Simulare Evaluarea Națională nr. 78

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(85-3\cdot 15):8+3$ este: a) $8$ b) $5$ c) $43$ d) $11$

Exercițiul 2 · 5 puncte Fracția ordinară ireductibilă egală cu numărul zecimal periodic $0,(45)$ este: a) $\frac{5}{11}$ b) $\frac{9}{20}$ c) $\frac{5}{9}$ d) $\frac{4}{9}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -3\le x<4\}$ și $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x^2\le 16\}$. Mulțimea $A\cap B$ este: a) $\{-3,-2,-1,0\}$ b) $\{1,2,3\}$ c) $\{0,1,2,3,4\}$ d) $\{0,1,2,3\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Într-un laborator de informatică sunt $60$ de calculatoare. Dintre acestea, $35\%$ sunt rezervate pentru orele de programare. Numărul de calculatoare rezervate pentru orele de programare este: a) $18$ b) $21$ c) $35$ d) $25$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{98}$ și $b=\sqrt{50}$ este egală cu: a) $12\sqrt{2}$ b) $\sqrt{74}$ c) $6$ d) $6\sqrt{2}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=4-\sqrt{17}$. Atunci: a) $a<-1$ b) $a=0$ c) $-1<a<0$ d) $a>0$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=9$ cm și $BC=15$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $3$ cm b) $5$ cm c) $4$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $55^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $35^{\circ }$ d) $145^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=7$ cm și $AC=24$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $31$ cm b) $17$ cm c) $625$ cm d) $25$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $BC=8$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $17$ cm b) $23$ cm c) $7$ cm d) $289$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $64^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $64^{\circ }$ b) $32^{\circ }$ c) $16^{\circ }$ d) $128^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$, cu $AB=3$ cm, $BC=4$ cm și $AE=12$ cm. Lungimea diagonalei $AG$ (care unește vârful $A$ cu vârful opus, $G$) este egală cu:

a) $19$ cm b) $25$ cm c) $13$ cm d) $169$ cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte La un joc de societate, un jucător câștigă $8$ puncte pentru fiecare rundă câștigată și pierde $2$ puncte pentru fiecare rundă pierdută. Într-o partidă cu un total de $15$ runde, jucătorul câștigă $x$ runde, iar restul de $(15-x)$ runde le pierde. a) (2 p) Arată că, dacă jucătorul câștigă $x=9$ runde, punctajul obținut este mai mic decât $70$ de puncte. b) (3 p) Știind că la finalul partidei punctajul jucătorului a fost de $110$ de puncte, determină câte runde a câștigat.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{3}{x-5}-\frac{3}{x+5}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 5$ și $x\ne -5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{30}{x^2-25}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Arată că, pentru orice număr natural $n$, numărul $x^2-25$ este divizibil cu $3$, dacă $x=2^n$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-\frac{4}{3}x+8$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(3)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină distanța de la origine $O$ la mijlocul $M$ al segmentului $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată, $AB$ este diametru într-un cerc cu centrul $O$ și raza $R=13$ cm. Coarda $CD$ este perpendiculară pe $AB$ în punctul $E$, iar $OE=5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea segmentului $EC$. b) (3 p) Calculează lungimea coardei $CD$ și aria triunghiului $OCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În paralelogramul $ABCD$, cu $AD=16$ cm, punctul $M$ aparține laturii $BC$, iar distanța de la punctul $M$ la dreapta $AD$ este de $7$ cm. a) (2 p) Calculează aria triunghiului $AMD$. b) (3 p) Calculează aria paralelogramului $ABCD$ și arată că aria triunghiului $AMD$ reprezintă jumătate din aria paralelogramului.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide patrulatere regulate $VABCD$, cu latura bazei $AB=16$ cm și înălțimea $VO=6$ cm ($O$ este centrul bazei, $M$ este mijlocul laturii $BC$). a) (2 p) Calculează lungimea apotemei piramidei $VM$. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(85-3\cdot 15):8+3=(85-45):8+3=40:8+3=5+3=8$.
2. a) $0,(45)=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$ (am simplificat prin $9$).
3. d) $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, iar $B=\{0,1,2,3,4\}$ (căci $x^2\le 16\Rightarrow x\le 4$). Deci $A\cap B=\{0,1,2,3\}$.
4. b) $35\%\cdot 60=\frac{35}{100}\cdot 60=21$.
5. d) $a=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$, $b=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$; media $=\frac{7\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{2}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$.
6. c) $4=\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}=5$, deci $4<\sqrt{17}<5$; cum $\sqrt{17}>4$ rezultă $a=4-\sqrt{17}<0$, iar cum $\sqrt{17}<5$ rezultă $a>4-5=-1$. Așadar $-1<a<0$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $AC=AB+BC=9+15=24$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=12$ cm; $MB=AM-AB=12-9=3$ cm.
2. c) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-55^{\circ }-90^{\circ }=35^{\circ }$.
3. d) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ cm.
4. a) $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm.
5. b) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul mic $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 64^{\circ }=32^{\circ }$.
6. c) $AG=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{E}^2}=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ cm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Punctajul total, în funcție de $x$ (numărul de runde câștigate), este $P(x)=8x-2(15-x)=8x-30+2x=10x-30$. a) (2 p) Pentru $x=9$: $P(9)=10\cdot 9-30=90-30=60$ (1 p). Cum $60<70$, punctajul obținut este mai mic decât $70$ de puncte (1 p). b) (3 p) Punem condiția $P(x)=110$: $10x-30=110$ (1 p) $\Rightarrow 10x=140$ (1 p) $\Rightarrow x=14$ (1 p). Jucătorul a câștigat $14$ runde (din cele $15$).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Aducem la același numitor: $E(x)=\frac{3(x+5)-3(x-5)}{(x-5)(x+5)}$ (1 p). Numărătorul: $3(x+5)-3(x-5)=3x+15-3x+15=30$, iar numitorul: $(x-5)(x+5)=x^2-25$, deci $E(x)=\frac{30}{x^2-25}$ (1 p). b) (3 p) Dacă $x=2^n$, atunci $x^2=4^n$ (1 p). Cum $4=3+1$, avem $4\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, deci $4^n\equiv 1^n=1(\mathrm{mod}3)$, pentru orice $n\in \mathbb{N}$ (1 p). Atunci $x^2-25=4^n-25\equiv 1-25=-24\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ (căci $-24=3\cdot (-8)$), deci $x^2-25$ este divizibil cu $3$, pentru orice număr natural $n$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=-\frac{4}{3}\cdot 0+8=8$ (1 p); $f(3)=-\frac{4}{3}\cdot 3+8=-4+8=4$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow -\frac{4}{3}x+8=0\Rightarrow x=6$, deci $A(6,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=8$, deci $B(0,8)$. Mijlocul segmentului $AB$ este $M\left(\frac{6+0}{2},\frac{0+8}{2}\right)=M(3,4)$ (1 p). Distanța de la origine la $M$: $OM=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $OEC$ este dreptunghic în $E$ (căci $CD\perp AB$), cu ipotenuza $OC=R=13$ cm și cateta $OE=5$ cm. Din teorema lui Pitagora: $EC=\sqrt{O{C}^2-O{E}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm. b) (3 p) Cum $OE\perp CD$ trece prin mijlocul coardei, $CD=2\cdot EC=2\cdot 12=24$ cm (1 p). Aria triunghiului $OCD$ (cu baza $CD$ și înălțimea $OE$): ${\mathcal{A}}_{OCD}=\frac{CD\cdot OE}{2}=\frac{24\cdot 5}{2}=60{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $AMD$ are baza $AD=16$ cm, iar înălțimea din $M$ este chiar distanța de la $M$ la dreapta $AD$, adică $7$ cm (deoarece $M\in BC$ și $BC\parallel AD$). ${\mathcal{A}}_{AMD}=\frac{AD\cdot 7}{2}=\frac{16\cdot 7}{2}=56{\text{cm}}^2$. b) (3 p) Aria paralelogramului: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AD\cdot 7=16\cdot 7=112{\text{cm}}^2$ (2 p). Cum $56=\frac{112}{2}$, aria triunghiului $AMD$ reprezintă jumătate din aria paralelogramului $ABCD$ (1 p) (rezultat adevărat oricare ar fi poziția lui $M$ pe latura $BC$).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei: $OM=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm. Triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm (2 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{\ell }=\frac{P_{baz\breve{a}}\cdot VM}{2}=\frac{4\cdot 16\cdot 10}{2}=\frac{640}{2}=320{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria bazei: $A_b=16^2=256{\text{cm}}^2$; aria totală: $A_t=A_{\ell }+A_b=320+256=576{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 256\cdot 6=512{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, unghiuri, cerc) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.