Exerciții rezolvate — Linii importante în triunghi și triunghiuri particulare (clasa a VI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Linii importante în triunghi și triunghiuri particulare", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Punctul $Q$ se află pe bisectoarea unghiului $\widehat{mOn}$. Distanța de la $Q$ la latura $Om$ este $7,4$ cm. Cât este distanța de la $Q$ la latura $On$?

   • a) $3,7$ cm
   • b) $7,4$ cm
   • c) $14,8$ cm
   • d) Nu se poate afla fără alte date
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $7,4$ cm

   Proprietatea bisectoarei spune că orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de cele două laturi ale unghiului. Deci distanța de la $Q$ la $On$ este egală cu distanța de la $Q$ la $Om$, adică $7,4$ cm.

   Lecția: Bisectoarele unui triunghi. Cercul înscris →

2. Într-un triunghi obtuzunghic, care dintre punctele $G$, $I$, $O$, $H$ se pot afla în exteriorul triunghiului?

   • a) $G$ și $I$
   • b) $O$ și $H$
   • c) doar $G$
   • d) niciunul, toate rămân în interior
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $O$ și $H$

   Centrul de greutate $G$ (punctul de echilibru) și centrul cercului înscris $I$ sunt mereu în interior, indiferent de forma triunghiului. În schimb, centrul cercului circumscris $O$ și ortocentrul $H$ ies în exteriorul triunghiului atunci când acesta este obtuzunghic.

   Lecția: Liniile importante în triunghi — recapitulare și probleme →

3. În triunghiul $DEF$, se construiește înălțimea din vârful $D$. Pe ce dreaptă cade piciorul acestei înălțimi?

   • a) Pe dreapta $DE$
   • b) Pe dreapta $DF$
   • c) Pe dreapta $EF$
   • d) Pe oricare dintre cele trei laturi, la alegere
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Pe dreapta $EF$

   Înălțimea dintr-un vârf cade întotdeauna pe dreapta care conține latura opusă acelui vârf. Latura opusă lui $D$ este $EF$ (singura care nu trece prin $D$), deci piciorul înălțimii se află pe dreapta $EF$.

   Lecția: Înălțimile unui triunghi. Ortocentrul →

4. În triunghiul $DEF$, punctul $R$ este situat pe latura $DF$ astfel încât $DR=RF$. Segmentul $ER$ este mediană? Din ce vârf?

   • a) Nu, $ER$ nu este mediană, deoarece nu pleacă dintr-un vârf spre mijlocul laturii opuse.
   • b) Da, $ER$ este mediana din vârful $E$, deoarece $R$ este mijlocul laturii opuse $DF$.
   • c) Da, $ER$ este mediana din vârful $D$, deoarece unește $D$ cu un punct de pe $DF$.
   • d) Nu se poate ști, fiindcă nu cunoaștem lungimile laturilor triunghiului.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Da, $ER$ este mediana din vârful $E$, deoarece $R$ este mijlocul laturii opuse $DF$.

   Condiția $DR=RF$ arată că $R$ este exact mijlocul laturii $DF$. Segmentul $ER$ unește vârful $E$ cu mijlocul laturii opuse lui, adică $DF$, deci $ER$ este mediană — anume mediana din vârful $E$.

   Lecția: Medianele unui triunghi. Centrul de greutate →

5. Punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $XYZ$. Care dintre următoarele afirmații este corectă?

   • a) $O$ este egal depărtat de laturile triunghiului
   • b) $O$ este egal depărtat de vârfurile triunghiului
   • c) $O$ se află întotdeauna în interiorul triunghiului
   • d) $O$ este punctul de concurență al bisectoarelor
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $O$ este egal depărtat de vârfurile triunghiului

   Centrul cercului circumscris este punctul de concurență al mediatoarelor, deci satisface $OX=OY=OZ$ — este egal depărtat de vârfuri, nu de laturi. Egal depărtat de laturi este centrul cercului înscris (concurența bisectoarelor). Poziția lui $O$ nu este mereu în interior: depinde dacă triunghiul e ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic.

   Lecția: Mediatoarele unui triunghi. Cercul circumscris →

6. Care dintre următoarele triplete de numere naturale nu este un triplet pitagoreic (adică nu verifică $a^2+b^2=c^2$)?

   • a) $(12,35,37)$
   • b) $(9,12,16)$
   • c) $(10,24,26)$
   • d) $(7,24,25)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $(9,12,16)$

   Verificăm $(9,12,16)$: cel mai mare este $16$, iar $9^2+12^2=81+144=225$, în timp ce $16^2=256$. Cum $225\ne 256$, nu este triplet pitagoreic. Celelalte sunt corecte: $12^2+35^2=37^2$, $10^2+24^2=26^2$, $7^2+24^2=25^2$.

   Lecția: Teorema lui Pitagora (fără demonstrație) →

7. În triunghiul $MNP$, dreptunghic în $M$, unghiul $N$ are $42°$. Cât are unghiul $P$?

   • a) $38°$
   • b) $42°$
   • c) $48°$
   • d) $58°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $48°$

   Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare: $m(\sphericalangle N)+m(\sphericalangle P)=90°$. Deci $m(\sphericalangle P)=90°-42°=48°$.

   Lecția: Triunghiul dreptunghic. Proprietăți →

8. Triunghiul $XYZ$ este echilateral. Ce măsură are unghiul $\hat{Y}$?

   • a) $45°$
   • b) $60°$
   • c) $90°$
   • d) $120°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $60°$

   Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt egale, iar suma lor este $180°$. Deci fiecare unghi are $180°:3=60°$, indiferent cum se numesc vârfurile.

   Lecția: Triunghiul echilateral. Proprietăți →

9. Triunghiul isoscel $XYZ$ are $XY=XZ$ și unghiul de la vârf $\hat{X}=76°$. Cât măsoară fiecare unghi de la bază?

   • a) $52°$
   • b) $76°$
   • c) $104°$
   • d) $38°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $52°$

   Unghiurile de la bază sunt egale, notate $b$. Din $v+2b=180°$ obținem $2b=180°-76°=104°$, deci $b=104°:2=52°$. Răspuns corect: a.

   Lecția: Triunghiul isoscel. Proprietăți →

10. În triunghiul $ABC$, $m(\hat{B})=44°$ și $m(\hat{C})=66°$. Bisectoarele din $B$ și din $C$ se întâlnesc în $I$. Cât este $m(\widehat{BIC})$?

    • a) $55°$
    • b) $110°$
    • c) $125°$
    • d) $145°$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $125°$

    $BI$ este bisectoarea lui $\hat{B}$, deci $m(\widehat{IBC})=\frac{44°}{2}=22°$. $CI$ este bisectoarea lui $\hat{C}$, deci $m(\widehat{ICB})=\frac{66°}{2}=33°$. În triunghiul $BIC$, suma unghiurilor este $180°$, deci $m(\widehat{BIC})=180°-22°-33°=125°$. Verificare: $m(\hat{A})=180°-44°-66°=70°$, iar $90°+\frac{70°}{2}=125°$.

    Lecția: Bisectoarele unui triunghi. Cercul înscris →

11. Triunghiul $DEF$ este dreptunghic în $E$, cu ipotenuza $DF=22$ cm. Unde se află centrul cercului circumscris $O$ și cât este raza cercului circumscris?

    • a) $O$ este în interior, iar $R=11$ cm
    • b) $O$ este pe mijlocul ipotenuzei $DF$, iar $R=22$ cm
    • c) $O$ este pe mijlocul ipotenuzei $DF$, iar $R=11$ cm
    • d) $O$ este în exterior, iar $R=11$ cm
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $O$ este pe mijlocul ipotenuzei $DF$, iar $R=11$ cm

    Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris se află exact pe mijlocul ipotenuzei. Raza este distanța de la $O$ la un vârf, adică $R=\frac{DF}{2}=\frac{22}{2}=11$ cm.

    Lecția: Liniile importante în triunghi — recapitulare și probleme →

12. Un triunghi are un unghi de $105°$. Unde se află ortocentrul acestui triunghi?

    • a) În interiorul triunghiului
    • b) Exact în vârful unghiului de $105°$
    • c) În exteriorul triunghiului
    • d) Triunghiul nu are ortocentru
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) În exteriorul triunghiului

    Un unghi de $105°$ este obtuz (mai mare de $90°$), deci triunghiul este obtuzunghic. La orice triunghi obtuzunghic, ortocentrul se află în exteriorul triunghiului, iar picioarele a două înălțimi cad pe prelungirile laturilor.

    Lecția: Înălțimile unui triunghi. Ortocentrul →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.