Simulare Evaluarea Națională nr. 79

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(7\cdot 4-8):5+13$ este: a) $9$ b) $33$ c) $17$ d) $20$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{12}=\frac{7}{4}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $21$ b) $3$ c) $28$ d) $48$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numărul $1,(3)$, scris ca fracție ordinară ireductibilă, este egal cu: a) $\frac{13}{10}$ b) $\frac{4}{3}$ c) $\frac{1}{3}$ d) $\frac{3}{4}$

Exercițiul 4 · 5 puncte O brutărie are în depozit $260$ kg de făină. Într-o zi se folosesc $35\%$ din această cantitate pentru pâine. Câte kg de făină s-au folosit? a) $65$ b) $169$ c) $91$ d) $35$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi calculează $\sqrt{18}-\sqrt{2}$. Ana obține $2\sqrt{2}$, Bogdan obține $\sqrt{16}$, Carla obține $4$, iar Dan obține $\sqrt{20}$. Care elev are dreptate? a) Bogdan b) Ana c) Carla d) Dan

Exercițiul 6 · 5 puncte Graficul de mai jos arată numărul de cărți împrumutate de la bibliotecă în patru luni consecutive. Diferența dintre luna cu cel mai mare număr de cărți împrumutate și luna cu cel mai mic număr de cărți împrumutate este:

a) $83$ b) $7$ c) $16$ d) $23$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=3\cdot BC$ și $AC=20$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $6$ cm c) $5$ cm d) $15$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, tăiate de secanta $c$ în punctele $M$, respectiv $N$. Unghiul $1$ are măsura de $118^{\circ }$. Măsura unghiului $2$ (de aceeași parte a secantei, între cele două drepte paralele) este egală cu:

a) $118^{\circ }$ b) $62^{\circ }$ c) $72^{\circ }$ d) $152^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=10$ cm și $AC=24$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $17$ cm b) $34$ cm c) $\sqrt{476}$ cm d) $26$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ cu diagonalele $AC=16$ cm și $BD=12$ cm. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

a) $192{\text{cm}}^2$ b) $96{\text{cm}}^2$ c) $48{\text{cm}}^2$ d) $28{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$. Măsura unghiului la centru $AOB$ este de $84^{\circ }$, iar punctul $C$ aparține arcului mare $AB$. Măsura unghiului înscris $ACB$ este egală cu:

a) $84^{\circ }$ b) $21^{\circ }$ c) $42^{\circ }$ d) $168^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=7$ cm. Volumul cubului este egal cu:

a) $294{\text{cm}}^3$ b) $147{\text{cm}}^3$ c) $49{\text{cm}}^3$ d) $343{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Suma vârstelor actuale a doi frați, Andrei și Radu, este de $42$ de ani. Andrei (fratele mai mare) are cu $6$ ani mai mult decât Radu (fratele mai mic). a) (2 p) Arată că vârsta lui Radu nu poate fi $15$ ani. b) (3 p) Determină vârstele actuale ale celor doi frați.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{2x}{x-2}-\frac{x}{x+2}-\frac{4x}{x^2-4}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 2$ și $x\ne -2$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x}{x-2}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$. a) (2 p) Calculează $f(-1)$ și $f(3)$. b) (3 p) Arată că punctele $A(-1,f(-1))$, $B(3,f(3))$ și $C(5,13)$ sunt coliniare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată, $AB$ este diametru în cercul cu centrul $O$, iar coarda $CD$ este paralelă cu $AB$ (punctele $C$ și $D$ sunt de aceeași parte a diametrului, în ordinea $A,C,D,B$ pe semicerc). Măsura arcului mic $BD$ este de $46^{\circ }$. a) (2 p) Arată că măsura arcului $AC$ este de $46^{\circ }$. b) (3 p) Semidreapta $DE$ este bisectoarea unghiului $\angle ADB$, cu $E$ pe cerc, pe arcul $AB$ care nu conține punctele $C$ și $D$. Calculează măsura arcului $AE$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În paralelogramul $ABCD$, cu $AB=16$ cm și distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$ egală cu $9$ cm, se consideră $M$ mijlocul laturii $AB$ și $N$ mijlocul laturii $BC$. Se decupează triunghiul $MBN$ din paralelogram. a) (2 p) Arată că ${\mathcal{A}}_{MBN}=\frac{1}{8}\cdot {\mathcal{A}}_{ABCD}$. b) (3 p) Calculează aria triunghiului $MBN$ și aria patrulaterului rămas $AMNCD$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă tehnică are forma unei prisme drepte $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$, cu baza triunghi echilateral $ABC$ de latură $AB=6$ cm și înălțimea (muchia laterală) $A{A}_1=8$ cm. a) (2 p) Calculează aria laterală a prismei. b) (3 p) Calculează volumul prismei și lungimea diagonalei $B{C}_1$ a feței laterale $BC{C}_1{B}_1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $(7\cdot 4-8):5+13=(28-8):5+13=20:5+13=4+13=17$.
2. a) $\frac{x}{12}=\frac{7}{4}\Rightarrow x=\frac{12\cdot 7}{4}=21$.
3. b) $1,(3)=1+\frac{3}{9}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$.
4. c) $35\%\cdot 260=\frac{35}{100}\cdot 260=91$ kg.
5. b) $\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$, deci Ana are dreptate.
6. d) Maximul este în octombrie ($52$), minimul în noiembrie ($29$); diferența $=52-29=23$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AB+BC=AC\Rightarrow 3\cdot BC+BC=20\Rightarrow 4\cdot BC=20\Rightarrow BC=5$ cm.
2. b) Unghiurile $1$ și $2$ sunt colaterale (interne, de aceeași parte a secantei) și, cum $a\parallel b$, sunt suplementare: $m(\angle 2)=180^{\circ }-118^{\circ }=62^{\circ }$.
3. d) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$ cm.
4. b) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=96{\text{cm}}^2$.
5. c) Unghiul înscris $ACB$ subîntinde același arc ca unghiul la centru $AOB$, deci $m(\angle ACB)=\frac{1}{2}\cdot 84^{\circ }=42^{\circ }$.
6. d) $V={\ell }^3=7^3=343{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $x$ vârsta actuală a lui Radu; vârsta lui Andrei este $x+6$. a) (2 p) Dacă $x=15$, suma vârstelor ar fi $15+(15+6)=15+21=36$ (1 p). Cum $36\ne 42$, vârsta lui Radu nu poate fi $15$ ani (1 p). b) (3 p) Ecuația este $x+(x+6)=42$, adică $2x+6=42$ (1 p) $\Rightarrow 2x=36\Rightarrow x=18$ (1 p). Deci Radu are $18$ ani, iar Andrei are $18+6=24$ de ani (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Aducem termenii la numitorul comun $x^2-4=(x-2)(x+2)$: $\frac{2x(x+2)-x(x-2)-4x}{x^2-4}=\frac{2x^2+4x-x^2+2x-4x}{x^2-4}=\frac{x^2+2x}{x^2-4}$ (1 p). Factorizând, $\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x-2}$ (simplificare permisă, căci $x\ne -2$) (1 p). b) (3 p) Scriem $E(x)=\frac{x}{x-2}=\frac{(x-2)+2}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}$ (1 p). $E(x)\in \mathbb{Z}\iff (x-2)\mid 2\Rightarrow x-2\in \{-2,-1,1,2\}\Rightarrow x\in \{0,1,3,4\}$ (1 p). Toate cele patru valori respectă domeniul ($x\ne 2,x\ne -2$), deci soluțiile sunt $x\in \{0,1,3,4\}$ (1 p) (verificare: $E(0)=0$, $E(1)=-1$, $E(3)=3$, $E(4)=2$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(-1)=3\cdot (-1)-2=-5$ (1 p); $f(3)=3\cdot 3-2=7$ (1 p). b) (3 p) Punctele $A(-1,-5)$ și $B(3,7)$ verifică ecuația $y=3x-2$ a graficului lui $f$ (1 p). Verificăm $C(5,13)$: $3\cdot 5-2=13$, deci $C$ verifică aceeași ecuație $y=3x-2$ (1 p). Cum $A$, $B$, $C$ verifică aceeași ecuație de gradul întâi (aceeași dreaptă), rezultă că $A$, $B$, $C$ sunt coliniare (1 p) (echivalent: panta $AB=\frac{7-(-5)}{3-(-1)}=\frac{12}{4}=3$ este egală cu panta $BC=\frac{13-7}{5-3}=\frac{6}{2}=3$).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Cum $AB\parallel CD$, arcele cuprinse între cele două coarde paralele sunt congruente: $\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ (1 p). Cum $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}=46^{\circ }$, rezultă $\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}=46^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) $AB$ diametru $\Rightarrow$ unghiul înscris $\angle ADB=90^{\circ }$ (subîntinde diametrul) (1 p). $DE$ bisectoare $\Rightarrow m(\angle ADE)=m(\angle EDB)=45^{\circ }$ (1 p). Unghiul înscris $\angle EDB=45^{\circ }$ subîntinde arcul $EB$, deci $\stackrel{⌢}{\mathrm{EB}}=2\cdot 45^{\circ }=90^{\circ }$; cum arcul $\stackrel{⌢}{\mathrm{AEB}}$ (semicercul fără $C,D$) are $180^{\circ }$, rezultă $\stackrel{⌢}{\mathrm{AE}}=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Diagonala $AC$ împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, deci ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABCD}$ (1 p). Triunghiurile $MBN$ și $ABC$ au unghiul $B$ comun, iar $BM=\frac{1}{2}BA$, $BN=\frac{1}{2}BC$, deci sunt asemenea (caz LUL) cu raportul $\frac{1}{2}$, de unde ${\mathcal{A}}_{MBN}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{1}{8}{\mathcal{A}}_{ABCD}$ (1 p). b) (3 p) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot h=16\cdot 9=144{\text{cm}}^2$ (1 p). ${\mathcal{A}}_{MBN}=\frac{1}{8}\cdot 144=18{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria patrulaterului rămas: ${\mathcal{A}}_{AMNCD}=144-18=126{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Perimetrul bazei: $P_{baza}=3\cdot AB=3\cdot 6=18$ cm (1 p). Aria laterală: $A_{\ell }=P_{baza}\cdot A{A}_1=18\cdot 8=144{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Aria bazei (triunghi echilateral): $A_b=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=A_b\cdot A{A}_1=9\sqrt{3}\cdot 8=72\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1 p). Fața laterală $BC{C}_1{B}_1$ este un dreptunghi cu laturile $BC=6$ și $C{C}_1=8$, deci $B{C}_1=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul cu radicali, procente, fracții algebrice, funcția liniară, geometrie plană (coliniaritate, unghiuri, triunghi dreptunghic, patrulatere, cerc) și geometrie în spațiu (prismă dreaptă: arii și volum).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.