Simulare Evaluarea Națională nr. 76

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $100-(6\cdot 7+2\cdot 9):4$ este: a) $90$ b) $85$ c) $77$ d) $70$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cel mai mare număr natural $n$ pentru care $3n-5<19$ este: a) $8$ b) $6$ c) $7$ d) $9$

Exercițiul 3 · 5 puncte Scriind sub formă de fracție ordinară numărul zecimal periodic $1,(6)$, obținem: a) $\frac{3}{2}$ b) $\frac{7}{4}$ c) $\frac{8}{5}$ d) $\frac{5}{3}$

Exercițiul 4 · 5 puncte La un sondaj de opinie realizat într-o școală, din cei $40$ de elevi chestionați despre disciplina preferată, $35\%$ au votat pentru matematică. Numărul elevilor care au votat pentru matematică este: a) $14$ b) $20$ c) $12$ d) $16$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi calculează suma $\sqrt{2}+\sqrt{8}$. Rezultatele lor sunt: Ana obține $\sqrt{10}$, Bogdan obține $3\sqrt{2}$, Cristina obține $4$, iar Dan obține $2\sqrt{2}$. Elevul care a calculat corect este: a) Ana b) Cristina c) Bogdan d) Dan

Exercițiul 6 · 5 puncte Diagrama alăturată arată numărul de cărți citite de un elev în lunile ianuarie–aprilie.

Luna în care elevul a citit cele mai multe cărți este: a) martie b) ianuarie c) februarie d) aprilie

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, în această ordine, iar punctul $B$ împarte segmentul $AC$ astfel încât $AB:BC=2:1$. Știind că $AC=18$ cm, lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

a) $6$ cm b) $9$ cm c) $12$ cm d) $15$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, iar dreapta $c$ este secantă. Unghiurile $1$ și $2$ sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei (colaterale). Dacă $m(\angle 1)=72^{\circ }$, atunci $m(\angle 2)$ este egală cu:

a) $144^{\circ }$ b) $72^{\circ }$ c) $18^{\circ }$ d) $108^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $AD$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei $BC$, cu $D\in BC$, $BD=4$ cm și $DC=9$ cm. Lungimea înălțimii $AD$ este egală cu:

a) $13$ cm b) $36$ cm c) $6$ cm d) $\sqrt{13}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu diagonalele $AC=16$ cm și $BD=12$ cm. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

a) $48{\text{cm}}^2$ b) $96{\text{cm}}^2$ c) $192{\text{cm}}^2$ d) $144{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul $O$ și raza $R=10$ cm. Coarda $AB=16$ cm, iar $OM\perp AB$, cu $M\in AB$. Lungimea segmentului $OM$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $8$ cm c) $\sqrt{164}$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghi dreptunghic în $A$, $AB=6$ cm, $AC=8$ cm, iar înălțimea prismei $A{A}^{\prime }=15$ cm. Volumul prismei este egal cu:

a) $180{\text{cm}}^3$ b) $240{\text{cm}}^3$ c) $360{\text{cm}}^3$ d) $720{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un elev are deja economisiți $24$ de lei într-o pușculiță. Începând din această lună, el hotărăște să pună deoparte, în fiecare lună, aceeași sumă fixă de $x$ lei. a) (2 p) Arată că, dacă elevul ar pune deoparte $15$ lei pe lună, atunci după $4$ luni el ar avea, în total, mai puțin de $100$ de lei economisiți. b) (3 p) Știind că, după $6$ luni de economisire, elevul are în total $174$ de lei, determină suma constantă $x$ pe care o pune deoparte în fiecare lună.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -1$. a) (2 p) Aduci cele două fracții la același numitor și arată că $E(x)=\frac{1}{x^2+x}$. b) (3 p) Arată că numărul $\frac{1}{E(n)}+\frac{1}{E(n+1)}+\frac{1}{E(n+2)}$ este număr natural, pentru orice $n$ număr natural nenul.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+6$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(6)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Se consideră punctul $C(6,6)$. Arată că triunghiul $ABC$ este isoscel și precizează care sunt unghiurile congruente.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ aparțin unui cerc cu centrul $O$. Arcul mic $AB$ măsoară $110^{\circ }$, iar arcul mic $BC$ măsoară $80^{\circ }$. a) (2 p) Calculează măsura unghiului la centru $\angle AOB$ și a unghiului înscris $\angle ACB$ (care subîntinde același arc $AB$). b) (3 p) Calculează măsura unghiului înscris $\angle BAC$ (care subîntinde arcul $BC$) și, folosind suma unghiurilor triunghiului $ABC$, măsura unghiului $\angle ABC$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul laturii $BC$. Se decupează triunghiul $MBN$ din colțul $B$ al dreptunghiului. a) (2 p) Calculează lungimile $MB$ și $NB$. b) (3 p) Calculează aria triunghiului $MBN$, aria dreptunghiului $ABCD$ și aria suprafeței rămase după decuparea triunghiului $MBN$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=6$ cm ($E$, $F$, $G$, $H$ sunt vârfurile feței de sus, situate respectiv deasupra lui $A$, $B$, $C$, $D$). Se secționează cubul cu planul diagonal $(ACGE)$. a) (2 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ a bazei cubului și precizează natura patrulaterului-secțiune $ACGE$. b) (3 p) Calculează aria secțiunii $ACGE$, volumul cubului $ABCDEFGH$ și distanța de la vârful $B$ la planul $(ACGE)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $100-(6\cdot 7+2\cdot 9):4=100-(42+18):4=100-60:4=100-15=85$.
2. c) $3n-5<19\Rightarrow 3n<24\Rightarrow n<8$, deci cel mai mare număr natural este $n=7$.
3. d) $1,(6)=1+\frac{6}{9}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$.
4. a) $35\%\cdot 40=\frac{35}{100}\cdot 40=14$.
5. c) $\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$, deci Bogdan a calculat corect.
6. d) Numărul de cărți este $5,8,6,9$ pentru ianuarie–aprilie; maximul, $9$, este atins în aprilie.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AB:BC=2:1$ și $AB+BC=AC=18\Rightarrow AB=\frac{2}{3}\cdot 18=12$ cm.
2. d) Unghiurile colaterale interne sunt suplementare: $m(\angle 2)=180^{\circ }-72^{\circ }=108^{\circ }$.
3. c) În triunghiul dreptunghic $ABC$, înălțimea din unghiul drept verifică $A{D}^2=BD\cdot DC=4\cdot 9=36$, deci $AD=6$ cm.
4. b) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=96{\text{cm}}^2$.
5. d) $M$ este mijlocul coardei $AB$, deci $AM=8$ cm; $OM=\sqrt{R^2-A{M}^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$ cm.
6. c) $V=\frac{AB\cdot AC}{2}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{6\cdot 8}{2}\cdot 15=24\cdot 15=360{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $x$ suma constantă pusă deoparte lunar. a) (2 p) Dacă $x=15$ lei, după $4$ luni suma totală este $24+4\cdot 15=24+60=84$ lei (1 p). Cum $84<100$, elevul ar avea mai puțin de $100$ de lei (1 p). b) (3 p) Ecuația corespunzătoare situației reale este $24+6x=174$ (1 p) $\Rightarrow 6x=150$ (1 p) $\Rightarrow x=25$ lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Aducem la același numitor: $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)}$ (1 p); cum $x(x+1)=x^2+x$, obținem $E(x)=\frac{1}{x^2+x}$ (1 p). b) (3 p) Din $E(x)=\frac{1}{x(x+1)}$ rezultă $\frac{1}{E(x)}=x(x+1)$ (1 p). Atunci $\frac{1}{E(n)}=n(n+1)$, $\frac{1}{E(n+1)}=(n+1)(n+2)$, $\frac{1}{E(n+2)}=(n+2)(n+3)$ (1 p). Suma lor este $n(n+1)+(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)=3n^2+9n+8$, care este număr natural pentru orice $n$ număr natural, fiind sumă de produse de numere naturale (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=-0+6=6$ (1 p); $f(6)=-6+6=0$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow -x+6=0\Rightarrow x=6$, deci $A(6,0)$; $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=6$, deci $B(0,6)$ (1 p). Cu $C(6,6)$: $AC=|6-0|=6$ cm (segment vertical de la $A(6,0)$ la $C(6,6)$), iar $BC=|6-0|=6$ cm (segment orizontal de la $B(0,6)$ la $C(6,6)$) (1 p). Cum $AC=BC=6$, triunghiul $ABC$ este isoscel, iar unghiurile opuse laturilor egale sunt congruente: $\angle BAC\equiv \angle ABC$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Unghiul la centru are aceeași măsură ca arcul pe care îl subîntinde: $m(\angle AOB)=110^{\circ }$ (1 p). Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru corespunzător aceluiași arc: $m(\angle ACB)=\frac{110^{\circ }}{2}=55^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) $m(\angle BAC)=\frac{m(\text{arc }BC)}{2}=\frac{80^{\circ }}{2}=40^{\circ }$ (1 p). În triunghiul $ABC$: $m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180^{\circ }$ (1 p) $\Rightarrow m(\angle ABC)=180^{\circ }-55^{\circ }-40^{\circ }=85^{\circ }$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $MB=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm (1 p); $NB=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5$ cm (1 p). b) (3 p) Triunghiul $MBN$ este dreptunghic în $B$: ${\mathcal{A}}_{MBN}=\frac{MB\cdot NB}{2}=\frac{8\cdot 5}{2}=20{\text{cm}}^2$ (1 p). ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC=16\cdot 10=160{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria rămasă $=160-20=140{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ cm (1 p). Cum $AC\parallel EG$ (diagonale ale unor fețe paralele, egale) și $AE\parallel CG$ (muchii verticale, egale, $AE=CG=6$ cm), patrulaterul $ACGE$ este dreptunghi, cu laturile $6\sqrt{2}$ cm și $6$ cm (1 p). b) (3 p) Aria secțiunii: ${\mathcal{A}}_{ACGE}=AC\cdot AE=6\sqrt{2}\cdot 6=36\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul cubului: $V=A{B}^3=6^3=216{\text{cm}}^3$ (1 p). Distanța de la $B$ la planul $(ACGE)$: în triunghiul dreptunghic $ABC$, $B{O}^{\prime }=\frac{AB\cdot BC}{AC}$ (unde $O^{\prime }$ este piciorul perpendicularei din $B$ pe $AC$, egal cu distanța de la $B$ la planul secțiunii, deoarece $(ACGE)\perp$ planul bazei) $=\frac{6\cdot 6}{6\sqrt{2}}=\frac{36}{6\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ cm (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, relații metrice, unghi înscris/unghi la centru) și geometrie în spațiu (cub cu secțiune printr-un plan).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: unghiul înscris în cerc este jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc; într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din unghiul drept verifică $A{D}^2=BD\cdot DC$.