Logaritmare: calcule pe expresii la tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Contabila unei firme de instalații electrice trebuie să pună în buget manopera pentru 40 de tablouri identice, dar orele nu rămân aceleași de la un tablou la altul: echipa se obișnuiește și lucrează tot mai repede, după o putere. Exponentul unei asemenea legi se află prin logaritmare; lecția ți-o arată pe exemple de clasa a X-a, la tehnologic. Logaritmarea face parte din conținuturile clasei a X-a în programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

O firmă de instalații electrice a primit comanda a 40 de tablouri de distribuție identice, câte unul pentru fiecare scară dintr-un ansamblu de blocuri. Contabila pregătește bugetul de manoperă înainte de semnarea contractului și de prima factură către client. Echipa a asamblat deja 15 tablouri și a notat orele de manoperă pentru primul, al cincilea și al 15-lea. Pe măsură ce se obișnuiește, echipa lucrează mai repede, iar șeful de atelier spune că timpul $T$ al tabloului cu numărul $n$ urmează o lege de forma $T = T_{1} \cdot n^{a}$ , cu $a$ în jur de $- 0, 25$ (valoare din exemplu): timpul scade, dar tot mai încet. Ora de manoperă intră în cheltuielile firmei cu 46 de lei (valoare din exemplu). Contabila are la îndemână patru valori: $l g 2 \approx 0, 30103$ , $l g 3 \approx 0, 47712$ , $l g 5 \approx 0, 69897$ și $l g 7 \approx 0, 84510$ .

Tabloul cu numărul	Ore de manoperă (h)
1	84
5	56,4
15	42,1

Întrebare: câte ore de manoperă pune contabila în buget pentru al 40-lea tablou, rotunjite la ora întreagă, cât costă manopera lui și ce exponent arată de fapt măsurătorile?

De la situație la model

Timpul nu scade liniar cu numărul tablourilor: de la primul tablou, de 84 h, la al 15-lea, de 42,1 h, numărul tablourilor crește de 15 ori, iar timpul scade doar la aproximativ jumătate. Legea $T = T_{1} \cdot n^{a}$ , cu $a$ negativ, spune exact asta, dar ca să afli $a$ din măsurători ai nevoie de o operație care scoate exponentul din puterea lui $n$ .

În situație	În matematică
numărul de ordine al tabloului	variabila pozitivă $n$
orele de manoperă ale tabloului $n$	variabila pozitivă $T$ , cu $T = T_{1} \cdot n^{a}$
„fiecare tablou durează mai puțin decât precedentul”	exponentul $a$ , cu $- 1 < a < 0$
de câte ori se schimbă timpul când numărul tabloului crește de $q$ ori	factorul $q^{a}$
legea scrisă cu logaritmi în baza 10	$l g T = l g T_{1} + a \cdot l g n$
timpul aflat din $l g T$	numărul 10 ridicat la puterea $l g T$

Logaritmarea unei expresii cu mărimi pozitive înseamnă să scrii logaritmul ei și să-l desfaci cu regulile produsului, câtului și puterii. Potențiarea este operația inversă: din logaritm revii la numărul însuși, ridicând 10 la valoarea găsită. Expresia trebuie să aibă toți factorii strict pozitivi; la ore și la numere de ordine, asta se întâmplă de la sine. Regulile de calcul cu logaritmi, pe care se sprijină totul, sunt în lecția logaritmul produsului, iar notația $l g$ și tasta log sunt explicate în logaritmul zecimal în lucrul cu concentrații.

De ce logaritmezi o lege de putere?

După logaritmare, $l g T = l g T_{1} + a \cdot l g n$ : exponentul $a$ a coborât din vârful puterii și a devenit un coeficient obișnuit. La echipa de tablouri, fiecare dublare a numărului tabloului adaugă la $l g T$ aceeași cantitate, $a \cdot l g 2$ , deci timpul scade de fiecare dată în același raport. Coeficientul îl scoți apoi printr-o împărțire.

Cum afli exponentul din două măsurători?

Scrii legea pentru ambele măsurători și le scazi: $l g T_{2} - l g T_{1} = a \cdot (l g n_{2} - l g n_{1})$ . De aici, $a = \frac{l g ( T _{2} : T _{1} )}{l g ( n _{2} : n _{1} )}$ . Logaritmul $l g 42, 1$ nu e în lista de valori date, așa că îl iei de la tasta log a calculatorului; cu el, tablourile 1 și 15 dau $a \approx - 0, 255$ .

Cum ajungi de la logaritm înapoi la timp?

Din $l g T = 1, 52$ , de pildă, timpul este $1 0^{1, 52}$ , valoare pe care o dă tasta $1 0^{x}$ . Partea întreagă, 1, arată că numărul are două cifre înainte de virgulă, iar partea zecimală, 0,52, arată care sunt cifrele: $1 0^{0, 52} \approx 3, 31$ , deci timpul începe cu 33 și este de aproximativ 33 de ore.

Metoda pas cu pas

Scrie formula ca produs de factori pozitivi, cu exponenții la vedere: $y = k \cdot x^{a}$ , cu $y$ , $k$ și $x$ strict pozitive. Scrie și unitatea fiecărei mărimi, fiindcă rezultatul o păstrează. Dacă un factor poate fi zero sau negativ, logaritmarea nu are sens pentru valorile respective; la o diferență ca $x - 5$ , verifici întâi că $x > 5$ .
Logaritmează ambii membri în baza 10 și desfă cu regulile produsului, câtului și puterii: $l g y = l g k + a \cdot l g x$ . Fiecare factor își primește logaritmul, puterea îl înmulțește cu exponentul, iar câtul scade logaritmul numitorului; regulile puterii vin din regulile pentru puteri reale. Numerele pe care nu le ai în listă le descompui în factori primi, ca $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ .
Calculează în logaritmi: dacă ai de aflat exponentul, împarți diferențele de logaritmi; dacă ai de aflat o valoare nouă, aduni. Păstrează cinci zecimale la logaritmi, ca eroarea să nu urce în rezultat. Dacă ai nevoie de un logaritm care nu e în listă, ca $l g 42, 1$ , îl iei de la tasta log.
Potențiază: ridici 10 la valoarea lui $l g y$ , cu tasta $1 0^{x}$ , care la multe calculatoare se află deasupra tastei log și se activează cu SHIFT sau 2nd. Rotunjește abia la sfârșit, la precizia cerută de problemă, și scrie unitatea, aici ore.
Verifică pe alt drum: refă calculul pornind de la altă măsurătoare și compară rezultatele. Valoarea trebuie să fie pozitivă, să se așeze în sensul măsurătorilor și să aibă ordinul de mărime al lor. Dacă cele două rezultate diferă cu mai mult decât rotunjirea cerută, cauți greșeala în descompunerea în factori primi, în semnul exponentului sau în conversia unităților.

Fișa de buzunar

$l g (k \cdot x^{a}) = l g k + a \cdot l g x$

$a = \frac{l g ( y _{2} : y _{1} )}{l g ( x _{2} : x _{1} )}$

Prima formulă desface o lege de putere, a doua scoate exponentul din două măsurători; exponentul poate fi negativ, ca la o mărime care scade. Condițiile de aplicare: toate mărimile, adică $y$ , $k$ și $x$ , strict pozitive, iar $x_{1} \neq = x_{2}$ . Verificare rapidă: cu $a$ găsit, valoarea calculată pentru $x_{2}$ trebuie să dea înapoi $y_{2}$ . Ca să treci de la logaritm la număr, ridici 10 la valoarea logaritmului.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Orele de manoperă ale tabloului 40

Domeniu: economic.

Enunț. Reia măsurătorile din situația de pornire, cu $a = - 0, 25$ și cu $l g 2 \approx 0, 30103$ , $l g 3 \approx 0, 47712$ , $l g 5 \approx 0, 69897$ și $l g 7 \approx 0, 84510$ . Câte ore de manoperă pune contabila în buget pentru al 40-lea tablou, rotunjite la ora întreagă, și cât costă manopera lui, la 46 de lei pe oră?

Rezolvare. Pornești de la primul tablou: $T = 84 \cdot 4 0^{- 0, 25}$ . Logaritmezi: $l g T = l g 84 - 0, 25 \cdot l g 40$ . Descompui $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ , deci $l g 84 = 2 l g 2 + l g 3 + l g 7 \approx 1, 92428$ , și $40 = 2^{3} \cdot 5$ , deci $l g 40 = 3 l g 2 + l g 5 \approx 1, 60206$ . Atunci $0, 25 \cdot 1, 60206 \approx 0, 40052$ , iar $l g T \approx 1, 92428 - 0, 40052 = 1, 52376$ . Potențiezi: $T = 1 0^{1, 52376} \approx 33, 4$ ore. Rotunjit la ora întreagă, în buget intră 33 de ore, adică $33 \cdot 46 = 1518$ lei.

Capcană. Cine continuă ritmul de scădere de la primele cinci tablouri, $(56, 4 - 84) : 4 = - 6, 9$ ore pe tablou, scrie $84 - 6, 9 \cdot 39 = - 185, 1$ ore pentru al 40-lea tablou. Un timp negativ nu are sens: scăderea reală încetinește, iar linia dreaptă o ia prea repede în jos.

Verificare. Pe alt drum, de la tabloul 15: $40 : 15 = 8 : 3$ , deci $l g (8 : 3) = 3 l g 2 - l g 3 \approx 0, 42597$ și $0, 25 \cdot 0, 42597 \approx 0, 10649$ . Tasta log dă $l g 42, 1 \approx 1, 62428$ , iar $l g T \approx 1, 62428 - 0, 10649 = 1, 51779$ , adică $T \approx 32, 9$ ore, tot 33 de ore la ora întreagă. Timpul de 33,4 ore stă sub cele 42,1 ore ale tabloului 15, cum cere un exponent negativ.

Exemplul 2 — Speciile unei păduri, în studiul de impact

Domeniu: mediu.

Enunț. Studiul de impact al unei platforme industriale analizează o pădure izolată de 800 ha, în care s-au inventariat 240 de specii de plante. Platforma ar ocupa 500 ha, iar pădurea ar rămâne cu 300 ha. Numărul de specii $N$ depinde de suprafața $A$ după legea $N = c \cdot A^{z}$ , cu $z \approx 0, 25$ la pădurile izolate (valoare din exemplu). Câte specii s-ar putea aștepta pe cele 300 ha?

Rezolvare. Raportul suprafețelor este $300 : 800 = \frac{3}{8}$ , iar numărul de specii se înmulțește cu $(\frac{3}{8})^{0, 25}$ . Logaritmezi: $l g N_{2} = l g 240 + 0, 25 \cdot (l g 3 - 3 l g 2)$ . Cum $240 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5$ , avem $l g 240 = 4 l g 2 + l g 3 + l g 5 \approx 2, 38021$ . Pentru raport, $l g 3 - 3 l g 2 \approx - 0, 42597$ , iar $0, 25 \cdot (- 0, 42597) \approx - 0, 10649$ . Atunci $l g N_{2} \approx 2, 38021 - 0, 10649 = 2, 27372$ . Potențiezi: $N_{2} = 1 0^{2, 27372} \approx 187, 8$ , deci s-ar putea aștepta aproximativ 188 de specii.

Capcană. Cine consideră numărul de specii proporțional cu suprafața scrie $240 \cdot \frac{300}{800} = 90$ de specii. Ar prezice că dispar peste 60 % dintre specii, deși legea cu exponentul 0,25 arată o pierdere de aproximativ 22 %.

Verificare. Pe alt drum, factorul $(\frac{3}{8})^{0, 25} \approx 0, 7825$ trebuie să dea înapoi raportul, la puterea a patra: $0, 782 5^{4} \approx 0, 3749$ , adică $\frac{3}{8}$ . Iar $240 \cdot 0, 7825 \approx 187, 8$ stă între 90 și 240, ca la orice lege cu exponent între 0 și 1.

Exemplul 3 — Consumul unei autoutilitare la viteze diferite

Domeniu: auto.

Enunț. O autoutilitară de livrări de 3,5 t e încercată pe pista închisă a unui poligon, la viteze constante. Consumul a fost 7,2 L/100 km la 84 km/h și 9,96 L/100 km la 126 km/h. Debitul de combustibil, în L/h, crește cu viteza $v$ după o lege $D = k \cdot v^{n}$ . a) Treci consumurile în L/h. b) Află $n$ . c) Cât consumă autoutilitara la 105 km/h, în L/100 km?

Rezolvare. a) Debitul este consumul pe 100 km înmulțit cu numărul de sute de kilometri parcurși într-o oră: $7, 2 \cdot 0, 84 \approx 6, 05$ L/h și $9, 96 \cdot 1, 26 \approx 12, 55$ L/h. b) Raportul vitezelor este $126 : 84 = 1, 5$ , cu $l g 1, 5 = l g 3 - l g 2 \approx 0, 17609$ . Raportul debitelor este $12, 55 : 6, 05 \approx 2, 0744$ , iar tasta log dă $l g 2, 0744 \approx 0, 31689$ . Deci $n \approx 0, 31689 : 0, 17609 \approx 1, 80$ . c) Cum $105 : 84 = 1, 25$ , avem $l g 1, 25 = 1 - 3 l g 2 \approx 0, 09691$ și $1, 8 \cdot 0, 09691 \approx 0, 17444$ . Tasta log dă $l g 6, 05 \approx 0, 78176$ , deci $l g D \approx 0, 78176 + 0, 17444 = 0, 95620$ și $D = 1 0^{0, 95620} \approx 9, 04$ L/h. Consumul la 100 km este $9, 04 : 1, 05 \approx 8, 61$ L/100 km.

Capcană. Cine nu trece consumurile în L/h compară 7,2 L/100 km cu 12,55 L/h și scrie $n = l g (12, 55 : 7, 2) : l g 1, 5 \approx 1, 37$ . Unitățile diferă, iar exponentul iese mult prea mic.

Verificare. Pe alt drum, consumul pe 100 km crește cu viteza la puterea $n - 1 = 0, 8$ : $7, 2 \cdot 1, 2 5^{0, 8} \approx 8, 61$ L/100 km, același rezultat. Valoarea e între 7,2 și 9,96, ca viteza de 105 km/h între 84 și 126 km/h.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce exponent are debitul conductei

Domeniu: constructii.

Enunț. Aici pornești de la măsurători și afli exponentul pe care îl respectă apa. Un instalator măsoară pe un stand debitul prin trei conducte drepte de PVC, de același tip, la aceeași cădere de presiune pe metru: 0,41 L/s la diametrul interior de 20 mm, 1,40 L/s la 32 mm și 4,50 L/s la 50 mm. Un coleg de echipă socotește că debitul crește cu secțiunea, adică cu pătratul diametrului. Ce exponent arată măsurătorile și cu cât ar subestima debitul unei conducte de 63 mm, dacă ar porni de la conducta de 20 mm cu exponentul 2?

Rezolvare. Pentru primele două conducte, $a = l g (1, 40 : 0, 41) : l g (32 : 20)$ . Tasta log dă $l g 3, 41463 \approx 0, 53334$ , iar $l g 1, 6 = 3 l g 2 - l g 5 \approx 0, 20412$ , deci $a \approx 2, 613$ . Pentru ultimele două, $l g (4, 50 : 1, 40) \approx 0, 50708$ și $l g (50 : 32) \approx 0, 19382$ , deci $a \approx 2, 616$ . Exponentul real este de aproximativ 2,6, nu 2. Cu exponentul 2, debitul la 63 mm ar fi $0, 41 \cdot (63 : 20)^{2} \approx 4, 07$ L/s. Pentru conductele de 20 mm și 50 mm, $a = l g (4, 50 : 0, 41) : l g 2, 5 \approx 1, 04043 : 0, 39794 \approx 2, 6145$ , iar cu acest exponent debitul la 63 mm ar fi $0, 41 \cdot (63 : 20)^{2, 6145} \approx 8, 2$ L/s. Calculul colegului ar subestima debitul cu aproape 4,2 L/s, adică l-ar socoti la jumătate.

Capcană. Cine împarte raportul debitelor la raportul diametrelor, în loc să împartă logaritmii lor, scrie $3, 41463 : 1, 6 \approx 2, 13$ și crede că debitul respectă aproape legea secțiunii. Cu acest exponent, debitul la 63 mm ar fi $0, 41 \cdot (63 : 20)^{2, 13} \approx 4, 7$ L/s, cu aproape 3,5 L/s sub cel real.

Verificare. Pe alt drum, cu exponentul $2, 6145$ din perechea 20 mm și 50 mm, debitul la 32 mm trebuie să iasă din conducta de 20 mm: $0, 41 \cdot 1, 6^{2, 6145} \approx 1, 40$ L/s, exact cât s-a măsurat. Debitul crește cu diametrul mai repede decât cu pătratul lui, deci exponentul trebuie să fie peste 2, cum și iese.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru $a, b, c > 0$ , scrie logaritmul $l g E$ al expresiei date cu ajutorul lui $l g a$ , $l g b$ și $l g c$ , fiecare termen pe câte un rând: a) $E = \frac{a ^{3} b}{c ^{2}}$ ; b) $E = 7 3 a \cdot b^{4}$ .

2. Potențiază, adică scrie ca un singur logaritm, și află numărul $E$ ca fracție sau ca zecimal: a) $l g E = 2 l g 3 + l g 5 - 3 l g 2$ ; b) $l g E = \frac{1}{2} l g 49 + 3 l g 2 - 2$ .

3. Fără să calculezi numerele însele, care au peste zece cifre, compară $2^{40}$ și $3^{25}$ prin logaritmii lor zecimali, cu $l g 2 \approx 0, 30103$ și $l g 3 \approx 0, 47712$ .

4. Logaritmează expresia $E = \frac{2 ^{5} \cdot 7}{0 , 3}$ și calculează $l g E$ cu $l g 2 \approx 0, 30103$ , $l g 3 \approx 0, 47712$ și $l g 7 \approx 0, 84510$ .

Nivelul 2 — situații

5. La o fermă de oi, hrana se dozează după necesarul zilnic de energie al fiecărui animal, care este proporțional cu masa corporală la puterea 0,75. De câte ori crește necesarul când masa crește de la 40 kg la 100 kg? Folosește $l g 2 \approx 0, 30103$ .

6. Ventilatorul camerei frigorifice dintr-o fabrică de lactate consumă o putere proporțională cu cubul turației. La ce procent din turația nominală trebuie să meargă ventilatorul ca să consume jumătate din puterea nominală? Folosește $l g 2 \approx 0, 30103$ .

7. Un depozit de fructe sortează merele după diametru. Masa unui măr crește cu diametrul la puterea 2,9 (valoare din exemplu). Un măr de 60 mm cântărește 118 g. De la ce diametru întreg, în milimetri, un măr cântărește cel puțin 200 g? Folosește tastele log și $1 0^{x}$ .

8. Volumul de lemn al trunchiului unui brad crește cu diametrul după o lege $V = k \cdot d^{z}$ . Un brad cu diametrul de 30 cm are 0,62 m³ de lemn, iar unul cu diametrul de 45 cm are 1,64 m³ (valori din exemplu). Află exponentul $z$ , la sutimi, și volumul unui brad de 60 cm. Folosește $l g 2 \approx 0, 30103$ și $l g 3 \approx 0, 47712$ .

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Arătați că $l g 8 + l g 50 = 1 + l g 2$ .

10. (Sinteză.) Determinați cel mai mic număr natural $n$ pentru care $3^{n} > 1 0^{8}$ , folosind $l g 3 \approx 0, 47712$ .

11. (Sinteză.) Ordonați crescător, fără să calculați puterile, numerele $5^{30}$ , $3^{43}$ și $2^{70}$ , cu $l g 2 \approx 0, 30103$ , $l g 3 \approx 0, 47712$ și $l g 5 \approx 0, 69897$ .

12. (Sinteză.) a) Pentru $x > 0$ , scrieți $l g (x^{3} x)$ cu ajutorul lui $l g x$ . b) Determinați numărul real $x > 0$ pentru care $l g (x^{3} x) = 7$ .

Răspunsuri și verificări

1. a) $l g E = 3 l g a + \frac{1}{2} l g b - 2 l g c$ . b) $l g E = l g 7 + \frac{1}{3} l g a + 4 l g b$ . Verificare: pentru $a = b = c = 10$ la a) dă $3 + \frac{1}{2} - 2 = 1, 5$ , iar $l g \frac{1 0 ^{3} 10}{1 0 ^{2}} = l g (1010) = 1, 5$ .

2. a) $E = \frac{3 ^{2} \cdot 5}{2 ^{3}} = \frac{45}{8} = 5, 625$ . b) $\frac{1}{2} l g 49 = l g 7$ și $2 = l g 100$ , deci $E = \frac{7 \cdot 2 ^{3}}{100} = 0, 56$ . Verificare: $l g 5, 625 \approx 0, 75012$ , iar $2 \cdot 0, 47712 + 0, 69897 - 3 \cdot 0, 30103 = 0, 75012$ .

3. $l g 2^{40} = 40 l g 2 \approx 12, 0412$ și $l g 3^{25} = 25 l g 3 \approx 11, 9280$ . Cum $12, 0412 > 11, 9280$ , rezultă $2^{40} > 3^{25}$ . Verificare: $2^{40}$ are 13 cifre, iar $3^{25}$ are 12 cifre.

4. $l g E = 5 l g 2 + \frac{1}{2} l g 7 - l g 0, 3$ , iar $l g 0, 3 = l g 3 - 1$ . Deci $l g E \approx 1, 50515 + 0, 42255 - 0, 47712 + 1 = 2, 45058$ . Verificare: $E = 32 \cdot 2, 64575 : 0, 3 \approx 282, 2$ , un număr între 100 și 1000, deci $l g E$ trebuie să fie între 2 și 3.

5. Raportul maselor este $100 : 40 = 2, 5$ , iar $l g 2, 5 = 1 - 2 l g 2 \approx 0, 39794$ . Atunci $0, 75 \cdot 0, 39794 \approx 0, 29846$ și $1 0^{0, 29846} \approx 1, 99$ , deci necesarul crește de aproximativ 1,99 ori, deși masa a crescut de 2,5 ori, de la 40 kg la 100 kg. Verificare: exponentul 0,75 e sub 1, deci necesarul crește de mai puțin de 2,5 ori, dar aproape de 2 ori.

6. Din $x^{3} = \frac{1}{2}$ rezultă $l g x = - \frac{l g 2}{3} \approx - 0, 10034$ , deci $x = 1 0^{- 0, 10034} \approx 0, 794$ . Ventilatorul trebuie să meargă la aproximativ 79,4 % din turația nominală. Verificare: $0, 79 4^{3} \approx 0, 501$ , adică aproape $\frac{1}{2}$ .

7. Se cere $118 \cdot (d : 60)^{2, 9} \geq 200$ , adică $(d : 60)^{2, 9} \geq 200 : 118 \approx 1, 69492$ . Logaritmezi: $2, 9 \cdot l g (d : 60) \geq l g 1, 69492 \approx 0, 22915$ , deci $l g (d : 60) \geq 0, 07902$ și $d : 60 \geq 1 0^{0, 07902} \approx 1, 19955$ . Rezultă $d \geq 71, 97$ mm, adică de la 72 mm. Verificare: la 72 mm, $72 : 60 = 1, 2$ și $118 \cdot 1, 2^{2, 9} \approx 200, 2$ g, iar la 71 mm masa este de aproximativ 192,3 g, sub 200 g.

8. Raportul volumelor este $1, 64 : 0, 62 \approx 2, 6452$ , iar al diametrelor, $45 : 30 = 1, 5$ . Tasta log dă $l g 2, 6452 \approx 0, 42246$ , iar $l g 1, 5 = l g 3 - l g 2 \approx 0, 17609$ , deci $z \approx 0, 42246 : 0, 17609 \approx 2, 40$ . Pentru 60 cm, raportul față de 45 cm este $60 : 45 = \frac{4}{3}$ , cu $l g \frac{4}{3} = 2 l g 2 - l g 3 \approx 0, 12494$ și $2, 4 \cdot 0, 12494 \approx 0, 29986$ , iar $1 0^{0, 29986} \approx 1, 995$ . Volumul este $1, 64 \cdot 1, 995 \approx 3, 27$ m³. Verificare: $1, 5^{2, 4} \approx 2, 646$ , adică raportul volumelor, iar exponentul 2,4 stă între 2 și 3, cum se cuvine unui volum față de un diametru.

9. Unești logaritmii: $l g 8 + l g 50 = l g (8 \cdot 50) = l g 400$ . Cum $400 = 20$ , rezultă $l g 20 = l g 2 + l g 10 = 1 + l g 2$ . Verificare: $l g 8 \approx 0, 45154$ și $l g 50 \approx 0, 84949$ , iar suma este $1, 30103$ .

10. Logaritmezi: $3^{n} > 1 0^{8}$ înseamnă $n l g 3 > 8$ , deci $n > \frac{8}{0 , 47712} \approx 16, 77$ . Primul număr natural care trece de 16,77 este 17. Verificare: $3^{16} = 43046721 < 1 0^{8}$ , iar $3^{17} = 129140163 > 1 0^{8}$ .

11. $l g 5^{30} = 30 l g 5 \approx 20, 9691$ , $l g 3^{43} = 43 l g 3 \approx 20, 5162$ și $l g 2^{70} = 70 l g 2 \approx 21, 0721$ . Ordinea logaritmilor este $20, 5162 < 20, 9691 < 21, 0721$ , iar logaritmul păstrează ordinea. Deci $3^{43} < 5^{30} < 2^{70}$ . Verificare: $3^{43}$ și $5^{30}$ au 21 de cifre, iar $2^{70}$ are 22.

12. a) $l g (x^{3} x) = 3 l g x + \frac{1}{2} l g x = \frac{7}{2} l g x$ . b) Ecuația devine $\frac{7}{2} l g x = 7$ , deci $l g x = 2$ și $x = 1 0^{2} = 100$ , iar $100 > 0$ respectă condiția. Verificare: $10 0^{3} \cdot 100 = 1 0^{6} \cdot 10 = 1 0^{7}$ , iar $l g 1 0^{7} = 7$ .

Așa vine la Bac M3

Logaritmarea unei expresii este trecută în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Blocul „Mulțimi de numere” al clasei a X-a din programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) o numește „operația de logaritmare”, între calculele cu logaritmi și numerele complexe. În indexul celor 1 494 de cerințe, făcut din cele 83 de probe oficiale, niciuna nu are logaritmarea unei expresii ca temă, nici principală, nici secundară. Logaritmii apar totuși, în enunțul unei cerințe sau al unei probleme, în 61 dintre cele 83 de probe: în 23 dintre ele în ecuația de la cerința 3 din Subiectul I, iar în 51 ca $ln$ în analiză, la Subiectele II și III (unele probe le au pe amândouă).

Nicio probă nu poate fi citată aici, iar cerințe-model nu se inventează. Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), pun logaritmarea lângă radicali, puteri, ordonarea numerelor și o ecuație cu o putere și un radical, fără să copieze vreo cerință reală. Restul lecțiilor clasei sunt în hubul clasei a X-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Calculezi $4 0^{- 0, 25}$ ca $- 0, 25 \cdot 40 = - 10$ și obții $84 \cdot (- 10) = - 840$ de ore → cum o prinzi: un timp nu poate fi negativ; prin logaritmi, $- 0, 25 \cdot 1, 60206 \approx - 0, 40052$ și $1 0^{- 0, 40052} \approx 0, 3976$ , deci $84 \cdot 0, 3976 \approx 33, 4$ ore.
Compari puterile după exponenți: spui că $5^{30} < 3^{43}$ fiindcă $30 < 43$ → cum o prinzi: logaritmii $30 l g 5 \approx 20, 9691$ și $43 l g 3 \approx 20, 5162$ arată ordinea reală, $3^{43} < 5^{30}$ , adică exact invers.
Înmulțești logaritmii factorilor, în loc să-i aduni: la exercițiul 12 scrii $l g (x^{3} x) = 3 l g x \cdot \frac{1}{2} l g x$ → cum o prinzi: încerci $x = 10$ ; membrul stâng este $l g 1 0^{3, 5} = 3, 5$ , iar produsul dă $3 \cdot 0, 5 = 1, 5$ .
Amesteci unitățile: pui consumul în L/100 km lângă debitul în L/h și obții un exponent de 1,37 în loc de 1,80 → cum o prinzi: treci ambele mărimi în aceeași unitate înainte de împărțirea logaritmilor.
Împarți rapoartele, nu logaritmii lor: la conducte iese $3, 41463 : 1, 6 \approx 2, 13$ , nu 2,61 → cum o prinzi: $1, 6^{2, 13} \approx 2, 72$ nu dă înapoi raportul debitelor, $3, 41463$ , în timp ce $1, 6^{2, 61} \approx 3, 41$ îl dă.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: logaritmarea unei expresii face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la profilul MAT_P3.

Întrebări frecvente

Câte ore ar cere al 80-lea tablou, dacă clientul dublează comanda? Dublarea numărului de tablouri înmulțește timpul cu $2^{- 0, 25}$ . Cum $l g 2^{- 0, 25} = - 0, 25 \cdot l g 2 \approx - 0, 07526$ și $1 0^{- 0, 07526} \approx 0, 841$ , al 80-lea tablou durează $33, 4 \cdot 0, 841 \approx 28, 1$ ore. Fiecare dublare a seriei scade deci timpul pe tablou cu aproximativ 16 %, indiferent de la ce tablou pornești.

La al câtelea tablou ajunge timpul la jumătate din cel al primului? Se cere $n^{- 0, 25} = \frac{1}{2}$ , adică $n^{0, 25} = 2$ . Logaritmezi: $0, 25 \cdot l g n = l g 2$ , deci $l g n = 4 l g 2 \approx 1, 20412$ și $n = 1 0^{1, 20412} \approx 16$ . Al 16-lea tablou durează $84 : 2 = 42$ de ore. Verifici: $1 6^{- 0, 25} = \frac{1}{2}$ , fiindcă $16 = 2^{4}$ . Timpul se înjumătățește deci după patru dublări ale seriei: 2, 4, 8 și 16 tablouri.

Cum afli dacă regula cu $- 0, 25$ se potrivește măsurătorilor? Calculezi $a$ pentru fiecare pereche de tablouri: 1 și 5 dau $- 0, 2475$ , 1 și 15 dau $- 0, 2551$ , iar 5 și 15 dau $- 0, 2662$ . Cele trei valori sunt apropiate de $- 0, 25$ și diferă puțin între ele, deci regula explică bine măsurătorile, fără să fie exactă.

După al câtelea tablou scade timpul sub 30 de ore? Din $84 \cdot n^{- 0, 25} < 30$ rezultă $n^{0, 25} > 2, 8$ , deci $0, 25 \cdot l g n > l g 2, 8$ . Cu $l g 2, 8 = 2 l g 2 + l g 7 - 1 \approx 0, 44716$ obții $l g n > 1, 78864$ și $n > 61, 5$ . Sub 30 de ore coboară abia de la al 62-lea tablou, deci nu în seria de 40: la al 40-lea rămân 33,4 ore, deasupra pragului de 30.

Ce logaritmi apar la Bacalaureatul M3, dacă logaritmarea unei expresii n-a apărut? În cele 83 de probe din 2013–2026, logaritmii apar, în enunțul unei cerințe sau al unei probleme, în 61: în 23 în ecuația de la cerința 3 din Subiectul I și în 51 ca $ln$ , în analiză. Indexul făcut din probe nu are nicio cerință cu logaritmarea ca temă, dar tema e în programa pentru Bacalaureatul M3, deci poate fi cerută.