Rezistența unui fir conductor cu lungimea $$L$$, diametrul $$d$$ și rezistivitatea $$\rho$$ este $$R = \dfrac{4\rho L}{\pi d^2}$$, toate mărimile fiind pozitive. Care este expresia lui $$\lg R$$?

$$\lg 4 + \lg \rho + \lg L - \lg \pi - 2\lg d$$

$$\lg 4 + \lg \rho + \lg L - \lg \pi + 2\lg d$$

$$\lg 4 + \lg \rho + \lg L - \lg \pi - \lg d$$

$$\lg 4 \cdot \lg \rho \cdot \lg L - \lg \pi - 2\lg d$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Logaritmarea unei legi de putere

Cum prevăd timpul unei lucrări cu logaritmi?

Dacă timpul urmează legea $T = T_{1} n^{a}$ , cu $n$ numărul repetării, logaritmezi: $l g T$ este suma dintre $l g T_{1}$ și $a l g n$ . Apoi potențiezi. Pentru $T_{1} = 60$ h, $a = - 0, 3$ și $n = 100$ : $l g T = 1, 77815 - 0, 6 = 1, 17815$ , deci $T = 1 0^{1, 17815} \approx 15, 1$ h. Verifici sensul: exponentul este negativ, timpul scade de la o repetare la alta, deci $T < T_{1}$ , iar 15,1 h este mai mic decât 60 h.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Logaritmarea înseamnă să scrii logaritmul unei expresii cu mărimi pozitive și să-l desfaci termen cu termen. Produsul devine sumă, câtul devine diferență, iar puterea coboară exponentul în față: $l g (k x^{a}) = l g k + a l g x$ . Operația inversă, potențierea, te întoarce la număr ridicând 10 la valoarea găsită.

Utilitatea apare la legile de putere $y = k x^{a}$ , unde exponentul nu se vede direct din măsurători. Scrii legea pentru două măsurători, scazi logaritmii și împarți: exponentul este câtul dintre logaritmul raportului valorilor lui $y$ și logaritmul raportului valorilor lui $x$ . Cu exponentul găsit prevezi o valoare nouă: aduni la logaritmul vechi produsul dintre exponent și logaritmul raportului, apoi potențiezi.

Aceeași unealtă compară numere uriașe și numără cifrele lor. Un număr are cu 1 mai multe cifre decât partea întreagă a logaritmului său. Păstrezi cinci zecimale la logaritmi și rotunjești o singură dată, la final.

Atenție la două lucruri: nu există regulă pentru logaritmul unei sume, iar un număr de pași sau de ani se rotunjește în sus. Verifici revenind la valoarea măsurată: cu exponentul găsit, a doua măsurătoare trebuie să iasă înapoi.

De reținut

$l g (k x^{a}) = l g k + a l g x$
exponentul: logaritmul raportului lui $y$ împărțit la logaritmul raportului lui $x$
revenirea la număr: $N = 1 0^{l g N}$

Greșeala tipică

Se împart rapoartele, nu logaritmii lor, când se caută exponentul: $8 : 2 = 4$ în loc de $l g 8 : l g 2 = 3$ . Verifici cu exponentul găsit: $2^{3} = 8$ dă înapoi raportul măsurătorilor.

Exerciții din această mini-lecție

Rezistența unui fir conductor cu lungimea $L$ , diametrul $d$ și rezistivitatea $ρ$ este $R = \frac{4 ρ L}{π d ^{2}}$ , toate mărimile fiind pozitive. Care este expresia lui $l g R$ ?
- a) $l g 4 + l g ρ + l g L - l g π + 2 l g d$
- b) $l g 4 + l g ρ + l g L - l g π - 2 l g d$
- c) $l g 4 + l g ρ + l g L - l g π - l g d$
- d) $l g 4 \cdot l g ρ \cdot l g L - l g π - 2 l g d$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $l g 4 + l g ρ + l g L - l g π - 2 l g d$

Produsul din numărător devine sumă, iar numitorul se scade, cu exponentul 2 coborât în față: $l g R = l g 4 + l g ρ + l g L - l g π - 2 l g d$ . Prima variantă dă lui $2 l g d$ semnul plus, ca și cum $d^{2}$ ar fi la numărător. A treia uită exponentul 2. A patra înmulțește logaritmii, deși logaritmul unui produs este suma logaritmilor.
Sistemul de rezervări al unui hotel numerotează fiecare rezervare cu un cod pe 30 de biți, deci există $2^{30}$ coduri posibile. Câte cifre are numărul $2^{30}$ scris în baza 10? Folosește $l g 2 \approx 0, 30103$ .
- a) 30
- b) 9
- c) 11
- d) 10
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 10

$l g 2^{30} = 30 l g 2 \approx 9, 031$ . Numărul de cifre este partea întreagă plus 1: $9 + 1 = 10$ . Varianta 9 uită să adauge 1. Varianta 11 rotunjește 9,031 în sus și mai adaugă 1. Varianta 30 este chiar exponentul, nu numărul de cifre.
Uzura $U$ a unei piese crește cu sarcina $F$ după legea $U = k F^{a}$ . La $F = 20$ N uzura măsurată este 3 mg, iar la $F = 80$ N este 24 mg. Cât este exponentul $a$ ?
- a) 1,5
- b) 2
- c) 0,35
- d) 0,67
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 1,5

$a = \frac{l g ( 24 : 3 )}{l g ( 80 : 20 )} = \frac{l g 8}{l g 4} = \frac{3 l g 2}{2 l g 2} = 1, 5$ . Varianta 2 împarte rapoartele, $8 : 4$ , în loc de logaritmii lor. Varianta 0,35 împarte diferențele, $\frac{24 - 3}{80 - 20}$ . Varianta 0,67 inversează fracția logaritmilor.

Întrebări conexe

Cum verific că exponentul găsit este corect?

Reiei calculul pe una dintre măsurători. Dacă $a = 2, 5$ și $x$ se înmulțește cu 4 între cele două măsurători, $y$ trebuie să se înmulțească cu $4^{2, 5} = 32$ . Dacă iese alt raport, probabil ai împărțit rapoartele în loc de logaritmii lor.

De ce logaritmez o formulă cu puteri?

Fiindcă logaritmul coboară exponentul în față și transformă produsele în sume: $l g (k x^{a}) = l g k + a l g x$ . Dintr-o formulă greu de manevrat ajungi la una de gradul I în $l g x$ , pe care o rezolvi cu o împărțire.

Cum revin de la logaritm la număr?

Ridici 10 la valoarea logaritmului, cu tasta $1 0^{x}$ . Din $l g N = 2, 602$ obții $N = 1 0^{2, 602} \approx 400$ . Cifra 2 dinaintea virgulei arată că rezultatul are trei cifre întregi, iar zecimalele 0,602 spun cum începe: $1 0^{0, 602} \approx 4$ .

Pot logaritma o sumă de termeni?

Nu există regulă pentru logaritmul unei sume: $l g (a + b)$ nu este $l g a + l g b$ . De exemplu $l g (10 + 90) = l g 100 = 2$ , dar $l g 10 + l g 90 \approx 1 + 1, 954 = 2, 954$ . Logaritmarea merge doar când expresia este produs, cât sau putere, nu și când este sumă sau diferență.

Cum aflu constanta k a legii de putere?

După ce ai exponentul $a$ , înlocuiești o măsurătoare: $k = y_{1} : x_{1}^{a}$ . Pentru legea $y = k x^{2}$ , cu $y = 48$ la $x = 4$ , obții $k = 48 : 16 = 3$ . Apoi verifici cu a doua măsurătoare: pentru $x = 8$ ar trebui să iasă $3 \cdot 64 = 192$ .

Ce unități are constanta k dintr-o lege de putere?

Constanta preia unitățile necesare ca să iasă unitatea mărimii $y$ . În $F = k v^{2}$ , cu $F$ în N și $v$ în m/s, constanta $k$ are unitatea N·s²/m². Exponentul $a$ nu are unitate de măsură.

Oamenii mai întreabă și: timpul unei lucrări care se repetă · logaritmarea în calculul orelor de manoperă · estimare de timp pentru lucrări repetate · curba de învățare cu logaritmi