Cât face (2sin x-cos x)/(sin x+cos x) dacă tgx=2?

Împarți numărătorul și numitorul la cos x, care nu este zero când tangenta există. Obții (2 tgx-1)/(tgx+1)= (4-1)/(2+1)=1. Nu e nevoie de cadran, fiindcă expresia depinde numai de tangentă.

Cât este tgx dacă sin x= 5/13 și x este în cadranul II?

Din formula fundamentală, cos²x=1- 25/169= 144/169, iar în cadranul II cosinusul este negativ: cos x=- 12/13. Tangenta este 5/13:(- 12/13)=- 5/12, negativă, cum cere cadranul. Dacă ai fi uitat minusul cosinusului, tangenta ar fi ieșit pozitivă și ar fi contrazis cadranul.

Cât face sin²x-cos²x dacă tgx=3?

Scoți cos²x factor: cos²x(tg²x-1). Cum cos²x= 1/(1+9)= 1/10, rezultatul este 1/10·8= 4/5. Valoarea nu depinde de cadran, deoarece conține doar pătrate. Proba cu sin²x= 9/10 și cos²x= 1/10: diferența este 8/10= 4/5.

Cum aflu cosinusul dacă știu tangenta?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sin, cos și tg dintr-o valoare dată

Folosești $cos^{2} x = \frac{1}{1 + tg ^{2} x}$ , apoi alegi semnul după cadran. Exemplu: $tg x = \frac{3}{4}$ și $x$ în cadranul III. Atunci $cos^{2} x = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{16}{25}$ , iar în cadranul III cosinusul este negativ: $cos x = - \frac{4}{5}$ . Sinusul rezultă din $sin x = tg x \cdot cos x = - \frac{3}{5}$ . Proba: $\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ . Fără precizarea cadranului, ar fi rămas două variante, cu semne opuse.

Când cunoști o singură valoare trigonometrică a unui număr și ai o informație despre cadran, le poți afla pe celelalte două. Dacă ți se dă sinusul sau cosinusul, formula fundamentală îți dă pătratul coordonatei lipsă; extragi radicalul și alegi semnul o singură dată, după cadran. Tangenta vine apoi dintr-o împărțire și primește automat semnul potrivit.

Dacă ți se dă tangenta, gândește-te la dreapta prin origine care are acea pantă. Ea întâlnește cercul trigonometric în două puncte opuse, deci tangenta singură lasă două cadrane posibile. Înlocuind sinusul cu produsul dintre tangentă și cosinus în formula fundamentală, afli pătratul cosinusului: unu supra unu plus pătratul tangentei.

Informația despre cadran vine uneori ascunsă: un interval pentru x, două inegalități de semn sau un punct situat sub axa orizontală. O inegalitate despre funcția care e deja dată nu ajută la alegere. Fără cadran, scrii două seturi de răspunsuri; expresiile care se pot rescrie numai cu tangenta au însă o singură valoare.

În cerințele de tip bacalaureat reduci întâi argumentele de forma pi plus x sau doi pi minus x și abia apoi înlocuiești valorile. La final verifici mărginirea, suma pătratelor și semnele cadranului.

De reținut

$cos^{2} x = \frac{1}{1 + tg ^{2} x}$
$sin x = tg x \cdot cos x$
semnul se alege o singură dată, după cadran

Greșeala tipică

Se scrie $cos x = \frac{1}{1 + tg x}$ , fără pătrate și fără radical; corect, $cos^{2} x = \frac{1}{1 + tg ^{2} x}$ , apoi se extrage radicalul cu semnul cadranului.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $x \in (\frac{π}{2}, π)$ cu $sin x = \frac{104}{185}$ . Cât este $cos x$ ?
- a) $- \frac{153}{185}$
- b) $\frac{153}{185}$
- c) $- \frac{104}{153}$
- d) $\frac{81}{185}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{153}{185}$

$cos^{2} x = 1 - \frac{10816}{34225} = \frac{23409}{34225}$ , iar în cadranul II cosinusul este negativ: $cos x = - \frac{153}{185}$ .
Fie $x \in (π, \frac{3 π}{2})$ cu $tg x = 6$ . Cât este $cos x$ ?
- a) $\frac{37}{37}$
- b) $- \frac{37}{37}$
- c) $- \frac{6 37}{37}$
- d) $- \frac{1}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{37}{37}$

$cos^{2} x = \frac{1}{1 + 36} = \frac{1}{37}$ , iar în cadranul III cosinusul este negativ.
Despre $x \in [0, 2 π]$ știm că $sin x > 0$ și $tg x < 0$ . În ce cadran este $M (x)$ ?
- a) cadranul I
- b) cadranul II
- c) cadranul III
- d) cadranul IV
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) cadranul II

Sinusul pozitiv lasă cadranele I și II; tangenta negativă lasă II și IV. Singurul comun este cadranul II.

Întrebări conexe

Cât face $\frac{2 s i n x - c o s x}{s i n x + c o s x}$ dacă $tg x = 2$ ?

Împarți numărătorul și numitorul la $cos x$ , care nu este zero când tangenta există. Obții $\frac{2 tg x - 1}{tg x + 1} = \frac{4 - 1}{2 + 1} = 1$ . Nu e nevoie de cadran, fiindcă expresia depinde numai de tangentă.

Cât este $tg x$ dacă $sin x = \frac{5}{13}$ și $x$ este în cadranul II?

Din formula fundamentală, $cos^{2} x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , iar în cadranul II cosinusul este negativ: $cos x = - \frac{12}{13}$ . Tangenta este $\frac{5}{13} : (- \frac{12}{13}) = - \frac{5}{12}$ , negativă, cum cere cadranul. Dacă ai fi uitat minusul cosinusului, tangenta ar fi ieșit pozitivă și ar fi contrazis cadranul.

În ce puncte taie dreapta $y = 2 x$ cercul trigonometric?

Punctele verifică $x^{2} + (2 x)^{2} = 1$ , deci $x^{2} = \frac{1}{5}$ și $x = \pm \frac{5}{5}$ . Punctele sunt $(\frac{5}{5}, \frac{2 5}{5})$ și opusul lui. Ambele au tangenta $2$ , așa că tangenta singură lasă două cadrane posibile, I și III.

Cât este $cos x$ dacă $sin x = - \frac{8}{17}$ și $x \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ ?

Calculezi $cos^{2} x = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$ . Punctul se află sub axa orizontală și la dreapta axei verticale, deci abscisa lui este pozitivă: $cos x = \frac{15}{17}$ . Proba: $64 + 225 = 289 = 1 7^{2}$ , iar tangenta rezultă $- \frac{8}{15}$ .

Cât face $sin^{2} x - cos^{2} x$ dacă $tg x = 3$ ?

Scoți $cos^{2} x$ factor: $cos^{2} x (tg^{2} x - 1)$ . Cum $cos^{2} x = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10}$ , rezultatul este $\frac{1}{10} \cdot 8 = \frac{4}{5}$ . Valoarea nu depinde de cadran, deoarece conține doar pătrate. Proba cu $sin^{2} x = \frac{9}{10}$ și $cos^{2} x = \frac{1}{10}$ : diferența este $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ .

Ce componente are o forță de $10$ N a cărei direcție are panta $\frac{3}{4}$ ?

Panta direcției este tangenta unghiului cu orizontala: $tg α = \frac{3}{4}$ , cu $α$ în primul cadran. Atunci $cos α = \frac{4}{5}$ și $sin α = \frac{3}{5}$ , deci componenta orizontală este $8$ N, iar cea verticală $6$ N. Verificare: $64 + 36 = 100 = 1 0^{2}$ .

Oamenii mai întreabă și: cosinusul din tangentă · cum calculez cos x dacă știu tg x · formula cos pătrat egal 1 supra 1 plus tg pătrat · sinus și cosinus din tangentă

Cum aflu cosinusul dacă știu tangenta?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât face sinx+cosx2sinx−cosx​ dacă tgx=2?

Cât este tgx dacă sinx=135​ și x este în cadranul II?

În ce puncte taie dreapta y=2x cercul trigonometric?

Cât este cosx dacă sinx=−178​ și x∈(23π​,2π)?

Cât face sin2x−cos2x dacă tgx=3?

Ce componente are o forță de 10 N a cărei direcție are panta 43​?