Calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta (M2, științe ale naturii)

Un magnetometru de laborator nu afișează unghiul sub care câmpul magnetic al Pământului coboară spre sol. Afișează două componente, una orizontală și una verticală, iar din ele se obține direct tangenta acelui unghi. Fizicianul are nevoie însă și de sinus, și de cosinus, ca să treacă de la o componentă la intensitatea totală a câmpului. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), aceasta este lecția în care, dintr-o singură valoare trigonometrică și o informație despre cadran, afli toate celelalte. Pentru cei care au început clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”; elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține cercul trigonometric și reducerea la primul cadran, iar modelul oficial are o cerință de trigonometrie la Subiectul I.

Pasul de la sinus la cosinus, cu semnul ales după cadran, l-ai făcut deja în lecția despre formula fundamentală a trigonometriei la M2. Aici pornim de acolo și completăm tabloul: tangenta, cazul în care chiar tangenta este dată, cadranul ascuns în condiții de semn și lanțul de calcul în care intervin formulele de reducere.

Ce vei învăța

• Vei obține toate cele trei valori, $\sin x$, $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$, pornind de la oricare dintre ele și de la o informație despre cadran.
• Vei argumenta pe cercul trigonometric de ce o tangentă dată fixează o pereche de puncte diametral opuse și vei alege dintre ele.
• Vei deduce cadranul din condiții de semn, dintr-un interval sau din poziția unui punct, când enunțul nu-l numește direct.
• Vei scrie ambele seturi de răspunsuri când nicio informație nu fixează cadranul și vei explica de ce sunt exact două.
• Vei reduce întâi expresiile cu $\pi -x$, $\pi +x$, $2\pi -x$ la funcții ale lui $x$ și abia apoi vei înlocui valorile, ca în cerințele tip Bacalaureat M2.
• Vei controla fiecare rezultat prin trei probe rapide: mărginirea, formula fundamentală și semnele cadranului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, de fapt, într-un astfel de exercițiu?

Calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta înseamnă determinarea valorilor exacte ale celorlalte funcții trigonometrice ale aceluiași număr $x\in [0,2\pi ]$, pornind de la o singură valoare dată și de la o informație care fixează cadranul punctului $M(x)$. Informația despre cadran face parte din date: fără ea, problema are în general două răspunsuri.

Din lecția despre formula fundamentală știi deja un drum: dintr-un sinus dat obții modulul cosinusului, iar semnul îl dă cadranul. Aici drumul se prelungește în trei direcții. Prima: odată ce ai sinusul și cosinusul, tangenta vine dintr-o împărțire. A doua: datul poate fi chiar tangenta, iar atunci nu mai poți pune o valoare direct în formula fundamentală. A treia: datul poate fi ascuns într-o expresie, de exemplu $\sin (\pi +x)$, care trebuie întâi redusă.

Toate cele trei direcții folosesc aceleași unelte ale programei de științe: formula fundamentală, definiția tangentei ca raport între sinus și cosinus și formulele de reducere. Nu apare nicio formulă nouă de memorat; apare doar o ordine de lucru.

2. Cum ajungi la tangentă când știi sinusul?

Să luăm $\sin x=\frac{28}{197}$, cu $x$ în cadranul II. Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-\frac{784}{38809}=\frac{38025}{38809}$, deci modulul cosinusului este $\frac{195}{197}$. În cadranul II punctul $M(x)$ se află la stânga axei $Oy$, așa că $\cos x=-\frac{195}{197}$.

Tangenta este raportul dintre ordonată și abscisă: $\mathrm{tg}x=\frac{28/197}{-195/197}=-\frac{28}{195}$. Numitorul comun $197$ se simplifică, deci tangenta este raportul numărătorilor, cu semnul dat de cadran. Observă că semnul tangentei nu a cerut o decizie nouă: el a rezultat din semnele sinusului și cosinusului, deja fixate.

De aici o regulă de lucru: când se dă sinusul sau cosinusul, decizia de semn se ia o singură dată, la funcția obținută din formula fundamentală. Tangenta moștenește semnul corect dacă primele două valori sunt corecte, iar concordanța ei cu regula semnelor din lecția despre semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane devine o probă, nu o nouă alegere.

3. Ce se întâmplă când datul este chiar tangenta?

Tangenta nu este o coordonată a punctului $M(x)$, ci un raport de coordonate. Știi din lecția despre funcția tangentă la M2 că $\mathrm{tg}x$ este panta dreptei $OM$. Dacă tangenta este dată, cunoști deci o dreaptă prin origine, iar punctul $M(x)$ se află la intersecția ei cu cercul trigonometric.

O dreaptă prin centrul unui cerc taie cercul în exact două puncte, diametral opuse. Pentru panta $\frac{1}{2}$, figura arată aceste puncte: unul în cadranul I, celălalt în cadranul III, simetric față de origine. Tangenta dată reduce așadar posibilitățile la o pereche de puncte, iar informația despre cadran alege unul dintre ele.

Calculul urmează desenul. Notăm $c=\cos x$; din $\mathrm{tg}x=\frac{1}{2}$ avem $\sin x=\frac{c}{2}$. Punctul este pe cerc, deci $c^2+\frac{c^2}{4}=1$, adică $\frac{5c^2}{4}=1$ și $c^2=\frac{4}{5}$. Rezultă $c=\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$, iar sinusul este jumătate din cosinus: $\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$, cu același semn. Cele două semne corespund exact celor două puncte din figură.

În general, pentru $\mathrm{tg}x=t$, aceeași substituție dă $c^2(1+t^2)=1$, deci ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+t^2}$. Nu e o formulă nouă, ci formula fundamentală în care sinusul a fost înlocuit prin produsul dintre tangentă și cosinus. Merită reținut drumul, nu rezultatul: dacă îl uiți, îl refaci în două rânduri.

4. Cum afli cadranul când enunțul nu-l numește?

Multe enunțuri nu scriu „cadranul III”, ci dau o condiție din care cadranul se deduce. Regula semnelor funcționează aici în sens invers: citești semnele și cauți cadranul care le are pe amândouă.

Iată cele mai frecvente forme. Un interval, de pildă $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$, numește cadranul prin capetele lui. O pereche de semne, de pildă „sinusul negativ și cosinusul pozitiv”, lasă un singur cadran, al IV-lea. O condiție pe tangentă plus una pe o coordonată funcționează la fel: tangenta pozitivă înseamnă cadranul I sau III, iar un cosinus negativ elimină cadranul I.

Poziția unui punct este o altă formă a aceleiași informații. „Punctul $M(x)$ se află sub axa $Ox$” înseamnă sinus negativ; „la stânga axei $Oy$” înseamnă cosinus negativ. Scrie condiția ca inegalitate înainte de a căuta cadranul, altfel e ușor să confunzi axa cu semnul.

Un caz aparte: dacă datul și condiția spun același lucru, cadranul nu este fixat. De exemplu, $\sin x=-\frac{1}{4}$ împreună cu condiția $\sin x<0$ nu adaugă nimic, pentru că semnul era deja în valoare. Verifică de fiecare dată că informația suplimentară privește altă funcție decât cea dată.

5. Ce faci dacă nu există nicio informație despre cadran?

Atunci problema are două soluții, și ambele trebuie scrise. Motivul este geometric. O valoare a sinusului fixează o dreaptă orizontală, care taie cercul în două puncte simetrice față de axa $Oy$; o valoare a cosinusului fixează o dreaptă verticală, cu două puncte simetrice față de axa $Ox$; o valoare a tangentei fixează o dreaptă prin origine, cu două puncte simetrice față de $O$.

Perechile de cadrane sunt, prin urmare, diferite de la un caz la altul. Sinusul pozitiv lasă cadranele I și II, cosinusul pozitiv lasă I și IV, tangenta pozitivă lasă I și III. Scrie răspunsul ca două rânduri separate, fiecare cu cadranul lui, ca să se vadă că nu e vorba de o ezitare, ci de două puncte diferite.

Excepțiile sunt valorile extreme. Pentru $\sin x=1$ sau $\cos x=-1$ dreapta este tangentă la cerc și există un singur punct, deci un singur răspuns. La tangentă nu există asemenea excepție: orice valoare a ei corespunde la două puncte.

6. De ce reducem întâi și abia apoi înlocuim?

În cerințele tip Bacalaureat M2, datul se referă la $x$, dar expresia cerută conține argumente ca $\pi -x$, $\pi +x$ sau $2\pi -x$. Formulele de reducere le transformă în funcții ale lui $x$: din formulele pentru π + x și 2π − x la M2 și din reducerea la primul cadran la M2 știi, de exemplu, că $\cos (2\pi -x)-\mathrm{tg}(\pi +x)$ devine $\cos x-\mathrm{tg}x$.

Ordinea contează din două motive. Primul: după reducere, expresia conține doar $\sin x$, $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$, adică exact valorile pe care le știi calcula. Al doilea: fiecare formulă de reducere schimbă sau păstrează un semn, iar dacă înlocuiești înainte să reduci, trebuie să afli în ce cadran este $\pi +x$, un pas în plus în care se strecoară greșeli.

Aceeași ordine se aplică și când datul însuși conține o reducere. Dacă enunțul spune $\sin (2\pi -x)=a$, scrii întâi $\sin x=-a$ și abia apoi intri în calculul obișnuit. Formulele pentru tangentă, din lecția despre formulele pentru tangentă la M2, se folosesc la fel.

7. Cum verifici un rezultat înainte să-l scrii?

Trei probe durează împreună mai puțin de un minut. Prima este mărginirea: sinusul și cosinusul găsite trebuie să fie între $-1$ și $1$. A doua este formula fundamentală: suma pătratelor trebuie să dea exact $1$, ceea ce prinde o greșeală de calcul cu radicali. A treia este tabelul semnelor: cele trei valori trebuie să aibă semnele cadranului.

Mai există o probă, specifică tangentei date: produsul dintre tangenta din enunț și cosinusul găsit trebuie să fie chiar sinusul găsit. Dacă ai obținut cosinusul $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ pentru tangenta $\frac{1}{2}$, sinusul trebuie să fie $-\frac{\sqrt{5}}{5}$, nu $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Probele nu înlocuiesc raționamentul, dar îl completează. O greșeală de semn trece de formula fundamentală, fiindcă pătratele șterg semnele; o greșeală de calcul trece de tabelul semnelor. Împreună, cele trei probe acoperă aproape tot ce poate merge prost într-un asemenea exercițiu.

Un obicei util la lucrările scrise: notează probele pe scurt, pe un rând, lângă rezultat. Cine corectează vede că ai controlat semnele, iar tu vezi imediat dacă un rezultat a ieșit dintr-o transcriere greșită a datelor. Proba cere doar câteva secunde, pe când o valoare greșită, folosită mai departe într-o expresie cu reduceri, strică tot restul cerinței.

8. Ce se întâmplă în punctele de pe axe?

Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran, iar acolo metoda se simplifică sau se oprește. Dacă datul este $\sin x=1$, formula fundamentală dă ${\cos }^{2}x=0$, deci cosinusul este zero și nu mai există nicio alegere de semn: punctul este chiar vârful cercului. În schimb, tangenta nu există, pentru că ar cere o împărțire la zero; programa de științe o și definește doar în afara numerelor $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$.

Cazul invers este la fel de instructiv. Dacă tangenta este dată, cosinusul nu poate fi zero, fiindcă tangenta există; de aceea împărțirea la cosinus, folosită în exercițiile cu rapoarte, este întotdeauna permisă. Iar dacă tangenta este zero, dreapta prin origine este chiar axa $Ox$, care taie cercul în punctele de abscise $1$ și $-1$: sinusul este zero, iar cosinusul are două valori posibile, cu semne opuse, exact ca în cazul general al celor două puncte diametral opuse.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la sinus la cosinus și tangentă, în cadranul III

Fie $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ cu $\sin x=-\frac{133}{205}$. Determină $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

Rezolvare. Intervalul este cadranul III: sinusul și cosinusul sunt negative, tangenta este pozitivă. Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-\frac{17689}{42025}=\frac{24336}{42025}$, iar $\sqrt{24336}=156$, deci modulul cosinusului este $\frac{156}{205}$.

Cu semnul cadranului, $\cos x=-\frac{156}{205}$. Apoi $\mathrm{tg}x=\frac{-133/205}{-156/205}=\frac{133}{156}$, pozitivă, cum cere cadranul III. Proba: $133^2+156^2=17689+24336=42025=205^2$.

Exemplul 2 — Tangenta dată, cadranul III

Numărul $x$ aparține intervalului $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ și are $\mathrm{tg}x=\frac{120}{119}$. Află cosinusul și sinusul lui.

Rezolvare. Punctul $M(x)$ este pe dreapta prin origine cu panta $\frac{120}{119}$, în cadranul III, unde ambele coordonate sunt negative. Cu $\sin x=\frac{120}{119}\cos x$ în formula fundamentală obținem ${\cos }^{2}x\left(1+\frac{14400}{14161}\right)=1$, adică ${\cos }^{2}x=\frac{14161}{28561}$.

Cum $\sqrt{14161}=119$ și $\sqrt{28561}=169$, avem $\cos x=-\frac{119}{169}$. Sinusul este produsul dintre tangentă și cosinus: $\sin x=\frac{120}{119}\cdot \left(-\frac{119}{169}\right)=-\frac{120}{169}$. Ambele valori sunt negative, cum cere cadranul III. Numerele $119$, $120$ și $169$ formează un triunghi dreptunghic, lucru pe care îl confirmă și proba: $119^2+120^2=14161+14400=28561=169^2$. O tangentă apropiată de $1$ corespunde unui punct aflat aproape de bisectoarea cadranului.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă: „$\mathrm{tg}x=-3$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Din ${\cos }^{2}x=\frac{1}{10}$ rezultă $\cos x=\frac{\sqrt{10}}{10}$, iar $\sin x=-3\cos x=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$.” Unde a greșit?

Rezolvare. Calculul lui ${\cos }^{2}x$ este corect: $1+9=10$. Greșeala este semnul: în cadranul II cosinusul este negativ, iar elevul a luat radicalul pozitiv. Valorile lui aparțin punctului diametral opus, din cadranul IV, pe care tangenta nu-l poate deosebi.

Corect: $\cos x=-\frac{\sqrt{10}}{10}$ și $\sin x=-3\cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)=\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Proba semnelor ar fi prins greșeala imediat: în cadranul II sinusul este pozitiv, iar elevul l-a obținut negativ.

Exemplul 4 — Cadranul ascuns într-o condiție

Despre numărul $x\in [0,2\pi ]$ știm că $\sin x=-\frac{2}{5}$ și $\cos x>0$. Determină $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

Rezolvare. Sinusul negativ lasă cadranele III și IV; cosinusul pozitiv lasă I și IV. Singurul cadran comun este IV. Din ${\cos }^{2}x=1-\frac{4}{25}=\frac{21}{25}$ și din condiția dată, $\cos x=\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Tangenta este $\mathrm{tg}x=\frac{-2/5}{\sqrt{21}/5}=-\frac{2}{\sqrt{21}}=-\frac{2\sqrt{21}}{21}$, negativă, ca în cadranul IV. Observă că aici condiția privea altă funcție decât cea dată; de aceea a fixat cadranul.

Exemplul 5 — Înclinația magnetică

Într-un laborator din România, un magnetometru măsoară componenta orizontală a câmpului magnetic terestru $B_h=24\mu \text{T}$ și componenta verticală $B_v=41,8\mu \text{T}$. Unghiul de înclinație $i$, dintre direcția câmpului și orizontală, este ascuțit și are $\mathrm{tg}i=\frac{B_v}{B_h}$. Află $\sin i$, $\cos i$ și intensitatea totală $B=\frac{B_h}{\cos i}$.

Rezolvare. Tangenta este $\frac{41,8}{24}=\frac{209}{120}$. Unghiul fiind ascuțit, toate valorile sunt pozitive. Din ${\cos }^{2}i\left(1+\frac{43681}{14400}\right)=1$ rezultă ${\cos }^{2}i=\frac{14400}{58081}$, iar $\sqrt{58081}=241$, deci $\cos i=\frac{120}{241}$ și $\sin i=\frac{209}{120}\cdot \frac{120}{241}=\frac{209}{241}$.

Intensitatea totală este $B=24\cdot \frac{241}{120}=48,2\mu \text{T}$, o valoare obișnuită la latitudinea țării noastre. Cum $\cos i=\frac{120}{241}\approx 0,4979$, puțin sub $\frac{1}{2}$, unghiul are puțin peste $\frac{\pi }{3}$: acul unei busole care s-ar putea înclina liber ar coborî sub orizontală cu aproximativ $60^{\circ }$. Modelul presupune un câmp local neperturbat, departe de obiecte metalice.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră numărul real $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ cu $\mathrm{tg}x=-\frac{1}{3}$. Arată că $\sin (\pi +x)+\cos (\pi -x)=-\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Rezolvare. Reducem întâi: $\sin (\pi +x)=-\sin x$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x$, deci expresia este $-(\sin x+\cos x)$. Urmează valorile: în cadranul IV cosinusul este pozitiv, iar ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+1/9}=\frac{9}{10}$ dă $\cos x=\frac{3\sqrt{10}}{10}$; apoi $\sin x=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Suma este $\sin x+\cos x=\frac{2\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{5}$, deci expresia cerută este $-\frac{\sqrt{10}}{5}$. Enunțul este construit în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I și nu reproduce o cerință oficială.

Să exersăm

Scrie cadranul și semnele înaintea fiecărui calcul. La final, fă cel puțin două dintre cele trei probe: mărginirea, formula fundamentală, semnele.

1. Fie $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cu $\sin x=\frac{221}{229}$. Află $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

2. Numărul $x$ aparține cadranului II, iar $\cos x=-\frac{140}{221}$. Află sinusul și tangenta lui.

3. Fie $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ cu $\sin x=-\frac{105}{233}$. Determină $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

4. Fie $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cu $\mathrm{tg}x=4$. Determină $\cos x$ și $\sin x$.

5. Numărul $x$ aparține cadranului II și are $\mathrm{tg}x=-\sqrt{2}$. Află cosinusul și sinusul lui.

6. Fie $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ cu $\mathrm{tg}x=-\frac{5}{2}$. Determină $\cos x$ și $\sin x$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ și $\mathrm{tg}x=\frac{24}{143}$, atunci $\sin x=-\frac{24}{145}$.

8. Pentru $\cos x=\frac{3}{7}$ și $\sin x<0$, stabilește cadranul, apoi află $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$.

9. Punctul $M(x)$ se află sub axa $Ox$, iar $\mathrm{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Calculează $\cos x$ și $\sin x$, apoi recunoaște numărul $x$ din $[0,2\pi ]$.

10. Singura informație despre $x\in [0,2\pi ]$ este $\mathrm{tg}x=2\sqrt{6}$. Scrie toate perechile posibile $(\cos x,\sin x)$ și precizează cadranul fiecăreia.

11. (Problemă aplicată.) Un panou fotovoltaic cu lungimea de $3,86$ m este montat pe un suport, astfel încât unghiul ascuțit $\alpha$ dintre panou și orizontală are $\mathrm{tg}\alpha =\frac{95}{168}$. Calculează $\sin \alpha$ și $\cos \alpha$, apoi cu cât este mai sus marginea de sus a panoului decât cea de jos și ce adâncime ocupă panoul pe orizontală.

12. Numărul $x$ aparține cadranului III, iar $\sin x=-\frac{3}{8}$. Află $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

13. Pentru $\mathrm{tg}x=5$, calculează $E=\frac{2\sin x-\cos x}{\sin x+3\cos x}$ fără să afli sinusul și cosinusul.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ cu $\cos x=-\frac{\sqrt{11}}{6}$. Arată că $\sin (\pi -x)-\cos (2\pi -x)=\frac{5+\sqrt{11}}{6}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ cu $\sin x=-\frac{85}{157}$. Calculează $\cos x$ și arată că $\mathrm{tg}(\pi -x)\cdot \cos (\pi +x)=-\frac{85}{157}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ cu $\mathrm{tg}x=-\frac{2}{3}$. Arată că $\cos (\pi +x)+\sin (2\pi -x)=\frac{\sqrt{13}}{13}$.

17. Datul este $\cos (\pi -x)=\frac{3}{11}$, cu $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. Determină $\cos x$, $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$.

18. (Provocare.) Singura informație despre $x$ este $\mathrm{tg}x=7$. Arată că $\sin x\cos x=\frac{7}{50}$ și că $\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\frac{4}{3}$, oricare ar fi cadranul.

Răspunsuri și explicații

1. Cadranul I: toate valorile sunt pozitive. ${\cos }^{2}x=1-\frac{48841}{52441}=\frac{3600}{52441}$, deci $\cos x=\frac{60}{229}$. Apoi $\mathrm{tg}x=\frac{221}{60}$, un număr mare, potrivit pentru un punct aflat aproape de vârful cercului.

2. În cadranul II sinusul este pozitiv. ${\sin }^{2}x=1-\frac{19600}{48841}=\frac{29241}{48841}$, iar $\sqrt{29241}=171$, deci $\sin x=\frac{171}{221}$. Tangenta este $\mathrm{tg}x=-\frac{171}{140}$, negativă, ca în cadranul II.

3. Intervalul este cadranul IV, unde cosinusul este pozitiv. ${\cos }^{2}x=1-\frac{11025}{54289}=\frac{43264}{54289}$, deci $\cos x=\frac{208}{233}$ și $\mathrm{tg}x=-\frac{105}{208}$.

4. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+16}=\frac{1}{17}$, iar în cadranul I, $\cos x=\frac{\sqrt{17}}{17}$. Sinusul este de patru ori cosinusul: $\sin x=\frac{4\sqrt{17}}{17}$. Proba: $\frac{1}{17}+\frac{16}{17}=1$.

5. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$, iar în cadranul II cosinusul este negativ: $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Atunci $\sin x=-\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\sqrt{6}}{3}$, pozitiv, cum trebuie.

6. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+25/4}=\frac{4}{29}$. În cadranul IV cosinusul este pozitiv: $\cos x=\frac{2\sqrt{29}}{29}$, iar $\sin x=-\frac{5}{2}\cdot \frac{2\sqrt{29}}{29}=-\frac{5\sqrt{29}}{29}$, negativ, cum cere cadranul.

7. Adevărat. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+\frac{576}{20449}}=\frac{20449}{21025}$, iar $\sqrt{20449}=143$ și $\sqrt{21025}=145$. În cadranul III cosinusul este negativ: $\cos x=-\frac{143}{145}$, iar $\sin x=\frac{24}{143}\cdot \left(-\frac{143}{145}\right)=-\frac{24}{145}$. Proba: $24^2+143^2=145^2$.

8. Cosinus pozitiv și sinus negativ: cadranul IV. ${\sin }^{2}x=1-\frac{9}{49}=\frac{40}{49}$, deci $\sin x=-\frac{2\sqrt{10}}{7}$ și $\mathrm{tg}x=\frac{-2\sqrt{10}/7}{3/7}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$.

9. Sub axa $Ox$ înseamnă sinus negativ; cu tangenta negativă, cosinusul este pozitiv, deci cadranul IV. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+1/3}=\frac{3}{4}$, așa că $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin x=-\frac{1}{2}$. Acestea sunt valorile lui $x=\frac{11\pi }{6}$.

10. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+24}=\frac{1}{25}$. Tangenta pozitivă lasă cadranele I și III. În cadranul I: $\left(\frac{1}{5},\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)$; în cadranul III: $\left(-\frac{1}{5},-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)$. Cele două puncte sunt diametral opuse.

11. Unghiul este ascuțit. ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+9025/28224}=\frac{28224}{37249}$, deci $\cos \alpha =\frac{168}{193}$ și $\sin \alpha =\frac{95}{193}$. Diferența de nivel este $3,86\cdot \frac{95}{193}=1,9$ m, iar adâncimea pe orizontală este $3,86\cdot \frac{168}{193}=3,36$ m.

12. În cadranul III cosinusul este negativ. ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{64}=\frac{55}{64}$, deci $\cos x=-\frac{\sqrt{55}}{8}$. Tangenta este $\frac{-3/8}{-\sqrt{55}/8}=\frac{3}{\sqrt{55}}=\frac{3\sqrt{55}}{55}$, pozitivă.

13. Cosinusul este nenul, fiindcă tangenta există. Împărțim numărătorul și numitorul la $\cos x$: $E=\frac{2\mathrm{tg}x-1}{\mathrm{tg}x+3}=\frac{10-1}{5+3}=\frac{9}{8}$. Rezultatul nu depinde de cadran.

14. Reducem: $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (2\pi -x)=\cos x$, deci expresia este $\sin x-\cos x$. În cadranul II, ${\sin }^{2}x=1-\frac{11}{36}=\frac{25}{36}$ dă $\sin x=\frac{5}{6}$. Atunci $\sin x-\cos x=\frac{5}{6}+\frac{\sqrt{11}}{6}=\frac{5+\sqrt{11}}{6}$.

15. Cadranul IV: ${\cos }^{2}x=1-\frac{7225}{24649}=\frac{17424}{24649}$, deci $\cos x=\frac{132}{157}$. Reducem: $\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$, iar produsul lor este $\mathrm{tg}x\cos x$, adică $\sin x=-\frac{85}{157}$.

16. Reducem: $\cos (\pi +x)+\sin (2\pi -x)=-\cos x-\sin x$. În cadranul II, ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+4/9}=\frac{9}{13}$ dă $\cos x=-\frac{3\sqrt{13}}{13}$, iar $\sin x=-\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)=\frac{2\sqrt{13}}{13}$. Suma cerută este $\frac{3\sqrt{13}}{13}-\frac{2\sqrt{13}}{13}=\frac{\sqrt{13}}{13}$.

17. Datul se reduce întâi: $\cos (\pi -x)=-\cos x$, deci $\cos x=-\frac{3}{11}$, negativ, cum cere cadranul III. Apoi ${\sin }^{2}x=1-\frac{9}{121}=\frac{112}{121}$, iar în cadranul III sinusul este negativ: $\sin x=-\frac{4\sqrt{7}}{11}$. Tangenta este $\mathrm{tg}x=\frac{-4\sqrt{7}/11}{-3/11}=\frac{4\sqrt{7}}{3}$, pozitivă.

18. Din ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+49}=\frac{1}{50}$ rezultă $\sin x\cos x=\mathrm{tg}x\cdot {\cos }^{2}x=\frac{7}{50}$, fără niciun semn de ales. Pentru raport, împărțim la $\cos x$: $\frac{\mathrm{tg}x+1}{\mathrm{tg}x-1}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. În ambele cadrane posibile, I și III, rezultatele coincid: trecerea de la un punct la cel opus schimbă semnul atât al sinusului, cât și al cosinusului, iar produsul și raportul rămân neschimbate.

De reținut

• Dintr-un sinus sau un cosinus dat obții modulul celeilalte coordonate cu formula fundamentală; semnul îl alegi o singură dată, după cadran, iar tangenta rezultă prin împărțire.
• O tangentă dată fixează dreapta prin origine cu acea pantă, deci o pereche de puncte diametral opuse; din $\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x$ în formula fundamentală rezultă ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}$.
• Cadranul poate fi dat printr-un interval, prin semnele a două funcții sau prin poziția punctului față de axe; o condiție pe aceeași funcție ca datul nu fixează cadranul.
• Fără nicio informație despre cadran, scrii două seturi de valori, fiecare cu cadranul lui; expresiile care se pot scrie numai cu tangenta nu depind de alegere.
• În cerințele tip Bacalaureat M2 reduci întâi argumentele $\pi \pm x$, $2\pi -x$ la funcții ale lui $x$, apoi calculezi și înlocuiești; la final faci probele mărginirii, formulei fundamentale și semnelor.

Greșeli frecvente

• Tangenta luată drept sinus. Din $\mathrm{tg}x=\frac{1}{2}$ se scrie $\sin x=\frac{1}{2}$. Tangenta este un raport de coordonate, nu o coordonată; sinusul se obține abia după ce afli cosinusul.
• Cadranul dedus doar din semnul tangentei. O tangentă pozitivă nu înseamnă automat cadranul I: la fel de bine poate fi cadranul III. E nevoie și de semnul uneia dintre coordonate.
• Raportul întors. Se calculează $\frac{\cos x}{\sin x}$ în loc de $\frac{\sin x}{\cos x}$. Tangenta are sinusul la numărător, ca panta: ordonata supra abscisa.
• Datul lăsat neredus. La $\sin (\pi +x)=\frac{5}{7}$ se ia $\sin x=\frac{5}{7}$ și se pierde semnul. Datul se reduce la fel ca expresia cerută, înainte de orice calcul.
• Pătratul unei fracții făcut pe jumătate. Se scrie „${\left(\frac{28}{197}\right)}^2=\frac{784}{197}$”, ridicând la pătrat doar numărătorul. Formula fundamentală semnalează imediat greșeala: diferența $1-\frac{784}{197}$ este negativă, deci pătratul cosinusului ar ieși negativ.

Aplică acasă

1. Magnetometrul din telefon. Multe telefoane au un senzor magnetic, iar unele aplicații gratuite afișează componentele câmpului, în microtesla. Așază telefonul pe masă, departe de obiecte metalice, notează componenta verticală și pe cele orizontale, apoi calculează tangenta înclinației, sinusul, cosinusul și intensitatea totală. Compară rezultatul cu valoarea afișată de aplicație.
2. Foaia de calcul care alege semnul. Construiește o foaie în care introduci o tangentă și numărul cadranului, iar formulele calculează cosinusul și sinusul, cu semnele potrivite. Adaugă o coloană de control care calculează suma pătratelor. Testează-o pe exemplele din lecție și caută o valoare pentru care controlul ar semnala o greșeală de semn.
3. Dreapta care se rotește. Într-un program de geometrie dinamică, desenează cercul de rază $1$ și o dreaptă prin origine a cărei pantă o controlezi cu un cursor. Afișează coordonatele celor două puncte de intersecție. Mișcă cursorul și verifică, pentru trei pante, că pătratul abscisei este inversul lui $1$ plus pătratul pantei.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie partea de calcul a unității și pregătește aplicațiile în geometrie care urmează, unde valorile trigonometrice ale unghiurilor unui triunghi se obțin adesea una din alta: elevul trebuie să treacă de la orice valoare trigonometrică dată la celelalte două, să deducă cadranul din condiții de semn și să recunoască situația cu două răspunsuri. Dificultatea reală nu e aritmetica, ci disciplina semnelor și ordinea „reduc, apoi înlocuiesc”. Întrebări utile: „Ce dreaptă determină o tangentă dată și câte puncte comune are ea cu cercul?”; „Condiția $\sin x<0$ fixează cadranul dacă datul este chiar sinusul?”. Semne că elevul a înțeles: scrie cadranul înaintea calculului, face o probă fără să i se ceară și nu confundă tangenta cu una dintre coordonate. Când verificați caietul, merită urmărite separat semnul și calculul: o valoare cu modulul corect și semnul greșit arată o problemă de citire a cadranului, nu de algebră, și se tratează altfel. Pentru rădăcinile definițiilor din gimnaziu se poate relua sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit, din clasa a VII-a; la științe, dintre rapoartele gimnaziului se păstrează sinusul, cosinusul și tangenta, fără cotangentă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, unde formula fundamentală și formulele de reducere sunt enumerate printre formulele trigonometrice de bază. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține capitolul „Elemente de trigonometrie”, cu cercul trigonometric, funcțiile sinus, cosinus, tangentă și reducerea la primul cadran. Modelul oficial din 2026 conține la Subiectul I o cerință de trigonometrie într-un triunghi dreptunghic; un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta încheie unitatea de formule a profilului mate-info. Pe traseul M2 urmează trigonometria în triunghiul dreptunghic, recapitulare la M2, iar exercițiile de sinteză sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la această lecție în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, calculul se face pe intervalul de la zero la doi pi, fără cotangentă, iar legătura dintre tangentă și cosinus se argumentează pe cerc, cu dreapta prin origine, nu se memorează ca formulă. Accentul cade pe cadranul dedus din condiții și pe modele din fizică. Lecția M1 lucrează pentru orice număr real și încadrează identitatea dintre tangentă și cosinus ca formulă de reținut.

La ce subiect al bacalaureatului M2 folosesc acest tip de calcul?

Programa de examen pentru 2027–2029 conține cercul trigonometric, funcțiile sinus, cosinus, tangentă și reducerea la primul cadran. În modelul oficial din 2026, cerința de trigonometrie este la Subiectul I și privește un triunghi dreptunghic. Calculul din această lecție îți dă valorile de care ai nevoie în astfel de cerințe.

De ce tangenta singură nu îmi spune în ce cadran este punctul?

Tangenta este panta dreptei care unește originea cu punctul de pe cerc. O dreaptă prin origine iese din cerc prin două puncte opuse, aflate în cadrane opuse: primul și al treilea sau al doilea și al patrulea. Ambele puncte au aceeași pantă, deci aceeași tangentă. Ai nevoie și de semnul unei coordonate ca să alegi.

Unde se leagă tangenta de panta unei drepte din geometria analitică?

În lecția despre panta unei drepte ai calculat panta ca raport între diferența ordonatelor și diferența absciselor. Pentru dreapta care trece prin origine și prin punctul de pe cercul trigonometric, acest raport este ordonata supra abscisa, adică sinusul supra cosinusul. Așadar tangenta numărului este chiar panta dreptei.

Ce fac când enunțul dă o valoare pentru sinusul lui pi plus x?

Reduci întâi datul, exact ca pe expresia cerută. Sinusul lui pi plus x este opusul sinusului lui x, deci valoarea dată se transformă în sinusul lui x cu semnul schimbat. Abia după aceea folosești formula fundamentală și cadranul. Dacă sari peste reducere, obții un răspuns cu semnul greșit.

Cum îmi dau seama repede că am greșit un semn?

Compară semnele celor trei valori obținute cu semnele cadranului: în cadranul al doilea, de exemplu, doar sinusul este pozitiv. Formula fundamentală nu te ajută aici, pentru că pătratele șterg semnele. Pentru o tangentă dată, înmulțește tangenta cu cosinusul găsit: trebuie să obții exact sinusul găsit, cu tot cu semn.