Ce spun diagonalele despre un patrulater?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Semnăturile diagonalelor și linia mijlocie

Ele îl dau de gol. Dacă se taie la mijlocul fiecăreia, figura este paralelogram. Dacă pe lângă asta au și lungimi egale, este dreptunghi; dacă se întâlnesc sub unghi drept, este romb; dacă le au pe amândouă, este pătrat. La trapez, diagonale egale înseamnă trapez isoscel. Verificarea se face pe proprietăți, nu după cum arată desenul, care poate înșela ochiul.

Fiecare patrulater special are o „semnătură” la diagonale: dacă se înjumătățesc, ai un paralelogram; dacă sunt și congruente, e dreptunghi; dacă sunt și perpendiculare, e romb; dacă au ambele proprietăți, e pătrat. La trapez, unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele sunt suplementare (adună $180°$ ), iar la trapezul isoscel diagonalele sunt congruente și unghiurile de la aceeași bază sunt egale.

Cea mai folosită formulă e linia mijlocie: $ℓ_{m} = \frac{B + b}{2}$ .

Exemplu minimal: un trapez are bazele $10$ cm și $18$ cm, deci $ℓ_{m} = \frac{10 + 18}{2} = 14$ cm.

În probleme, nu te lua după cum „arată” figura la desen — verifică proprietatea și abia apoi trage concluzia, justificând mereu cu un „deoarece”.

De reținut

diagonale care se înjumătățesc → paralelogram
în plus, congruente → dreptunghi; perpendiculare → romb
amândouă condițiile → pătrat
la trapez, diagonale congruente → trapez isoscel

Greșeala tipică

Se trage concluzia din felul în care arată figura pe hârtie. Un patrulater este ceea ce se poate demonstra, așa că se verifică laturile, unghiurile și diagonalele înainte de a-i da un nume.

Exerciții din această mini-lecție

Paralelogramul $M N P Q$ are diagonalele perpendiculare, dar nu congruente. Ce fel de patrulater este $M N P Q$ ?
- a) Dreptunghi
- b) Romb
- c) Pătrat
- d) Trapez isoscel
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Romb

Diagonale perpendiculare într-un paralelogram sunt exact semnătura rombului. Pentru pătrat ar fi trebuit ca diagonalele să fie și congruente, ceea ce nu e cazul aici.
Paralelogramul $R S T U$ are diagonalele congruente, dar neperpendiculare. Ce fel de patrulater este $R S T U$ ?
- a) Dreptunghi
- b) Romb
- c) Pătrat
- d) Trapez isoscel
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Dreptunghi

Diagonale congruente într-un paralelogram sunt exact semnătura dreptunghiului. Pentru pătrat ar fi trebuit ca diagonalele să fie și perpendiculare, ceea ce nu e cazul aici.
Un trapez are bazele de $15$ cm și $31$ cm. Cât măsoară linia mijlocie?
- a) $13$ cm
- b) $23$ cm
- c) $46$ cm
- d) $33$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $23$ cm

Se aplică formula $ℓ_{m} = \frac{B + b}{2} = \frac{31 + 15}{2} = \frac{46}{2} = 23$ cm. Dacă uiți să împarți la $2$ , obții greșit $46$ cm (varianta c).

Întrebări conexe

Ce linie mijlocie are un dreptunghi?

Termenul „linie mijlocie” se folosește la triunghi și la trapez, iar dreptunghiul nu este trapez, fiindcă are două perechi de laturi paralele. Segmentul care unește mijloacele a două laturi opuse există totuși și este paralel cu celelalte două, având exact lungimea lor: la un dreptunghi de 12 pe 5, cel dintre mijloacele laturilor scurte măsoară 12.

Ce unghiuri adună 180 de grade într-un trapez?

Cele așezate pe aceeași latură înclinată, adică unul de la baza mare și cel de deasupra lui. Sunt unghiuri interne de aceeași parte a unei secante care taie două paralele, deci sunt suplementare, oricare ar fi trapezul.

Cum deosebesc rombul de pătrat?

Amândouă au patru laturi egale și diagonale perpendiculare, dar pătratul are în plus unghiuri drepte, deci și diagonale de aceeași lungime. Un romb turtit rămâne romb; devine pătrat abia când diagonalele lui ajung egale.

Ce este un trapez dreptunghic?

Un trapez cu o latură înclinată perpendiculară pe baze, deci cu două unghiuri drepte alăturate. Latura aceea este chiar înălțimea figurii, ceea ce scurtează mult calculul ariei, fiindcă nu mai trebuie coborâtă nicio perpendiculară.

De ce un desen nu este de ajuns ca demonstrație?

Fiindcă mâna și ochiul greșesc: două laturi pot părea egale fără să fie, iar un unghi poate părea drept la 88 de grade. O figură este ceea ce se poate dovedi cu proprietăți, iar desenul rămâne doar un ajutor pentru gândire.

Ce patrulater are diagonalele perpendiculare, dar nu egale?

Rombul, atunci când nu este pătrat. Diagonalele lui se taie sub unghi drept și se înjumătățesc, însă au lungimi diferite. Tot perpendiculare, fără să fie egale, sunt și diagonalele unui zmeu, care nu se înjumătățesc însă amândouă.

Oamenii mai întreabă și: diagonalele patrulaterelor · cum recunosc un patrulater · semnătura diagonalelor · paralelogram dreptunghi romb pătrat · trapez isoscel diagonale