Simulare Evaluarea Națională nr. 77

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(27 + 3 \cdot 6) : 9$ este: a) $15$ b) $45$ c) $9$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{15} = \frac{7}{5}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $21$ b) $3$ c) $10, 5$ d) $\frac{3}{7}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A = {2, 5, 7, 9}$ și $B = {5, 7, 10, 12}$ . Intersecția $A \cap B$ este mulțimea: a) ${2, 9, 10, 12}$ b) ${5, 7}$ c) ${2, 5, 7, 9, 10, 12}$ d) ${5, 7, 10}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Într-un bloc nou construit sunt $140$ de apartamente. Dintre acestea, $35%$ au două camere. Numărul apartamentelor cu două camere este: a) $42$ b) $56$ c) $49$ d) $45$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a = 81$ și $b = 13$ este: a) $9$ b) $22$ c) $47$ d) $11$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 50 - 6$ . Atunci: a) $a = 0$ b) $a < 0$ c) $a > 1$ d) $0 < a < 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 9$ cm și $B C = 5$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $1$ cm b) $2$ cm c) $3$ cm d) $4$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $5 5^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este de $6 5^{\circ}$ . Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $5 5^{\circ}$ b) $6 0^{\circ}$ c) $6 5^{\circ}$ d) $7 0^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 10$ cm și $A C = 24$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $34$ cm b) $476$ cm c) $676$ cm d) $26$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 15$ cm și $B C = 20$ cm. Lungimea diagonalei $A C$ este egală cu:

a) $35$ cm b) $25$ cm c) $175$ cm d) $300$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ . Unghiul la centru $A O B$ are măsura de $10 0^{\circ}$ , iar punctul $C$ aparține arcului mare $A B$ . Măsura unghiului înscris $A C B$ este egală cu:

a) $5 0^{\circ}$ b) $10 0^{\circ}$ c) $2 5^{\circ}$ d) $20 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D E F G H$ cu muchia $A B = 7$ cm. Volumul cubului este egal cu:

a) $343 cm^{3}$ b) $49 cm^{3}$ c) $294 cm^{3}$ d) $21 cm^{3}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În vacanța de vară, Andrei și Bogdan au citit cărți dintr-o listă recomandată. Notăm cu $x$ numărul de cărți citite de Andrei. Bogdan a citit cu $4$ mai multe cărți decât dublul numărului de cărți citite de Andrei, iar împreună cei doi au citit $31$ de cărți. a) (2 p) Arată că, oricare ar fi numărul $x$ de cărți citite de Andrei, numărul de cărți citite de Bogdan este număr par. b) (3 p) Determină câte cărți a citit fiecare dintre cei doi colegi.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 9 )}{x ^{2} + 2 x - 15}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 3$ și $x \neq = - 5$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x + 9}{x + 5}$ , pentru orice $x$ din domeniul de definiție. b) (3 p) Fie $a$ și $b$ două numere din domeniul de definiție al lui $E$ , cu proprietatea $a + b = - 14$ . Arată că produsul $E (a) \cdot E (b)$ este pătrat perfect.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 6$ . a) (2 p) Calculează $f (- 1)$ și $f (3)$ . b) (3 p) Arată că, pentru orice număr real $x$ , suma $f (5 - x) + f (5 + x)$ este constantă (nu depinde de $x$ ) și determină această valoare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată, patrulaterul $A B C D$ este înscris într-un cerc, astfel încât $A C$ este diametru. Se știe că $A B = 9$ cm, $B C = 12$ cm, $A D = 12$ cm și $D C = 9$ cm.

a) (2 p) Calculează lungimea diagonalei $A C$ . b) (3 p) Calculează aria patrulaterului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, $A B C D$ este paralelogram, $M$ este mijlocul laturii $B C$ , iar segmentul $A M$ intersectează diagonala $B D$ în punctul $P$ .

a) (2 p) Arată că triunghiurile $B P M$ și $D P A$ sunt asemenea. b) (3 p) Știind că $B D = 18$ cm, calculează lungimile segmentelor $B P$ și $P D$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cu baza mare $A B C D$ de latură $B = 10$ cm, baza mică $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ de latură $b = 4$ cm și înălțimea trunchiului $h = 4$ cm.

a) (2 p) Calculează apotema trunchiului de piramidă (apotema feței laterale). b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de piramidă.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	d)	a)	b)	c)	d)	c)

d) $(27 + 3 \cdot 6) : 9 = (27 + 18) : 9 = 45 : 9 = 5$ .
a) $\frac{x}{15} = \frac{7}{5} \Rightarrow x = \frac{15 \cdot 7}{5} = 21$ .
b) Elementele comune sunt $5$ și $7$ , deci $A \cap B = {5, 7}$ .
c) $35% \cdot 140 = \frac{35}{100} \cdot 140 = 49$ .
d) $a = 81 = 9$ ; media $= \frac{9 + 13}{2} = 11$ .
c) Cum $49 < 50 < 64$ , avem $7 < 50 < 8$ , deci $1 < 50 - 6 < 2$ , adică $a > 1$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	b)	d)	b)	a)	a)

b) $A C = A B + B C = 9 + 5 = 14$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 7$ cm. Cum $A M < A B$ , punctul $M$ se află între $A$ și $B$ , deci $M B = A B - A M = 9 - 7 = 2$ cm.
b) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} - 6 5^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
d) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 0^{2} + 2 4^{2} = 100 + 576 = 676 = 26$ cm.
b) $A C = A B^{2} + B C^{2} = 1 5^{2} + 2 0^{2} = 225 + 400 = 625 = 25$ cm.
a) Unghiul înscris $∠ A C B$ subîntinde același arc $A B$ ca și unghiul la centru $∠ A O B$ , deci $m (∠ A C B) = \frac{1}{2} \cdot 10 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$ .
a) $V = ℓ^{3} = 7^{3} = 343 cm^{3}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $x$ numărul de cărți citite de Andrei; Bogdan a citit $2 x + 4$ cărți. a) (2 p) $2 x + 4 = 2 (x + 2)$ (1 p); cum $2 (x + 2)$ este multiplu de $2$ , oricare ar fi $x$ , numărul de cărți citite de Bogdan este întotdeauna par (1 p). b) (3 p) Ecuația: $x + (2 x + 4) = 31 \Rightarrow 3 x + 4 = 31 \Rightarrow 3 x = 27$ (1 p) $\Rightarrow x = 9$ (1 p). Andrei a citit $9$ cărți, iar Bogdan a citit $2 \cdot 9 + 4 = 22$ cărți (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} + 2 x - 15 = (x - 3) (x + 5)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 9 )}{( x - 3 ) ( x + 5 )} = \frac{x + 9}{x + 5}$ (1 p). b) (3 p) Din $a + b = - 14$ obținem $b = - 14 - a$ (1 p). Atunci $b + 9 = - 5 - a = - (a + 5)$ și $b + 5 = - 9 - a = - (a + 9)$ , deci $E (b) = \frac{b + 9}{b + 5} = \frac{- ( a + 5 )}{- ( a + 9 )} = \frac{a + 5}{a + 9}$ (1 p). Cum $E (a) = \frac{a + 9}{a + 5}$ , produsul este $E (a) \cdot E (b) = \frac{a + 9}{a + 5} \cdot \frac{a + 5}{a + 9} = 1 = 1^{2}$ , deci este pătrat perfect (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (- 1) = 4 \cdot (- 1) - 6 = - 10$ (1 p); $f (3) = 4 \cdot 3 - 6 = 6$ (1 p). b) (3 p) $f (5 - x) = 4 (5 - x) - 6 = 14 - 4 x$ (1 p); $f (5 + x) = 4 (5 + x) - 6 = 14 + 4 x$ (1 p); suma $f (5 - x) + f (5 + x) = (14 - 4 x) + (14 + 4 x) = 28$ , valoare constantă, independentă de $x$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Unghiul $∠ A B C$ este înscris în semicercul de diametru $A C$ , deci este drept; în triunghiul dreptunghic $A B C$ : $A C = A B^{2} + B C^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 15$ cm (2 p). b) (3 p) Analog, unghiul $∠ A D C$ este drept (înscris în același semicerc). $A_{A B C} = \frac{A B \cdot B C}{2} = \frac{9 \cdot 12}{2} = 54 cm^{2}$ (1 p); $A_{A C D} = \frac{A D \cdot D C}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54 cm^{2}$ (1 p); $A_{A B C D} = A_{A B C} + A_{A C D} = 54 + 54 = 108 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B C ∥ A D$ (laturi opuse în paralelogram), deci $B M ∥ A D$ ; în triunghiurile $B P M$ și $D P A$ : $∠ B P M \equiv ∠ D P A$ (unghiuri opuse la vârf) și $∠ P B M \equiv ∠ P D A$ (unghiuri alterne interne, secantă $B D$ ) (1 p), deci $△ B P M \sim △ D P A$ (cazul U.U.) (1 p). b) (3 p) Raportul de asemănare este $\frac{B M}{D A}$ ; cum $M$ este mijlocul lui $B C$ și $B C = A D$ (laturi opuse), avem $B M = \frac{A D}{2}$ , deci $\frac{B P}{P D} = \frac{1}{2}$ , adică $P D = 2 \cdot B P$ (1 p). Din $B P + P D = B D = 18$ : $B P + 2 B P = 18 \Rightarrow 3 B P = 18 \Rightarrow B P = 6$ cm (1 p) $\Rightarrow P D = 12$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei mari: $\frac{B}{2} = 5$ cm; apotema bazei mici: $\frac{b}{2} = 2$ cm; diferența este $5 - 2 = 3$ cm. Apotema trunchiului: $a p = h^{2} + 3^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$ cm (2 p). b) (3 p) Perimetrele bazelor: $P_{ma r e} = 4 \cdot 10 = 40$ cm, $P_{mi c} = 4 \cdot 4 = 16$ cm. Aria laterală: $A_{ℓ} = \frac{( P _{ma r e} + P _{mi c} ) \cdot a p}{2} = \frac{( 40 + 16 ) \cdot 5}{2} = 140 cm^{2}$ (1 p). Ariile bazelor: $B^{2} = 100 cm^{2}$ , $b^{2} = 16 cm^{2}$ ; aria totală: $A_{t} = A_{ℓ} + B^{2} + b^{2} = 140 + 100 + 16 = 256 cm^{2}$ (1 p). Volumul: $V = \frac{h}{3} (B^{2} + b^{2} + B^{2} \cdot b^{2}) = \frac{4}{3} (100 + 16 + 1600) = \frac{4}{3} (100 + 16 + 40) = \frac{4}{3} \cdot 156 = 208 cm^{3}$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, geometrie plană (Pitagora, unghiuri, cerc, asemănarea triunghiurilor) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.