Test: Supliment Bac M2: matematici financiare (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: matematici financiare

Exerciții

Partea I – Procente, factori și taxa pe valoarea adăugată

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu o justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Calculează $12\%$ din $650$ de lei. b) Ce factor de modificare corespunde unei scumpiri cu $9\%$? c) Ce factor de modificare corespunde unei ieftiniri cu $4\%$? d) Prețul fără taxă al unui reactiv este de $200$ de lei, la cota standard de $21\%$. Cât este taxa pe valoarea adăugată? e) Ce cotă redusă de TVA se aplică, din august $2025$, alimentelor, medicamentelor și cărților? f) Adevărat sau fals: „două reduceri succesive de $10\%$ înseamnă o reducere unică de $20\%$".

Exercițiul 2 (6 puncte)

O farmacie vinde un tensiometru care are prețul fără TVA de $1400$ de lei, la cota standard de $21\%$. a) Calculează prețul de raft al tensiometrului. (2 p) b) Pe bonul altui aparat, vândut la aceeași cotă, scrie doar suma de plată de $847$ de lei. Calculează prețul lui fără TVA. (2 p) c) Calculează taxa cuprinsă în suma de pe bon, pe două drumuri diferite. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

O bicicletă are prețul de $1500$ de lei. La începutul lichidării prețul se reduce cu $30\%$, iar în ultima zi prețul obținut se mai reduce o dată cu $10\%$. a) Calculează prețul după fiecare dintre cele două reduceri. (2 p) b) Calculează factorul total și reducerea unică echivalentă. (2 p) c) Ce preț ar fi rezultat dacă cele două procente s-ar fi adunat și cu cât diferă el de prețul real? (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Prețul unui produs, cu TVA inclus la cota standard de $21\%$, este de $1452$ de lei. Prețul fără TVA este: A. $1200$ de lei; B. $1147,08$ lei; C. $1231$ de lei; D. $1250$ de lei.

b) O sumă de $3000$ de lei depusă cu dobândă simplă de $5\%$ pe an, pe $2$ ani, produce o dobândă de: A. $150$ de lei; B. $300$ de lei; C. $307,50$ lei; D. $3300$ de lei.

c) Rata dobânzii unui depozit urcă de la $8\%$ la $10\%$. Creșterea este: A. de $2$ puncte procentuale, adică de $25\%$ în termeni relativi; B. de $2\%$; C. de $20\%$; D. de $2$ puncte procentuale, adică de $20\%$.

d) Un utilaj de $20000$ de lei se amortizează liniar în $10$ ani, fără valoare reziduală. Amortizarea anuală este: A. $200$ de lei; B. $1800$ de lei; C. $2000$ de lei; D. $10000$ de lei.

Partea a II-a – Dobânzi, buget și preț de cost

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se depun $9000$ de lei la o bancă, cu o rată de $4\%$ pe an, pe $2$ ani. a) Calculează dobânda încasată, dacă dobânda este simplă. (2 p) b) Calculează soldul contului, dacă dobânda este compusă și se capitalizează anual. (2 p) c) Calculează diferența dintre cele două dobânzi și explică de unde vine ea. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

O familie are venituri lunare de $4800$ de lei și cheltuiește lunar $1680$ de lei pentru chirie, $1440$ de lei pentru alimente, $336$ de lei pentru transport, $240$ de lei pentru rechizite și $528$ de lei pentru cheltuieli diverse. a) Calculează totalul cheltuielilor și soldul lunar, apoi precizează dacă bugetul este echilibrat, excedentar sau deficitar. (2 p) b) Calculează ponderea chiriei și pe cea a transportului în venitul lunar. (2 p) c) Ce procent din venit reprezintă soldul și cu ce sumă ar trebui tăiate cheltuielile pentru ca familia să economisească $15\%$ din venit? (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Asociația elevilor produce, în atelierul școlii, truse de analiză a apei. Atelierul are costuri fixe lunare de $7500$ de lei și un cost variabil de $25$ de lei pe trusă, iar o trusă se vinde cu $55$ de lei. a) Pentru o producție de $500$ de truse, determinați costul total și prețul de cost al unei truse. (3 p) b) Determinați venitul lunar, profitul lunar și rata profitului față de costuri. (3 p) c) Determinați pragul de rentabilitate, adică numărul de truse de la care activitatea începe să aducă profit. (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

O centrifugă de laborator are prețul de $28000$ de lei. Ea este folosită $7$ ani, iar la sfârșit se revinde la o valoare reziduală de $3500$ de lei; amortizarea este liniară. a) Calculează amortizarea anuală. (2 p) b) Calculează valoarea rămasă după $4$ ani. (2 p) c) Determină primul an la sfârșitul căruia valoarea rămasă coboară sub jumătate din prețul de cumpărare și scrie această valoare. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un credit de $8400$ de lei se restituie în $12$ rate lunare descrescătoare, cu o dobândă de $1\%$ pe lună aplicată soldului rămas la începutul lunii. a) Calculează tranșa lunară de principal, prima rată și ultima rată. (3 p) b) Calculează dobânda totală plătită, folosind suma unei progresii aritmetice. (2 p) c) Calculează suma totală restituită băncii. (1 p)

Partea a III-a – Probleme și decizii cu cifre

Exercițiul 10 (8 puncte)

O școală compară două oferte pentru același videoproiector. Oferta A are prețul de raft de $2420$ de lei, cu TVA inclus la cota standard de $21\%$, și o reducere de $10\%$ din prețul de raft. La oferta B, prețul fără TVA este de $1900$ de lei, se acordă o reducere de $5\%$ aplicată prețului fără TVA, iar taxa se adaugă abia la prețul redus. a) Calculează prețul fără TVA din oferta A. (2 p) b) Calculează suma de plată în fiecare dintre cele două oferte. (3 p) c) Stabilește care ofertă este mai avantajoasă și cu cât, apoi arată că taxa cuprinsă în suma plătită la oferta A este de $378$ de lei. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se depun $12500$ de lei cu dobândă compusă, cu o rată de $8\%$ pe an, capitalizată anual. a) Arătați că soldul contului după doi ani este de $14580$ de lei. (3 p) b) Determinați dobânda produsă în fiecare dintre cei doi ani și arătați că al doilea an aduce mai mult decât primul. (3 p) c) Determinați dobânda pe care ar fi adus-o aceeași sumă, în aceeași perioadă, cu dobândă simplă de $8\%$ pe an, și diferența față de dobânda compusă. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Un laborator școlar cumpără un aparat de $36000$ de lei, pe care îl amortizează liniar în $6$ ani, fără valoare reziduală. Celelalte costuri fixe anuale ale laboratorului, în afara amortizării, sunt de $12000$ de lei. Costul variabil al unei analize este de $12$ lei, iar o analiză se taxează cu $30$ de lei. a) Calculează amortizarea anuală și costul fix anual total. (2 p) b) La $1500$ de analize pe an, calculează costul total, venitul, profitul anual și costul mediu al unei analize. (4 p) c) Cu cât la sută scade costul mediu al unei analize dacă numărul lor crește de la $1500$ la $2000$ analize pe an? (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Un cabinet școlar de biologie cumpără un aparat care are prețul fără TVA de $16000$ de lei, la cota standard de $21\%$. Aparatul se amortizează liniar pe $8$ ani, pornind de la prețul fără TVA, până la o valoare reziduală de $1600$ de lei. a) Determinați suma plătită de școală, cu taxa inclusă. (2 p) b) Determinați amortizarea anuală și valoarea rămasă după $5$ ani. (3 p) c) Arătați că valoarea rămasă la punctul b) reprezintă $43,75\%$ din prețul fără TVA. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $\frac{12}{100}\cdot 650=78$ de lei; procentul se raportează la suma scrisă în enunț. b) Factorul este $1+\frac{9}{100}=1,09$: suma veche se înmulțește cu el. c) Factorul este $1-\frac{4}{100}=0,96$. d) Taxa este $200\cdot \frac{21}{100}=42$ de lei, fiindcă ea se aplică prețului fără taxă. e) Cota redusă este de $11\%$, aplicată din $1$ august $2025$ alimentelor, medicamentelor, cărților, apei potabile și cazării. f) Fals. Factorul total este $0,9\cdot 0,9=0,81$, deci prețul final reprezintă $81\%$ din cel inițial, iar reducerea unică echivalentă este de $19\%$, nu de $20\%$: a doua reducere nu se aplică părții deja tăiate.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Prețul de raft este $1400\cdot 1,21=1694$ de lei. (Pe doi pași: taxa este $1400\cdot 0,21=294$ de lei, iar $1400+294=1694$.) b) (2 p) Suma de pe bon reprezintă $121\%$ din prețul fără TVA, deci prețul fără TVA este $847:1,21=700$ de lei. Control: $700\cdot 1,21=847$. c) (2 p) Primul drum: $847-700=147$ lei. Al doilea drum, dintr-un pas: $847\cdot \frac{21}{121}=7\cdot 21=147$ lei. Aplicarea greșită a lui $21\%$ la suma de pe bon ar da $177,87$ lei, adică mai mult decât taxa reală.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) După prima reducere: $1500\cdot 0,7=1050$ de lei. După a doua: $1050\cdot 0,9=945$ de lei. b) (2 p) Factorul total este $0,7\cdot 0,9=0,63$, deci prețul final reprezintă $63\%$ din cel inițial, iar reducerea unică echivalentă este de $37\%$. c) (2 p) Adunarea procentelor ar da $40\%$, adică un preț de $1500\cdot 0,6=900$ de lei. Prețul real, $945$ de lei, este cu $45$ de lei mai mare — adică $3$ puncte procentuale, exact partea pe care a doua reducere n-a mai atins-o.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — prețul de raft este $121\%$ din cel fără TVA, deci $1452:1,21=1200$ de lei. Varianta B vine din greșeala de a scădea $21\%$ din prețul cu taxă. b) B — dobânda simplă este $3000\cdot \frac{5}{100}\cdot 2=300$ de lei; varianta D confundă dobânda cu soldul. c) A — creșterea este de $2$ puncte procentuale, iar în termeni relativi $\frac{10-8}{8}=0,25$, adică $25\%$. d) C — amortizarea anuală este $20000:10=2000$ de lei.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $D=9000\cdot \frac{4}{100}\cdot 2=720$ de lei. b) (2 p) Soldul este $9000\cdot 1,04^2=9000\cdot 1,0816=9734,40$ lei. Pe ani: după primul an $9360$ de lei, după al doilea $9734,40$ lei. c) (2 p) Dobânda compusă este $9734,40-9000=734,40$ lei, deci diferența este $734,40-720=14,40$ lei. Ea este dobânda produsă în al doilea an de dobânda primului an: $360\cdot 0,04=14,40$ lei.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Cheltuielile însumează $1680+1440+336+240+528=4224$ de lei, deci soldul este $4800-4224=576$ de lei: bugetul este excedentar. b) (2 p) Chiria: $\frac{1680}{4800}=0,35$, adică $35\%$ din venit. Transportul: $\frac{336}{4800}=0,07$, adică $7\%$. c) (2 p) Soldul reprezintă $\frac{576}{4800}=0,12$, adică $12\%$ din venit. Pentru $15\%$ ar trebui economisiți $4800\cdot 0,15=720$ de lei, deci cheltuielile ar trebui tăiate cu $720-576=144$ de lei.

Exercițiul 7. (8 p) a) (3 p) Costul total este $C=7500+500\cdot 25=20000$ de lei (2 p), iar prețul de cost al unei truse este $20000:500=40$ de lei (1 p). b) (3 p) Venitul este $500\cdot 55=27500$ de lei (1 p), profitul este $27500-20000=7500$ de lei (1 p), iar rata profitului față de costuri este $\frac{7500}{20000}=0,375$, adică $37,5\%$ (1 p). c) (2 p) Din $55n=7500+25n$ rezultă $30n=7500$, deci pragul este de $250$ de truse. Control: peste prag sunt $500-250=250$ de truse, iar marja unitară este $55-25=30$ de lei, deci profitul este $250\cdot 30=7500$ de lei, cum s-a obținut la b).

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $A=\frac{28000-3500}{7}=\frac{24500}{7}=3500$ de lei pe an. b) (2 p) După patru ani s-au amortizat $4\cdot 3500=14000$ de lei, deci valoarea rămasă este $28000-14000=14000$ de lei. c) (2 p) Jumătate din prețul de cumpărare înseamnă $14000$ de lei, iar la sfârșitul anului al patrulea valoarea rămasă este exact $14000$ de lei — deci nu a coborât încă sub jumătate. Primul an cerut este anul al cincilea, când valoarea rămasă este $28000-5\cdot 3500=10500$ de lei. (Control la capăt: $28000-7\cdot 3500=3500$ de lei, adică exact valoarea reziduală din enunț.)

Exercițiul 9. (6 p) a) (3 p) Tranșa de principal este $8400:12=700$ de lei (1 p). În prima lună dobânda se calculează la toată suma: $8400\cdot 0,01=84$ de lei, deci prima rată este $700+84=784$ de lei (1 p). În ultima lună soldul este $700$ de lei, dobânda este $7$ lei, deci ultima rată este $707$ lei (1 p). b) (2 p) Dobânzile lunare sunt $84,77,70,\dots ,7$ — o progresie aritmetică cu $12$ termeni și rația $-7$. Suma lor este $\frac{(84+7)\cdot 12}{2}=\frac{91\cdot 12}{2}=546$ de lei. c) (1 p) Suma restituită este $8400+546=8946$ de lei.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Prețul de raft este $121\%$ din cel fără taxă, deci prețul fără TVA este $2420:1,21=2000$ de lei. b) (3 p) Oferta A: $2420\cdot 0,9=2178$ de lei (1 p). Oferta B: prețul redus fără TVA este $1900\cdot 0,95=1805$ de lei (1 p), iar cu taxa $1805\cdot 1,21=2184,05$ lei (1 p). c) (3 p) Diferența este $2184,05-2178=6,05$ lei, deci oferta A este mai avantajoasă, cu $6,05$ lei (1 p). Taxa cuprinsă în suma plătită la A este $2178\cdot \frac{21}{121}=18\cdot 21=378$ de lei (2 p); echivalent, prețul fără taxă al ofertei A după reducere este $2178:1,21=1800$ de lei, iar $2178-1800=378$ de lei.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Factorul anual este $1+\frac{8}{100}=1,08$ (1 p), deci soldul după doi ani este $12500\cdot 1,08^2=12500\cdot 1,1664=14580$ de lei (2 p), ceea ce trebuia arătat. b) (3 p) În primul an dobânda este $12500\cdot 0,08=1000$ de lei, iar soldul devine $13500$ de lei (1 p). În al doilea an dobânda se calculează la soldul acumulat: $13500\cdot 0,08=1080$ de lei (1 p). Al doilea an aduce cu $1080-1000=80$ de lei mai mult, adică exact dobânda produsă de dobânda primului an: $1000\cdot 0,08=80$ de lei (1 p). Control: $13500+1080=14580$ de lei. c) (2 p) Cu dobândă simplă: $12500\cdot 0,08\cdot 2=2000$ de lei. Dobânda compusă totală este $1000+1080=2080$ de lei, deci diferența este de $80$ de lei în favoarea capitalizării.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Amortizarea anuală este $36000:6=6000$ de lei (1 p), iar costul fix anual total este $6000+12000=18000$ de lei (1 p). b) (4 p) Costul total este $18000+1500\cdot 12=36000$ de lei (1 p); venitul este $1500\cdot 30=45000$ de lei (1 p); profitul anual este $45000-36000=9000$ de lei (1 p); costul mediu al unei analize este $36000:1500=24$ de lei (1 p). c) (2 p) La $2000$ de analize costul total este $18000+2000\cdot 12=42000$ de lei, deci costul mediu devine $42000:2000=21$ de lei. Scăderea este $\frac{24-21}{24}=0,125$, adică $12,5\%$: partea fixă se împarte la mai multe analize.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Suma plătită este $16000\cdot 1,21=19360$ de lei (taxa fiind $16000\cdot 0,21=3360$ de lei). b) (3 p) Amortizarea se calculează pe prețul fără taxă: $A=\frac{16000-1600}{8}=\frac{14400}{8}=1800$ de lei pe an (2 p). După cinci ani s-au amortizat $5\cdot 1800=9000$ de lei, deci valoarea rămasă este $16000-9000=7000$ de lei (1 p). c) (3 p) Raportul cerut este $\frac{7000}{16000}=\frac{7}{16}=0,4375$ (2 p), adică $43,75\%$ din prețul fără TVA (1 p), ceea ce trebuia arătat.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică întregul capitol de matematici financiare al suplimentului: cele două lecții ale unității — Procente, dobânzi și TVA (factorul de modificare, drumul înapoi, taxa în ambele sensuri, dobânda simplă și cea compusă, punctele procentuale) și Buget, credite și amortizări (bugetul și ponderile lui, prețul de cost, profitul, pragul de rentabilitate, amortizarea liniară, creditul cu rate descrescătoare). Capitolul nu are alt test în traseul clasei, deci aici se cere tot: nu rămâne nimic pentru un test vecin. Statistica, dispersia și numărarea, care se învață tot din programa de examen, se verifică în celelalte teste de supliment.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate sumele au fost alese astfel încât împărțirile să iasă exact sau cu cel mult două zecimale. Fiecare rezultat se scrie cu unitatea de măsură (lei, bucăți, ani), iar rotunjirea la bani se face o singură dată, la final.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele două lecții, în special drumul înapoi (împărțirea la factor) și regula „dobânda lunii se calculează la soldul rămas".
• Formule de reținut: $p\%$ dintr-o sumă $S$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot S$; o scumpire cu $p\%$ înmulțește suma cu $1+\frac{p}{100}$, o ieftinire cu $p\%$ o înmulțește cu $1-\frac{p}{100}$, iar drumul înapoi se face prin împărțire la același factor; reducerile succesive înmulțesc factorii; la cota standard de $21\%$, prețul de raft este $1,21$ ori prețul fără taxă, iar taxa cuprinsă într-un preț de raft este $\frac{21}{121}$ din el (la cota redusă de $11\%$: $1,11$, respectiv $\frac{11}{111}$); dobânda simplă este $D=S\cdot \frac{p}{100}\cdot t$, iar la dobânda compusă soldul după $n$ perioade este $S{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$; costul total al unei producții este $C=F+n\cdot v$, prețul de cost al unei bucăți este $\frac{C}{n}$, iar pragul de rentabilitate este $n=\frac{F}{p-v}$; amortizarea liniară este $A=\frac{V-R}{n}$, iar valoarea rămasă după $k$ ani este $V-k\cdot A$; la un credit cu rate descrescătoare, dobânzile lunare formează o progresie aritmetică, a cărei sumă se calculează cu $\frac{(d_1+d_n)\cdot n}{2}$.
• Programa și examenul. Testul face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: matematicile financiare sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), care le așază la clasa a X-a, cu „elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA" și cu nota că aplicațiile vor fi din domeniul financiar — profit, preț de cost al unui produs, amortizări de investiții, tipuri de credite, buget personal, buget familial. Materia claselor a IX-a și a X-a se evaluează la Subiectul I, prin șase cerințe scurte. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, nu mai are acest capitol: din el rămân doar dobânda simplă și dobânda compusă, mutate la clasa a IX-a, lângă progresii, deci la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) ele apar în domeniul Algebră, iar procentele și TVA-ul nu mai figurează acolo ca temă distinctă. Cota standard de TVA folosită în test este cea în vigoare din $1$ august $2025$, de $21\%$ (Legea nr. 141/2025), iar cota redusă este de $11\%$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".