Simulare Evaluarea Națională nr. 80

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(120-6\cdot 8):(19-15)$ este: a) $6$ b) $18$ c) $30$ d) $72$

Exercițiul 2 · 5 puncte Soluția ecuației $\frac{3x-1}{5}=\frac{x+7}{3}$ este: a) $x=\frac{13}{6}$ b) $x=8$ c) $x=\frac{19}{2}$ d) $x=6$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural $n$ pentru care $n^2<130$ este: a) $11$ b) $12$ c) $10$ d) $13$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un ciclist participă la o cursă cu un traseu total de $260$ km. În prima zi el parcurge $35\%$ din traseu. Numărul de km parcurși de ciclist în prima zi este egal cu: a) $91$ b) $84$ c) $95$ d) $130$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi au calculat, fiecare, valoarea expresiei $E=\sqrt{72}-\sqrt{18}$, obținând rezultatele de mai jos. Rezultatul corect este: a) $3$ b) $6$ c) $3\sqrt{2}$ d) $\sqrt{54}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Media aritmetică a patru numere este $23$. Dacă trei dintre ele sunt $19$, $26$ și $30$, al patrulea număr este egal cu: a) $25$ b) $17$ c) $33$ d) $21$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AC=32$ cm, iar $B$ împarte segmentul $AC$ astfel încât $AB=3\cdot BC$. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

a) $16$ cm b) $8$ cm c) $24$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, tăiate de secanta $c$. Unghiul $\alpha$, format de $c$ cu $a$, are măsura de $118^{\circ }$, iar unghiul $\beta$, format de $c$ cu $b$, este situat de aceeași parte a secantei ca $\alpha$ (unghiuri interne de aceeași parte a secantei). Măsura unghiului $\beta$ este egală cu:

a) $90^{\circ }$ b) $32^{\circ }$ c) $118^{\circ }$ d) $62^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\angle B)=30^{\circ }$, iar ipotenuza $BC=14$ cm. Lungimea catetei $AC$ este egală cu:

a) $7\sqrt{3}$ cm b) $14$ cm c) $7$ cm d) $3,5$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată, paralelogramul $ABCD$ are aria $96{\text{cm}}^2$, iar $M$ este mijlocul laturii $AD$. Aria triunghiului $ABM$ este egală cu:

a) $48{\text{cm}}^2$ b) $24{\text{cm}}^2$ c) $32{\text{cm}}^2$ d) $12{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul $O$ și raza $R=13$ cm, în care coarda $AB=24$ cm, iar $M$ este piciorul perpendicularei din $O$ pe $AB$. Distanța $OM$ este egală cu:

a) $5$ cm b) $6$ cm c) $7$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ a cărei bază este un triunghi dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=6$ cm și $AC=8$ cm, iar înălțimea prismei $A{A}^{\prime }=10$ cm. Volumul prismei este egal cu:

a) $480{\text{cm}}^3$ b) $168{\text{cm}}^3$ c) $240{\text{cm}}^3$ d) $120{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte O minge de fotbal costă cu $30$ de lei mai mult decât o minge de baschet, iar suma prețurilor celor două mingi este $210$ lei. Notăm cu $x$ prețul mingii de fotbal (în lei). a) (2 p) Arată că nu este posibil ca prețul mingii de fotbal să fie $130$ de lei. b) (3 p) Determină prețul mingii de fotbal.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-1}{x^2+6x+5}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -1$ și $x\ne -5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-1}{x+5}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Arată că numărul $S=\frac{1}{E(2)}+\frac{1}{E(3)}+\frac{1}{E(4)}$ este număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-14$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(1)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Calculează aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ aparțin cercului cu centrul $O$. Măsura unghiului la centru $AOB$ este de $96^{\circ }$, iar măsura arcului mic $BC$ este de $130^{\circ }$. a) (2 p) Calculează măsura arcului mic $AB$ și măsura unghiului înscris $ACB$. b) (3 p) Calculează măsura unghiului înscris $BAC$ și măsura unghiului înscris $ABC$ (verifică folosind suma unghiurilor triunghiului $ABC$).

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, în paralelogramul $ABCD$, punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$, iar segmentul $AM$ intersectează diagonala $BD$ în punctul $P$. a) (2 p) Arată că triunghiurile $BPM$ și $DPA$ sunt asemenea și determină raportul de asemănare. b) (3 p) Știind că $BD=21$ cm, calculează lungimile segmentelor $BP$ și $PD$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are muchia $AB=12$ cm. Se secționează cubul cu planul $(A^{\prime }BD)$. a) (2 p) Arată că triunghiul $A^{\prime }BD$ este echilateral și calculează aria secțiunii. b) (3 p) Calculează distanța de la vârful $A$ la planul $(A^{\prime }BD)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(120-6\cdot 8):(19-15)=(120-48):4=72:4=18$.
2. c) $\frac{3x-1}{5}=\frac{x+7}{3}\Rightarrow 3(3x-1)=5(x+7)\Rightarrow 9x-3=5x+35\Rightarrow 4x=38\Rightarrow x=\frac{19}{2}$.
3. a) $11^2=121<130$, iar $12^2=144>130$, deci cel mai mare număr natural cu proprietatea cerută este $11$.
4. a) $35\%\cdot 260=\frac{35}{100}\cdot 260=91$ km.
5. c) $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$ și $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$, deci $E=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
6. b) Suma celor patru numere este $4\cdot 23=92$; al patrulea număr este $92-19-26-30=17$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AB+BC=32$ și $AB=3\cdot BC\Rightarrow 4\cdot BC=32\Rightarrow BC=8$ cm.
2. d) Unghiurile interne de aceeași parte a secantei (colaterale interne) sunt suplementare: $m(\angle \beta )=180^{\circ }-118^{\circ }=62^{\circ }$.
3. c) Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză: $AC=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7$ cm.
4. b) Diagonala $BD$ împarte paralelogramul în două triunghiuri de arii egale ($48{\text{cm}}^2$ fiecare); cum $M$ este mijlocul lui $AD$, triunghiurile $ABM$ și $MBD$ au aceeași arie (baze egale $AM=MD$, aceeași înălțime din $B$), deci ${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{48}{2}=24{\text{cm}}^2$.
5. a) În triunghiul dreptunghic $OMA$ ($M\in AB$, jumătatea coardei $MA=12$ cm): $OM=\sqrt{O{A}^2-M{A}^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$ cm.
6. c) Volumul prismei: $V={\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}\cdot h=\frac{6\cdot 8}{2}\cdot 10=24\cdot 10=240{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $x$ prețul mingii de fotbal. a) (2 p) Dacă $x=130$, atunci prețul mingii de baschet ar fi $130-30=100$ lei (1 p). Suma prețurilor ar fi $130+100=230$ lei $\ne 210$ lei, ceea ce contrazice enunțul; deci prețul mingii de fotbal nu poate fi $130$ lei (1 p). b) (3 p) Ecuația corectă este $x+(x-30)=210$ (1 p), adică $2x-30=210\Rightarrow 2x=240\Rightarrow x=120$ (1 p). Prețul mingii de fotbal este $120$ lei (iar al mingii de baschet, $90$ lei; verificare: $120+90=210$ ✓) (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-1=(x-1)(x+1)$ și $x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+5)}=\frac{x-1}{x+5}$, simplificare permisă deoarece $x\ne -1$ (1 p). b) (3 p) $E(2)=\frac{2-1}{2+5}=\frac{1}{7}\Rightarrow \frac{1}{E(2)}=7$ (1 p). $E(3)=\frac{3-1}{3+5}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{E(3)}=4$ (1 p). $E(4)=\frac{4-1}{4+5}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{E(4)}=3$, deci $S=7+4+3=14$, număr natural (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=4\cdot 0-14=-14$ (1 p); $f(1)=4\cdot 1-14=-10$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $4x-14=0\Rightarrow x=\frac{7}{2}$, deci $A\left(\frac{7}{2},0\right)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=-14$, deci $B(0,-14)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{\frac{7}{2}\cdot 14}{2}=\frac{49}{2}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Măsura arcului mic $AB$ este egală cu măsura unghiului la centru $AOB$: arc $AB=96^{\circ }$ (1 p). Unghiul înscris $ACB$ subîntinde arcul $AB$, deci $m(\angle ACB)=\frac{96^{\circ }}{2}=48^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) Unghiul înscris $BAC$ subîntinde arcul $BC=130^{\circ }$, deci $m(\angle BAC)=\frac{130^{\circ }}{2}=65^{\circ }$ (1 p). Arcul $CA$ (rest până la $360^{\circ }$) este $360^{\circ }-96^{\circ }-130^{\circ }=134^{\circ }$ (1 p), deci unghiul înscris $ABC$, care subîntinde arcul $CA$, are $m(\angle ABC)=\frac{134^{\circ }}{2}=67^{\circ }$; verificare: $48^{\circ }+65^{\circ }+67^{\circ }=180^{\circ }$ ✓ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) În paralelogramul $ABCD$, $BC\parallel AD$, deci $BM\parallel AD$ (întrucât $M\in BC$); rezultă $m(\angle MBP)=m(\angle ADP)$ (unghiuri alterne interne) și $m(\angle BPM)=m(\angle DPA)$ (unghiuri opuse la vârf), deci $△BPM\sim △DPA$ (cazul U.U.) (1 p). Cum $M$ este mijlocul lui $BC$ și $BC=AD$, avem $BM=\frac{1}{2}AD$, deci raportul de asemănare este $\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$ (1 p). b) (3 p) Din asemănare, $\frac{BP}{PD}=\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$ (1 p), deci $PD=2\cdot BP$. Cum $BP+PD=BD=21$ cm, obținem $BP+2BP=21\Rightarrow 3BP=21\Rightarrow BP=7$ cm (1 p), iar $PD=21-7=14$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $BD$, $B{A}^{\prime }$ și $D{A}^{\prime }$ sunt diagonale ale unor fețe pătrate congruente ale cubului (fețele $ABCD$, $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ și $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$), deci toate au aceeași lungime $\ell =AB\sqrt{2}=12\sqrt{2}$ cm; rezultă că triunghiul $A^{\prime }BD$ este echilateral (1 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{A^{\prime }BD}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(12\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{288\sqrt{3}}{4}=72\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Tetraedrul $ABD{A}^{\prime }$ are în vârful $A$ trei muchii reciproc perpendiculare, $AB=AD=A{A}^{\prime }=12$ cm, deci volumul său este $V=\frac{AB\cdot AD\cdot A{A}^{\prime }}{6}=\frac{12\cdot 12\cdot 12}{6}=\frac{1728}{6}=288{\text{cm}}^3$ (1 p). Pe de altă parte, $V=\frac{1}{3}\cdot {\mathcal{A}}_{A^{\prime }BD}\cdot d(A,(A^{\prime }BD))$ (1 p), de unde $d(A,(A^{\prime }BD))=\frac{3V}{{\mathcal{A}}_{A^{\prime }BD}}=\frac{3\cdot 288}{72\sqrt{3}}=\frac{864}{72\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$ cm (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, geometrie plană (unghiuri, triunghiul dreptunghic, patrulatere, cercul) și geometrie în spațiu (corpuri: arii, volume și secțiuni).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: unghiul înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din arcul pe care îl subîntinde; într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$, cateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză.