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $x$ numărul de ore de la plecare. a) (2 p) Cele două vehicule se apropie cu viteza $52 + 40 = 92$ km/h (1 p). După $2$ ore parcurg împreună $92 \cdot 2 = 184$ km, iar $184 < 230$ , deci nu s-au întâlnit încă (1 p). b) (3 p) Ele se întâlnesc atunci când distanțele parcurse însumate egalează $230$ km: $92 x = 230$ (1 p), de unde $x = \frac{230}{92} = 2, 5$ (1 p), adică după $2$ ore și $30$ de minute (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} - 6 x = x (x - 6)$ și $x^{2} - 7 x + 6 = (x - 1) (x - 6)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{x ( x - 6 )}{( x - 1 ) ( x - 6 )} = \frac{x}{x - 1}$ (1 p). b) (3 p) $N_{n} = 2^{n + 3} - 2^{n + 1} - 2^{n} = 2^{n} \cdot 2^{3} - 2^{n} \cdot 2 - 2^{n} = 2^{n} \cdot (8 - 2 - 1)$ (2 p) $= 2^{n} \cdot 5$ , număr divizibil cu $5$ pentru orice $n \in N$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (- 2) = 3 \cdot (- 2) - 9 = - 15$ (1 p); $f (5) = 3 \cdot 5 - 9 = 6$ (1 p). b) (3 p) $A (- 2, - 15)$ și $B (5, 6)$ aparțin graficului funcției $f$ , care este o dreaptă de ecuație $y = 3 x - 9$ (1 p). Verificăm punctul $C (10, 21)$ : $f (10) = 3 \cdot 10 - 9 = 21 = y_{C}$ , deci $C$ aparține aceleiași drepte (1 p). Cum $A$ , $B$ și $C$ aparțin aceleiași drepte, ele sunt coliniare (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul dreptunghic $O M A$ : $A M = O A^{2} - O M^{2} = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225 = 15$ cm (1 p), deci $A B = 2 \cdot A M = 30$ cm (1 p). b) (3 p) Cum $O M ⊥ A B$ , $O N ⊥ C D$ și $A B ⊥ C D$ , patrulaterul $O M K N$ are trei unghiuri drepte, deci este dreptunghi (1 p). Rezultă $O K = M N$ (diagonalele dreptunghiului), iar în triunghiul dreptunghic $O M K$ (cu $O M ⊥ M K$ ): $O K = O M^{2} + O N^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $M$ mijlocul lui $B C \Rightarrow B M = \frac{B C}{2} = 7$ cm. Cum $B C ∥ A D$ (laturi opuse în paralelogram), rezultă $B M ∥ A D$ , deci $m (∠ P B M) = m (∠ P D A)$ (unghiuri alterne interne) și $m (∠ B P M) = m (∠ D P A)$ (unghiuri opuse la vârf) (1 p). Așadar $△ B P M \sim △ D P A$ , cu raportul $\frac{B M}{A D} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$ (1 p). b) (3 p) Din asemănare: $\frac{B P}{D P} = \frac{B M}{A D} = \frac{1}{2}$ , deci $D P = 2 \cdot B P$ (1 p). Cum $B P + D P = B D = 24$ cm, obținem $B P + 2 B P = 24 \Rightarrow 3 B P = 24 \Rightarrow B P = 8$ cm (1 p), iar $D P = 24 - 8 = 16$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei: $O M = \frac{A B}{2} = 4$ cm. Triunghiul $V O M$ dreptunghic în $O$ : $V O = V M^{2} - O M^{2} = 5^{2} - 4^{2} = 25 - 16 = 9 = 3$ cm (2 p). b) (3 p) Perimetrul bazei $= 4 \cdot 8 = 32$ cm; aria laterală $A_{ℓ} = \frac{32 \cdot 5}{2} = 80 cm^{2}$ ; aria bazei $A_{b} = 8^{2} = 64 cm^{2}$ ; aria totală $A_{t} = 80 + 64 = 144 cm^{2}$ (1 p). Volumul: $V = \frac{A _{b} \cdot V O}{3} = \frac{64 \cdot 3}{3} = 64 cm^{3}$ (1 p). În triunghiul dreptunghic $V O M$ , distanța de la $O$ la ipotenuza $V M$ (care este distanța de la $O$ la planul $(V B C)$ , deoarece $B C ⊥$ planul $V O M$ ) este $\frac{V O \cdot O M}{V M} = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2, 4$ cm (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, geometrie plană (Pitagora, coliniaritate, coarde în cerc, asemănarea triunghiurilor) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră regulată, paralelipiped dreptunghic: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.