Formule: Geometrie analitică în spațiu

Coordonate în spațiu: distanța dintre două puncte, ecuația planului, pozițiile a două plane, coplanaritatea și volumul tetraedrului. 6 formule, clasa 12.

La liceu: ești la mate-info sau la științe ale naturii? Alege profilul și listele de liceu îl arată doar pe al tău.Profilul tău la liceu (listele de liceu arată doar ce e pentru el):

Formulele tale M2 sunt primele, imediat mai jos: Pentru științe ale naturii (M2) ↓

Pentru științe ale naturii (M2)

Cele 6 formule de mai jos sunt folosite de elevii de la profilul științe ale naturii (programa M2), în clasa a XII-a; lecțiile lor sunt pe traseul M2 al clasei a XII-a.

Distanța dintre două puncte în spațiu M2 — clasa 12
Condiția de coplanaritate a patru puncte M2 — clasa 12
Volumul tetraedrului cu determinant M2 — clasa 12
Ecuația generală a planului și vectorul normal M2 — clasa 12
Planul determinat de trei puncte necoliniare M2 — clasa 12
Pozițiile relative a două plane M2 — clasa 12

Distanța dintre două puncte în spațiu M2 — clasa 12

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}

Cele două puncte se închid ca vârfuri opuse într-o cutie cu fețele paralele cu planele reperului, iar teorema lui Pitagora se aplică de două ori. Din care punct scazi nu contează, fiindcă diferențele intră la pătrat. Ține pătratul lungimii până la ultimul rând și scoate radicalul o singură dată: cu coordonate întregi, comparațiile se fac fără rotunjiri. Până la un plan al reperului rămâne modulul unei singure coordonate, dar până la o axă rămân două pătrate sub radical — acolo se greșește cel mai des.

Exemplu: Pentru $A (1, - 2, 3)$ și $B (4, 2, 3)$ : $A B = 3^{2} + 4^{2} + 0^{2} = 5$ . Distanța de la $A$ la axa $O z$ este $1^{2} + (- 2)^{2} = 5$ , nu $∣ 3 ∣$ .

Condiția de coplanaritate a patru puncte M2 — clasa 12

x_{A} x_{B} x_{C} x_{D} y_{A} y_{B} y_{C} y_{D} z_{A} z_{B} z_{C} z_{D} 1111 = 0

Coloana de $1$ ține locul termenului liber din ecuația unui plan; fără ea, determinantul de ordinul al treilea ar răspunde la altă întrebare — dacă planul celor trei puncte trece prin origine. Ordinea punctelor nu clintește verdictul, fiindcă schimbarea a două rânduri atinge numai semnul. Determinantul se anulează și când două puncte coincid, sau când trei dintre ele sunt coliniare: cazurile acelea se înlătură separat, înainte de concluzie.

Exemplu: Scăzând primul rând din celelalte, coloana de $1$ dă trei zerouri și rămâne un singur determinant de ordinul al treilea, format din diferențe — de aceea se alege drept prim punct cel cu cele mai multe zerouri, adesea originea.

Volumul tetraedrului cu determinant M2 — clasa 12

V = \frac{1}{6} x_{A} x_{B} x_{C} x_{D} y_{A} y_{B} y_{C} y_{D} z_{A} z_{B} z_{C} z_{D} 1111

Numitorul $6$ vine din două locuri: treimea o dă formula piramidei, iar jumătatea aria triunghiului de la bază. Volumul nu se scrie niciodată cu minus — semnul determinantului ține doar de ordinea în care ai numerotat vârfurile și este înghițit de modul. Un determinant nul înseamnă că nu există corp, punctele fiind coplanare, iar controlul acesta se face înaintea calculului. Cele trei axe trebuie gradate la fel, iar răspunsul poartă unitatea la puterea a treia.

Exemplu: Pentru $O (0, 0, 0)$ , $A (3, 0, 0)$ , $B (0, 4, 0)$ , $C (0, 0, 5)$ determinantul este $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ , deci $V = 10$ .

Ecuația generală a planului și vectorul normal M2 — clasa 12

a x + b y + cz + d = 0, (a, b, c) \neq = (0, 0, 0), n (a, b, c) ⊥ π

Cerința ca $a$ , $b$ , $c$ să nu fie toate nule nu este o formalitate: fără ea, egalitatea ar descrie ori mulțimea vidă, ori tot spațiul. Tripletul coeficienților fixează înclinarea, iar $d$ doar mută planul, fără să-l rotească — de aici rețeta planului paralel cu unul dat: copiezi $a$ , $b$ , $c$ și recalculezi $d$ din punctul impus. Semnul valorii $a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d$ arată în care dintre cele două semispații a nimerit punctul. Același plan are o infinitate de ecuații, toate proporționale între ele.

Exemplu: Planul paralel cu $3 x + 5 y - 2 z + 7 = 0$ care trece prin $A (1, 2, - 3)$ este $3 x + 5 y - 2 z + d = 0$ cu $3 + 10 + 6 + d = 0$ , adică $3 x + 5 y - 2 z - 19 = 0$ .

Planul determinat de trei puncte necoliniare M2 — clasa 12

x x_{A} x_{B} x_{C} y y_{A} y_{B} y_{C} z z_{A} z_{B} z_{C} 1111 = 0

Primul rând poartă punctul mobil, iar celelalte trei punctele date; dezvoltarea după rândul de sus dă chiar ecuația de gradul întâi a planului. Cuvântul necoliniare nu este pus de formă: pe o dreaptă se pot sprijini oricâte plane, iar dacă cele trei puncte sunt aliniate toți coeficienții ies nuli. A doua cale, la fel de bună, cere ca fiecare vârf să verifice forma generală: ies trei egalități cu patru coeficienți, iar unul dintre ei se fixează comod.

Exemplu: Dacă unul dintre cele trei puncte este chiar originea, atunci $d = 0$ , iar normalizarea cade pe alt coeficient.

Pozițiile relative a două plane M2 — clasa 12

(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = k (a_{1}, b_{1}, c_{1}), k \neq = 0 : d_{2} = k d_{1} \Rightarrow confundate, d_{2} \neq = k d_{1} \Rightarrow paralele niciun asemenea k \Rightarrow secante, dup \overset{a}{˘} o dreapt \overset{a}{˘}

Variantele sunt numai trei: două plane se taie după o dreaptă, nu se ating deloc sau sunt una și aceeași suprafață scrisă de două ori; „se ating într-un punct” nu apare, fiindcă trei necunoscute și două egalități lasă mereu un grad de libertate. Proporționalitatea se verifică loc cu loc, nu ca șir de rapoarte, tocmai fiindcă un numitor se poate anula: un zero nu se potrivește decât iarăși cu un zero. Intersecția se scrie cu un parametru, nu cu un singur punct luat de pe ea.

Exemplu: $2 x - y + 3 z - 1 = 0$ și $4 x - 2 y + 6 z + 5 = 0$ : al doilea triplet de coeficienți este $k = 2$ ori primul, dar $k d_{1} = - 2 \neq = 5 = d_{2}$ , deci planele sunt paralele, fără niciun punct comun.