Simulare Evaluarea Națională nr. 83

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(63:9+5)\cdot 3-8$ este: a) $36$ b) $28$ c) $12$ d) $44$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{15}=\frac{7}{5}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $3$ b) $35$ c) $21$ d) $\frac{7}{3}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Scris ca fracție ordinară ireductibilă, numărul $2,(3)$ este egal cu: a) $\frac{23}{10}$ b) $\frac{11}{5}$ c) $\frac{7}{9}$ d) $\frac{7}{3}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un autocar are $45$ de locuri. Dacă $60\%$ dintre locuri sunt ocupate, numărul locurilor libere este: a) $27$ b) $33$ c) $18$ d) $25$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi calculează expresia $E=\sqrt{50}-\sqrt{8}$ și obțin, respectiv, rezultatele de mai jos. Care dintre ei a calculat corect? a) Bogdan: $\sqrt{42}$ b) Carmen: $6\sqrt{2}$ c) Ana: $3\sqrt{2}$ d) Dan: $2\sqrt{2}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $b=2\sqrt{5}-4$. Atunci: a) $b<0$ b) $b=0$ c) $b>1$ d) $0<b<1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=7$ cm și $BC=11$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $9$ cm c) $2$ cm d) $18$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $48^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $48^{\circ }$ b) $132^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $42^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=11$ cm și $AC=60$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $71$ cm b) $61$ cm c) $3721$ cm d) $49$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=9$ cm și $BC=40$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $49$ cm b) $1681$ cm c) $31$ cm d) $41$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $82^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $164^{\circ }$ b) $49^{\circ }$ c) $82^{\circ }$ d) $41^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=7$ cm. Aria totală a cubului este egală cu:

a) $343{\text{cm}}^2$ b) $147{\text{cm}}^2$ c) $294{\text{cm}}^2$ d) $49{\text{cm}}^2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Două vehicule pleacă în același moment din același loc, deplasându-se în sensuri opuse: primul cu viteza de $52$ km/h, al doilea cu viteza de $47$ km/h. a) (2 p) Arată că, după $3$ ore de mers, distanța dintre cele două vehicule este mai mică decât $300$ km. b) (3 p) Determină după câte ore distanța dintre cele două vehicule devine egală cu $396$ km.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{8}{x-3}-\frac{8}{x+3}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 3$ și $x\ne -3$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{48}{x^2-9}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-6$. a) (2 p) Calculează $f(-1)$ și $f(4)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină distanța de la originea $O$ la mijlocul $M$ al segmentului $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată, cercul de centru $O$ are raza $R=10$ cm, iar $AB$ este diametru. Coarda $CD$ este paralelă cu $AB$ și $CD=16$ cm. Bisectoarea unghiului $ADB$ intersectează cercul în punctul $M$. a) (2 p) Calculează distanța de la centrul $O$ la coarda $CD$. b) (3 p) Calculează lungimea coardei $AM$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu diagonala $BD=15$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $CD$, iar dreapta $AM$ intersectează diagonala $BD$ în punctul $P$. a) (2 p) Arată că $DP=\frac{1}{3}\cdot BD$. b) (3 p) Calculează lungimile $DP$ și $PB$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă tehnică are forma unei prisme drepte $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghi echilateral cu latura $AB=6$ cm și înălțimea prismei (muchia laterală) $A{A}^{\prime }=8$ cm. a) (2 p) Calculează aria bazei și volumul prismei. b) (3 p) Calculează aria laterală a prismei și distanța de la vârful $A$ la planul $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(63:9+5)\cdot 3-8=(7+5)\cdot 3-8=12\cdot 3-8=36-8=28$.
2. c) $\frac{x}{15}=\frac{7}{5}\Rightarrow x=\frac{15\cdot 7}{5}=21$.
3. d) $2,(3)$: notăm $x=2,(3)$; $10x=23,(3)$; $10x-x=21\Rightarrow x=\frac{21}{9}=\frac{7}{3}$.
4. c) $60\%\cdot 45=27$ locuri ocupate, deci libere $=45-27=18$.
5. c) $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $E=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ — Ana.
6. d) $\sqrt{5}\approx 2,236\Rightarrow 2\sqrt{5}\approx 4,47$, deci $b=2\sqrt{5}-4\approx 0,47$, adică $0<b<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AC=AB+BC=7+11=18$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=9$ cm; $MB=AM-AB=9-7=2$ cm.
2. d) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-48^{\circ }-90^{\circ }=42^{\circ }$.
3. b) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{11^2+60^2}=\sqrt{121+3600}=\sqrt{3721}=61$ cm.
4. d) $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{9^2+40^2}=\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}=41$ cm.
5. d) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 82^{\circ }=41^{\circ }$.
6. c) $A_t=6\cdot {\ell }^2=6\cdot 7^2=6\cdot 49=294{\text{cm}}^2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $t$ timpul, în ore. a) (2 p) Deplasându-se în sensuri opuse, distanța dintre vehicule după $t$ ore este $(52+47)\cdot t=99t$ (1 p). La $t=3$: $99\cdot 3=297$ km, iar $297<300$, deci afirmația este adevărată (1 p). b) (3 p) Punem condiția $99t=396$ (1 p), de unde $t=\frac{396}{99}$ (1 p) $=4$ ore (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Aducem la același numitor $(x-3)(x+3)=x^2-9$: $8(x+3)-8(x-3)=8x+24-8x+24=48$ (1 p); deci $E(x)=\frac{48}{x^2-9}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)\in \mathbb{Z}\iff (x^2-9)\mid 48$ (1 p). Pentru $|x|\ge 8$ avem $x^2-9\ge 55>48$, deci $E(x)$ nu poate fi întreg; rămân de verificat $x\in \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 5,\pm 6,\pm 7\}$ (cu $x\ne \pm 3$) (1 p). Se obține $x^2-9\in \{-9,-8,-5,7,16,27,40\}$, dintre care doar $-8$ (pentru $x=\pm 1$) și $16$ (pentru $x=\pm 5$) divid $48$. Soluțiile sunt $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (verificare: $E(1)=E(-1)=-6$, $E(5)=E(-5)=3$) (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(-1)=3\cdot (-1)-6=-9$ (1 p); $f(4)=3\cdot 4-6=6$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 3x-6=0\Rightarrow x=2$, deci $A(2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=-6$, deci $B(0,-6)$ (1 p). Mijlocul segmentului: $M\left(\frac{2+0}{2},\frac{0-6}{2}\right)=M(1,-3)$; distanța $OM=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Fie $N$ piciorul perpendicularei din $O$ pe $CD$; $N$ este mijlocul lui $CD$, deci $CN=8$ cm. În triunghiul dreptunghic $ONC$: $ON=\sqrt{O{C}^2-C{N}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$ cm (2 p). b) (3 p) Cum $AB$ este diametru, unghiul $ADB$ este înscris în semicerc, deci $m(\angle ADB)=90^{\circ }$ (1 p). Bisectoarea $[DM$ împarte acest unghi în două unghiuri de $45^{\circ }$ fiecare; unghiul înscris $\angle ADM=45^{\circ }$ subîntinde arcul $AM$, deci $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AM}})=2\cdot 45^{\circ }=90^{\circ }$ (1 p). Triunghiul $OAM$ este dreptunghic în $O$ (cu $OA=OM=R=10$ cm și unghiul $AOM=90^{\circ }$), deci $AM=\sqrt{O{A}^2+O{M}^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Cum $ABCD$ este paralelogram, $DC\parallel AB$, deci $\angle PDM\equiv \angle PBA$ și $\angle PMD\equiv \angle PAB$ (unghiuri alterne interne), de unde $△DPM\sim △BPA$ (1 p). Raportul de asemănare este $\frac{DM}{AB}=\frac{DM}{DC}=\frac{1}{2}$ (deoarece $M$ este mijlocul lui $DC$, iar $DC=AB$), deci $\frac{DP}{PB}=\frac{1}{2}$, adică $DP:PB=1:2$, deci $DP=\frac{1}{3}\cdot BD$ (1 p). b) (3 p) $DP=\frac{1}{3}\cdot 15=5$ cm (2 p); $PB=BD-DP=15-5=10$ cm, sau direct $PB=\frac{2}{3}\cdot 15=10$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria bazei (triunghi echilateral cu latura $6$ cm): $A_b=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=A_b\cdot A{A}^{\prime }=9\sqrt{3}\cdot 8=72\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{\ell }=P_{baza}\cdot A{A}^{\prime }=(3\cdot 6)\cdot 8=18\cdot 8=144{\text{cm}}^2$ (1 p). Distanța de la $A$ la planul $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ este egală cu distanța de la $A$ la dreapta $BC$ (înălțimea triunghiului echilateral din $A$), deoarece prisma este dreaptă, iar planul $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ este perpendicular pe planul bazei (1 p): $h_{△}=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale, procente, ecuații liniare, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, geometrie plană (unghiuri, triunghi dreptunghic – teorema lui Pitagora, cerc, paralelogram) și geometrie în spațiu (prisma dreaptă cu bază triunghi echilateral – arii, volum, distanță punct–plan).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic; pentru fracțiile algebrice, simplificarea este permisă doar în afara valorilor care anulează numitorul.