Simulare Evaluarea Națională nr. 84

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $100-(6\cdot 7+18):4$ este: a) $85$ b) $70$ c) $64$ d) $91$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{12}=\frac{7}{4}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $21$ b) $28$ c) $\frac{48}{7}$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numărul $2,(45)$, scris ca fracție ordinară ireductibilă, este egal cu: a) $\frac{27}{11}$ b) $\frac{245}{99}$ c) $\frac{47}{22}$ d) $\frac{9}{4}$

Exercițiul 4 · 5 puncte La un eveniment s-au pregătit $340$ de cutii de suc. Numărul de cutii care reprezintă $35\%$ din acest stoc este egal cu: a) $119$ b) $102$ c) $175$ d) $11,9$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi calculează valoarea expresiei $E=\sqrt{225}-3\sqrt{16}$ și obțin rezultate diferite: Andrei $-3$, Bianca $3$, Carla $9$, Dan $27$. Elevul (eleva) care are dreptate este: a) Andrei b) Bianca c) Carla d) Dan

Exercițiul 6 · 5 puncte Diagrama de mai jos arată numărul de bilete vândute la un festival, în patru zile consecutive.

Diferența dintre numărul de bilete vândute în ziua cu cele mai multe bilete și numărul de bilete vândute în ziua cu cele mai puține bilete este egală cu: a) $42$ b) $44$ c) $34$ d) $18$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=9$ cm și $BC=15$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $3$ cm b) $12$ cm c) $6$ cm d) $9$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare, iar $m(\angle AOB)=64^{\circ }$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $BOD$. Măsura unghiului $AOM$ este egală cu:

a) $122^{\circ }$ b) $58^{\circ }$ c) $116^{\circ }$ d) $64^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, se duce înălțimea $AD$ ($D\in BC$), cu $BD=4$ cm și $DC=9$ cm. Lungimea înălțimii $AD$ este egală cu:

a) $6$ cm b) $36$ cm c) $13$ cm d) $6,5$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $BC=8$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $17$ cm b) $23$ cm c) $7$ cm d) $120$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ și raza $R=10$ cm. Coarda $AB$ este perpendiculară pe raza $OM$ ($M\in AB$), iar $OM=6$ cm. Lungimea coardei $AB$ este egală cu:

a) $16$ cm b) $8$ cm c) $20$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă are forma unei prisme drepte $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghi dreptunghic în $A$, $AB=6$ cm, $AC=8$ cm, iar înălțimea prismei $A{A}^{\prime }=12$ cm. Volumul prismei este egal cu:

a) $288{\text{cm}}^3$ b) $144{\text{cm}}^3$ c) $576{\text{cm}}^3$ d) $240{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un rezervor conține inițial o cantitate $x$ (litri) de motorină. Rezervorul este golit în trei etape: în prima etapă se golește $\frac{2}{5}$ din cantitatea $x$, în a doua etapă se golește $\frac{1}{4}$ din cantitatea rămasă după prima etapă, iar în a treia etapă se golesc ultimii $108$ de litri. a) (2 p) Arată că în a doua etapă s-a golit o cantitate mai mică decât în prima etapă. b) (3 p) Determină cantitatea inițială $x$ din rezervor.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+4x}{x^2+10x+24}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -4$ și $x\ne -6$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x}{x+6}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Calculează $S=\frac{1}{E(1)}+\frac{1}{E(2)}+\frac{1}{E(3)}$ și arată că $S$ este număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-9$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(2)$. b) (3 p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Se consideră punctul $M(m+1,3m-6)$, unde $m\in \mathbb{R}$. Arată că, pentru orice număr real $m$, punctele $A$, $B$ și $M$ sunt coliniare.

Exercițiul 4 · 5 puncte Punctele $A$, $B$, $C$ aparțin unui cerc de centru $O$, astfel încât $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=76^{\circ }$ (arcul care nu îl conține pe $C$) și $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}})=118^{\circ }$ (arcul care nu îl conține pe $A$). a) (2 p) Calculează măsura unghiului la centru $AOB$ și măsura unghiului înscris $ACB$. b) (3 p) Calculează măsurile unghiurilor $BAC$ și $ABC$ ale triunghiului $ABC$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Paralelogramul $ABCD$ are $AB=16$ cm și $BC=9$ cm. Punctul $M$ aparține laturii $AB$, cu $BM=6$ cm, iar distanța de la punctul $M$ la latura $CD$ este egală cu $8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul paralelogramului $ABCD$. b) (3 p) Calculează aria paralelogramului $ABCD$ și aria triunghiului $MBC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are muchia $AB=6$ cm. Se consideră secțiunea diagonală $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$. a) (2 p) Calculează lungimea diagonalei bazei $AC$ și aria secțiunii $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$. b) (3 p) Calculează volumul cubului, aria totală a cubului și distanța de la vârful $B$ la planul $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $100-(6\cdot 7+18):4=100-(42+18):4=100-60:4=100-15=85$.
2. a) $\frac{x}{12}=\frac{7}{4}\Rightarrow x=\frac{12\cdot 7}{4}=21$.
3. a) $2,(45)=2+\frac{45}{99}=2+\frac{5}{11}=\frac{27}{11}$.
4. a) $35\%\cdot 340=\frac{35}{100}\cdot 340=119$.
5. b) $E=\sqrt{225}-3\sqrt{16}=15-3\cdot 4=15-12=3$, deci Bianca are dreptate.
6. a) Cel mai mare număr de bilete: $96$ (sâmbătă); cel mai mic: $54$ (joi); diferența $=96-54=42$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $AC=AB+BC=9+15=24$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=12$ cm; $MB=AM-AB=12-9=3$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle BOD)=180^{\circ }-64^{\circ }=116^{\circ }$. $OM$ bisectoare $\Rightarrow m(\angle BOM)=58^{\circ }$. Deci $m(\angle AOM)=m(\angle AOB)+m(\angle BOM)=64^{\circ }+58^{\circ }=122^{\circ }$.
3. a) Relația de metrică a înălțimii: $A{D}^2=BD\cdot DC=4\cdot 9=36\Rightarrow AD=6$ cm.
4. a) Teorema lui Pitagora: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm.
5. a) În triunghiul dreptunghic $OMA$ (dreptunghic în $M$): $AM=\sqrt{R^2-O{M}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ cm, deci $AB=2\cdot AM=16$ cm.
6. a) Aria bazei $=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24{\text{cm}}^2$; volumul $V=A_{baz\breve{a}}\cdot A{A}^{\prime }=24\cdot 12=288{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Ziua întâi: $\frac{2}{5}x=40\%x$ (1 p). Ziua a doua: $\frac{1}{4}$ din restul de $\frac{3}{5}x$, adică $\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{5}x=\frac{3}{20}x=15\%x$. Cum $15\%<40\%$, în a doua etapă s-a golit mai puțin decât în prima (1 p). b) (3 p) După primele două etape s-a golit $\frac{2}{5}x+\frac{3}{20}x=\frac{8}{20}x+\frac{3}{20}x=\frac{11}{20}x$, deci a rămas $\frac{9}{20}x$ (1 p). Acest rest a fost golit a treia etapă: $\frac{9}{20}x=108$ (1 p) $\Rightarrow x=\frac{108\cdot 20}{9}=240$ litri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2+4x=x(x+4)$ și $x^2+10x+24=(x+4)(x+6)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{x(x+4)}{(x+4)(x+6)}=\frac{x}{x+6}$ (1 p). b) (3 p) $E(1)=\frac{1}{7}\Rightarrow \frac{1}{E(1)}=7$; $E(2)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{E(2)}=4$; $E(3)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{E(3)}=3$ (2 p). Deci $S=7+4+3=14$, care este număr natural (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=3\cdot 0-9=-9$ (1 p); $f(2)=3\cdot 2-9=-3$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $3x-9=0\Rightarrow x=3$, deci $A(3,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=-9$, deci $B(0,-9)$ (1 p). Pentru $M(m+1,3m-6)$: $f(m+1)=3(m+1)-9=3m+3-9=3m-6$, adică ordonata lui $M$ este exact $f$ aplicată în abscisa lui $M$, deci $M$ aparține graficului $G_f$ (dreapta $AB$) pentru orice $m\in \mathbb{R}$; rezultă $A$, $B$, $M$ coliniare (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Unghiul la centru $AOB$ are măsura egală cu arcul pe care îl subîntinde: $m(\angle AOB)=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=76^{\circ }$ (1 p). Unghiul înscris $ACB$ subîntinde același arc $AB$, deci $m(\angle ACB)=\frac{76^{\circ }}{2}=38^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) Unghiul înscris $BAC$ subîntinde arcul $BC=118^{\circ }$, deci $m(\angle BAC)=\frac{118^{\circ }}{2}=59^{\circ }$ (1 p). Arcul $AC$ (care nu îl conține pe $B$) este $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}})=360^{\circ }-76^{\circ }-118^{\circ }=166^{\circ }$ (1 p). Unghiul înscris $ABC$ subîntinde acest arc, deci $m(\angle ABC)=\frac{166^{\circ }}{2}=83^{\circ }$ (verificare: $38^{\circ }+59^{\circ }+83^{\circ }=180^{\circ }$) (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(16+9)=50$ cm. b) (3 p) Cum $AB\parallel CD$, distanța de la $M\in AB$ la $CD$ este chiar înălțimea paralelogramului corespunzătoare bazei $AB$: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot h=16\cdot 8=128{\text{cm}}^2$ (1 p). Distanța de la $C$ la dreapta $AB$ este tot $h=8$ cm (aceleași drepte paralele), deci ${\mathcal{A}}_{MBC}=\frac{BM\cdot h}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24{\text{cm}}^2$ (1 p); rezultă ${\mathcal{A}}_{AMCD}=128-24=104{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Diagonala bazei: $AC=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm (1 p). Secțiunea $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este un dreptunghi cu laturile $AC=6\sqrt{2}$ cm și $A{A}^{\prime }=6$ cm, deci ${\mathcal{A}}_{AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }}=6\sqrt{2}\cdot 6=36\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Volumul cubului: $V=A{B}^3=6^3=216{\text{cm}}^3$ (1 p). Aria totală: $A_t=6\cdot A{B}^2=6\cdot 36=216{\text{cm}}^2$ (1 p). Distanța de la $B$ la planul $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ este egală cu jumătate din diagonala bazei $BD$ (deoarece $B$ și $D$ sunt simetrice față de planul secțiunii): $d(B,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=\frac{BD}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ cm (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, unghiuri, cerc) și geometrie în spațiu (corpuri: arii, volume și secțiuni).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.