Exerciții rezolvate — Elemente de logică matematică (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Elemente de logică matematică", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Propoziția $p$ este adevărată, iar $q$ este falsă. Ce valoare de adevăr are $p\wedge q$?

   • a) adevărată
   • b) falsă
   • c) depinde de ordinea propozițiilor
   • d) nu se poate stabili
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) falsă

   Conjuncția cere ca ambele propoziții să fie adevărate. Cum $q$ este falsă, $p\wedge q$ este falsă. Ordinea nu contează: $p\wedge q$ și $q\wedge p$ au mereu aceeași valoare.

   Lecția: Conjuncția: propoziții legate prin «și» →

2. Ce valoare de adevăr are propoziția «$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$»?

   • a) adevărată
   • b) falsă, pentru $x=0$
   • c) falsă, pentru $x$ negativ
   • d) nu este propoziție, pentru că are variabilă
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) adevărată

   Pătratul oricărui număr real este pozitiv sau zero, deci enunțul este adevărat pentru toate valorile. La $x=0$ avem $0\ge 0$ (adevărat), iar la $x$ negativ pătratul iese pozitiv, de exemplu $(-3{)}^2=9$. Cuantificatorul închide variabila, deci enunțul este propoziție.

   Lecția: Cuantificatorii «oricare» (∀) și «există» (∃) →

3. Propoziția $p$ este falsă, iar $q$ este adevărată. Ce valoare de adevăr are $p\vee q$?

   • a) adevărată
   • b) falsă
   • c) depinde de ordinea propozițiilor
   • d) nu se poate stabili
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) adevărată

   Disjuncția este falsă doar dacă amândouă propozițiile sunt false. Aici $q$ este adevărată, deci $p\vee q$ este adevărată.

   Lecția: Disjuncția: propoziții legate prin «sau» →

4. Când este adevărată propoziția $p\iff q$?

   • a) Doar când amândouă sunt adevărate.
   • b) Când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr.
   • c) Când cel puțin una este adevărată.
   • d) Când valorile lor de adevăr sunt diferite.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr.

   Echivalența este adevărată pe două linii: $1\iff 1$ și $0\iff 0$. Varianta a) descrie conjuncția, c) disjuncția, iar d) este exact contrariul echivalenței.

   Lecția: Echivalența «dacă și numai dacă» →

5. În care dintre situații implicația $p\Rightarrow q$ este falsă?

   • a) $p$ adevărată, $q$ adevărată
   • b) $p$ adevărată, $q$ falsă
   • c) $p$ falsă, $q$ adevărată
   • d) $p$ falsă, $q$ falsă
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $p$ adevărată, $q$ falsă

   Implicația cade doar când pornești de la ceva adevărat și ajungi la ceva fals — asta ar însemna un raționament greșit. În celelalte trei cazuri implicația este adevărată.

   Lecția: Implicația «dacă…, atunci…» →

6. Care este negația propoziției «$\forall x\in \mathbb{R},p(x)$»?

   • a) $\forall x\in \mathbb{R},\neg p(x)$
   • b) $\exists x\in \mathbb{R}$ astfel încât $\neg p(x)$
   • c) $\exists x\in \mathbb{R}$ astfel încât $p(x)$
   • d) $\forall x\in \mathbb{R},p(x)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\exists x\in \mathbb{R}$ astfel încât $\neg p(x)$

   Negația lui «pentru orice» este «există cel puțin unul pentru care nu». Varianta a) spune că predicatul nu se verifică pentru niciun $x$ — mult mai mult decât cere negația.

   Lecția: Negarea propozițiilor cu cuantificatori →

7. Fie $p$: «Numărul $12$ este divizibil cu $5$». Care propoziție este $\neg p$?

   • a) «$12$ nu este divizibil cu $5$»
   • b) «$12$ este divizibil cu $4$»
   • c) «$5$ nu este divizibil cu $12$»
   • d) «$12$ este divizibil cu $10$»
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) «$12$ nu este divizibil cu $5$»

   Negația păstrează subiectul și adaugă «nu»: «$12$ nu este divizibil cu $5$». Variantele b) și d) vorbesc despre alți divizori, iar c) inversează rolurile numerelor — niciuna nu este negația lui $p$. Observă că $p$ este falsă, deci $\neg p$ este adevărată.

   Lecția: Negația unei propoziții →

8. Care dintre următoarele enunțuri este predicat (nu propoziție)?

   • a) «$5+2=7$»
   • b) «$x+3=10$»
   • c) «$3$ este număr prim»
   • d) «$2^3=8$»
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) «$x+3=10$»

   Doar b) conține o variabilă: până nu știm cine este $x$, nu putem spune dacă enunțul este adevărat sau fals. Celelalte trei au valoare de adevăr fixă (toate trei sunt adevărate), deci sunt propoziții.

   Lecția: Predicate și variabile →

9. Care dintre următoarele enunțuri nu este propoziție logică?

   • a) «$5$ este număr prim»
   • b) «Câți ani ai?»
   • c) «$2+2=5$»
   • d) «București este capitala României»
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) «Câți ani ai?»

   O întrebare nu poate fi nici adevărată, nici falsă, deci nu este propoziție logică. Celelalte trei sunt propoziții: a) și d) sunt adevărate, c) este falsă — dar și un enunț fals este propoziție.

   Lecția: Propoziția logică și valoarea ei de adevăr →

10. Care este negația enunțului $p\wedge q$?

    • a) $\neg p\wedge \neg q$
    • b) $\neg p\vee \neg q$
    • c) $p\vee q$
    • d) $\neg p\Rightarrow q$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $\neg p\vee \neg q$

    Legea lui De Morgan: negi fiecare parte și schimbi «și» în «sau». Varianta a) este negația lui $p\vee q$, nu a conjuncției: ea ar cere ca amândouă să fie false, dar conjuncția cade și dacă doar una este falsă.

    Lecția: Reguli de negare: legile lui De Morgan →

11. Câte linii are tabelul de adevăr al unui enunț format din $3$ propoziții simple?

    • a) $6$
    • b) $8$
    • c) $9$
    • d) $12$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $8$

    Fiecare propoziție are $2$ valori posibile, iar combinațiile se înmulțesc: $2\cdot 2\cdot 2=2^3=8$ linii. Greșeala tipică este $3\cdot 2=6$ sau $3^2=9$.

    Lecția: Tabelul de adevăr al unui enunț compus →

12. Se știe că propoziția «Dacă plouă, atunci strada este udă» este adevărată și că strada este udă. Ce se poate conchide sigur?

    • a) Sigur plouă.
    • b) Sigur nu plouă.
    • c) Nu se poate stabili dacă plouă.
    • d) Implicația dată este falsă.
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) Nu se poate stabili dacă plouă.

    Din $p\Rightarrow q$ și $q$ nu rezultă $p$ — ar însemna să folosim reciproca, care nu a fost dată. Strada poate fi udă și din alt motiv. Regula validă merge în celălalt sens: din $p\Rightarrow q$ și $p$ rezultă $q$.

    Lecția: Validarea logică a pașilor unui raționament →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.