Formule: Corpuri geometrice

Ariile și volumele tuturor corpurilor din gimnaziu: de la cub la sferă, cu exemple calculate pas cu pas. 11 formule, clasele 5–8.

Cubul: aria și volumul — clasa 5
Cubul: diagonala — clasa 8
Paralelipipedul dreptunghic: aria și volumul — clasa 5
Paralelipipedul dreptunghic: diagonala — clasa 8
Prisma dreaptă — clasa 8
Piramida regulată — clasa 8
Trunchiul de piramidă — clasa 8
Cilindrul circular drept — clasa 8
Conul circular drept — clasa 8
Trunchiul de con — clasa 8
Sfera — clasa 8

Cubul: aria și volumul — clasa 5

A_{t} = 6 l^{2}, V = l^{3}

$l$ este muchia cubului — toate cele 12 muchii sunt egale. $A_{t}$ este aria totală, adică suma ariilor celor 6 fețe pătrate, iar $V$ este volumul, spațiul ocupat de cub. Atenție: aria se măsoară în unități pătrate (de exemplu $cm^{2}$ ), iar volumul în unități cubice ( $cm^{3}$ ).

Exemplu: Un cub are muchia $l = 3 cm$ . O față are aria $l^{2} = 3 \cdot 3 = 9 cm^{2}$ , deci $A_{t} = 6 \cdot 9 = 54 cm^{2}$ . Volumul: $V = l^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 cm^{3}$ .

Cubul: diagonala — clasa 8

d = l 3

$l$ este muchia cubului, iar $d$ este diagonala cubului — segmentul care unește două vârfuri opuse, trecând prin interiorul cubului. Formula vine din teorema lui Pitagora aplicată în spațiu: $d^{2} = l^{2} + l^{2} + l^{2} = 3 l^{2}$ . Capcană: nu o confunda cu diagonala unei fețe, care este $l 2$ .

Exemplu: Pentru $l = 2$ : $d^{2} = 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 12$ , deci $d = 12 = 23 \approx 3, 46$ . • Invers: dacă $d = 6$ , atunci $l = \frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23$ .

Paralelipipedul dreptunghic: aria și volumul — clasa 5

A_{t} = 2 (ab + b c + c a), V = a \cdot b \cdot c

$a$ , $b$ , $c$ sunt cele trei dimensiuni ale cutiei: lungimea, lățimea și înălțimea. $A_{t}$ adună ariile celor 6 fețe dreptunghiulare (egale două câte două), iar $V$ arată cât spațiu încape în cutie. Capcană: la arie nu uita să înmulțești paranteza cu 2!

Exemplu: O cutie are dimensiunile $a = 2$ , $b = 3$ , $c = 6$ (în cm). Volumul: $V = 2 \cdot 3 \cdot 6 = 36 cm^{3}$ . Aria: $ab + b c + c a = 6 + 18 + 12 = 36$ , deci $A_{t} = 2 \cdot 36 = 72 cm^{2}$ .

Paralelipipedul dreptunghic: diagonala — clasa 8

d = a^{2} + b^{2} + c^{2}

$a$ , $b$ , $c$ sunt dimensiunile paralelipipedului dreptunghic, iar $d$ este diagonala lui — segmentul dintre două vârfuri opuse. Formula este „Pitagora în spațiu”: aduni pătratele celor trei dimensiuni și extragi radicalul. Dacă $a = b = c = l$ , regăsești diagonala cubului: $d = l 3$ .

Exemplu: Pentru $a = 2$ , $b = 3$ , $c = 6$ : $d = 2^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 4 + 9 + 36 = 49 = 7$ . • Pentru $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 2$ : $d = 1 + 4 + 4 = 9 = 3$ .

Prisma dreaptă — clasa 8

A_{l} = P_{b} \cdot h, A_{t} = A_{l} + 2 A_{b}, V = A_{b} \cdot h

$P_{b}$ este perimetrul bazei, $A_{b}$ aria bazei, iar $h$ înălțimea prismei (egală cu muchia laterală, pentru că prisma este dreaptă). $A_{l}$ este aria laterală, formată din dreptunghiuri, iar $A_{t}$ adaugă și cele două baze. Formulele funcționează pentru orice formă a bazei: triunghi, pătrat, hexagon.

Exemplu: O prismă dreaptă are baza un triunghi dreptunghic cu catetele $3$ și $4$ și ipotenuza $5$ , iar $h = 10$ . Baza: $P_{b} = 3 + 4 + 5 = 12$ și $A_{b} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ . Atunci $A_{l} = 12 \cdot 10 = 120$ , $A_{t} = 120 + 2 \cdot 6 = 132$ și $V = 6 \cdot 10 = 60$ .

Piramida regulată — clasa 8

A_{l} = \frac{P _{b} \cdot a _{p}}{2}, A_{t} = A_{l} + A_{b}, V = \frac{A _{b} \cdot h}{3}

$P_{b}$ este perimetrul bazei, $A_{b}$ aria bazei, $h$ înălțimea piramidei, iar $a_{p}$ apotema piramidei — înălțimea unei fețe laterale (triunghi isoscel). Legătura dintre ele: $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ , unde $a_{b}$ este apotema bazei. Capcană: la volum se împarte la 3, nu la 2!

Exemplu: O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $6$ și înălțimea $h = 4$ . Apotema bazei: $a_{b} = 6 : 2 = 3$ , deci $a_{p} = 4^{2} + 3^{2} = 25 = 5$ . Atunci $A_{l} = \frac{24 \cdot 5}{2} = 60$ , $A_{t} = 60 + 36 = 96$ și $V = \frac{36 \cdot 4}{3} = 48$ .

Trunchiul de piramidă — clasa 8

A_{l} = \frac{( P _{B} + P _{b} ) \cdot a _{t}}{2}, V = \frac{h}{3} (A_{B} + A_{b} + A_{B} \cdot A_{b})

$P_{B}$ și $A_{B}$ sunt perimetrul și aria bazei mari, $P_{b}$ și $A_{b}$ ale bazei mici, $h$ este înălțimea trunchiului, iar $a_{t}$ apotema trunchiului — înălțimea unei fețe laterale, care este trapez isoscel. Trunchiul se obține tăind vârful unei piramide cu un plan paralel cu baza. Capcană: nu uita termenul $A_{B} \cdot A_{b}$ din formula volumului!

Exemplu: Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor $8$ și $2$ , iar $h = 4$ . Ariile bazelor: $A_{B} = 64$ , $A_{b} = 4$ și $64 \cdot 4 = 16$ , deci $V = \frac{4}{3} (64 + 4 + 16) = \frac{4 \cdot 84}{3} = 112$ . Apotema: diferența apotemelor bazelor este $4 - 1 = 3$ , deci $a_{t} = 4^{2} + 3^{2} = 5$ și $A_{l} = \frac{( 32 + 8 ) \cdot 5}{2} = 100$ .

Cilindrul circular drept — clasa 8

A_{l} = 2 π r \cdot G, A_{t} = 2 π r (G + r), V = π r^{2} \cdot h

$r$ este raza bazei, $h$ înălțimea, iar $G$ generatoarea — segmentul de pe suprafața laterală, paralel cu axa; la cilindrul drept $G = h$ . Desfășurată, suprafața laterală este un dreptunghi cu dimensiunile $2 π r$ (lungimea cercului bazei) și $G$ . $A_{t}$ adaugă cele două discuri de la baze.

Exemplu: Pentru $r = 3$ și $h = G = 5$ : $A_{l} = 2 π \cdot 3 \cdot 5 = 30 π$ , $A_{t} = 2 π \cdot 3 \cdot (5 + 3) = 48 π$ și $V = π \cdot 3^{2} \cdot 5 = 45 π$ .

Conul circular drept — clasa 8

A_{l} = π r \cdot G, A_{t} = π r (G + r), V = \frac{π r ^{2} \cdot h}{3}

$r$ este raza bazei, $h$ înălțimea, iar $G$ generatoarea — segmentul din vârful conului până la un punct de pe cercul bazei. Cele trei sunt legate prin teorema lui Pitagora: $G^{2} = h^{2} + r^{2}$ . Capcană: în formula volumului apare $h$ , iar în arii apare $G$ — nu le încurca!

Exemplu: Pentru $r = 3$ și $h = 4$ : $G = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ . Atunci $A_{l} = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π$ , $A_{t} = π \cdot 3 \cdot (5 + 3) = 24 π$ și $V = \frac{π \cdot 9 \cdot 4}{3} = 12 π$ .

Trunchiul de con — clasa 8

A_{l} = π G (R + r), V = \frac{π h}{3} (R^{2} + r^{2} + R r)

$R$ este raza bazei mari, $r$ raza bazei mici, $h$ înălțimea, iar $G$ generatoarea trunchiului; ele sunt legate prin $G^{2} = h^{2} + (R - r)^{2}$ . Trunchiul apare când tai vârful unui con cu un plan paralel cu baza. Observă asemănarea cu formula volumului trunchiului de piramidă: $R^{2}$ , $r^{2}$ și $R r$ joacă rolul celor două arii și al radicalului.

Exemplu: Pentru $R = 5$ , $r = 2$ și $h = 4$ : $G = 4^{2} + (5 - 2)^{2} = 16 + 9 = 5$ . Atunci $A_{l} = π \cdot 5 \cdot (5 + 2) = 35 π$ și $V = \frac{π \cdot 4}{3} (25 + 4 + 10) = \frac{4 \cdot 39 π}{3} = 52 π$ .

Sfera — clasa 8

A = 4 π R^{2}, V = \frac{4 π R ^{3}}{3}

$R$ este raza sferei, $A$ aria suprafeței sferice, iar $V$ volumul bilei. Sfera nu se poate desfășura în plan, deci nu are arie laterală separată — doar aria totală $4 π R^{2}$ , exact cât patru discuri de rază $R$ . Capcană: la arie raza este la pătrat, la volum la cub.

Exemplu: Pentru $R = 3$ : $A = 4 π \cdot 3^{2} = 36 π$ și $V = \frac{4 π \cdot 3 ^{3}}{3} = \frac{4 π \cdot 27}{3} = 36 π$ — la $R = 3$ aria și volumul au, frumos, aceeași valoare numerică. • Pentru $R = 6$ : $V = \frac{4 π \cdot 216}{3} = 288 π$ .