Ecuația generală a planului și vectorul normal: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Geometrie analitică în spațiu, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XII-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Geometrie analitică în spațiu”.

Cerința ca $a$, $b$, $c$ să nu fie toate nule nu este o formalitate: fără ea, egalitatea ar descrie ori mulțimea vidă, ori tot spațiul. Tripletul coeficienților fixează înclinarea, iar $d$ doar mută planul, fără să-l rotească — de aici rețeta planului paralel cu unul dat: copiezi $a$, $b$, $c$ și recalculezi $d$ din punctul impus. Semnul valorii $a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d$ arată în care dintre cele două semispații a nimerit punctul. Același plan are o infinitate de ecuații, toate proporționale între ele.

Exemplu: Planul paralel cu $3x+5y-2z+7=0$ care trece prin $A(1,2,-3)$ este $3x+5y-2z+d=0$ cu $3+10+6+d=0$, adică $3x+5y-2z-19=0$.