Cum arăt că aₙ=5n-2 este progresie aritmetică pentru orice rang?

Verifici relația la un rang oarecare, nu doar pe primii termeni: 2aₙ₊₁=2(5n+3)=10n+6, iar aₙ+aₙ₊₂=(5n-2)+(5n+8)=10n+6. Cele două expresii coincid pentru fiecare n, așa că șirul este o progresie aritmetică de rație 5.

Cum notez trei numere în progresie geometrică?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Progresii din trei termeni

Le scrii $\frac{b}{q}$ , $b$ , $b q$ : produsul lor este $b^{3}$ , deci termenul din mijloc iese direct dintr-un produs dat. Exemplu: trei numere în progresie geometrică au produsul $216$ și suma $26$ . Din $b^{3} = 216$ rezultă $b = 6$ , iar $\frac{6}{q} + 6 + 6 q = 26$ dă $3 q^{2} - 10 q + 3 = 0$ , cu $q = 3$ sau $q = \frac{1}{3}$ . Numerele sunt $2$ , $6$ , $18$ , în una dintre cele două ordini.

Nu ai nevoie de toată lista ca să recunoști o progresie: ajung câte trei termeni vecini. La progresia aritmetică fiecare termen este media vecinilor lui, $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ ; pe grafic, punctele $(n, a_{n})$ stau pe o dreaptă, iar fiecare este mijlocul segmentului dintre vecini.

La progresia geometrică relația devine $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ , dar numai când toți termenii sunt diferiți de zero: numerele $0$ , $0$ , $5$ verifică egalitatea fără să formeze o progresie geometrică. De aceea, într-o problemă cu parametru, după rezolvarea ecuației înlocuiești soluțiile și le elimini pe cele care anulează un termen.

Din $b^{2} = a c$ ies două valori opuse pentru termenul din mijloc, când $a c$ e pozitiv, și niciuna când $a c$ e negativ. Semnul îl alege contextul: o concentrație sau o populație sunt pozitive. Pentru o afirmație despre un șir întreg, relația se verifică la rangul $n$ oarecare, nu doar pe primii termeni.

Când problema dă suma sau produsul celor trei numere, scrierile $a - r$ , $a$ , $a + r$ și $\frac{b}{q}$ , $b$ , $b q$ scot rația dintr-o ecuație și dau direct termenul din mijloc.

De reținut

progresie aritmetică: $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$
progresie geometrică cu termeni nenuli: $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$
notații comode: $a - r$ , $a$ , $a + r$ și $\frac{b}{q}$ , $b$ , $b q$

Greșeala tipică

Se notează trei numere în progresie geometrică $b - q$ , $b$ , $b + q$ , ca la progresia aritmetică; la progresia geometrică pasul este o înmulțire, deci notația corectă este $\frac{b}{q}$ , $b$ , $b q$ .

Exerciții din această mini-lecție

Numerele nenule $a$ , $b$ , $c$ sunt, în această ordine, în progresie geometrică. Ce relație au?
- a) $2 b = a + c$
- b) $b^{2} = a c$
- c) $b = a c$
- d) $b^{2} = a + c$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $b^{2} = a c$

Rapoartele egale $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ dau, după înmulțirea cu $ab$ , relația $b^{2} = a c$ . Relația cu dublul și suma este a progresiei aritmetice.
Pentru ce valoare a lui $x$ sunt numerele $7$ , $x$ , $20$ , în această ordine, în progresie aritmetică?
- a) $13$
- b) $27$
- c) $13, 5$
- d) $140$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $13, 5$

Termenul din mijloc este media vecinilor: $x = \frac{7 + 20}{2} = 13, 5$ , cu rația $6, 5$ .
Al doilea termen al unei progresii geometrice este $- 6$ . Cât este produsul dintre primul și al treilea termen?
- a) $- 36$
- b) $12$
- c) $36$
- d) $- 12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $36$

Primul și al treilea termen sunt $\frac{- 6}{q}$ și $- 6 q$ , iar produsul lor este $(- 6)^{2} = 36$ , oricare ar fi rația: $b^{2} = a c$ .

Întrebări conexe

De ce numerele $0$ , $0$ , $5$ nu formează o progresie geometrică?

Relația $b^{2} = a c$ este verificată, fiindcă $0 = 0 \cdot 5$ , dar rația ar trebui să fie $\frac{0}{0}$ , care nu există. Criteriul geometric cere termeni nenuli, iar valorile care anulează un termen se elimină la final.

Cum arăt că $a_{n} = 5 n - 2$ este progresie aritmetică pentru orice rang?

Verifici relația la un rang oarecare, nu doar pe primii termeni: $2 a_{n + 1} = 2 (5 n + 3) = 10 n + 6$ , iar $a_{n} + a_{n + 2} = (5 n - 2) + (5 n + 8) = 10 n + 6$ . Cele două expresii coincid pentru fiecare $n$ , așa că șirul este o progresie aritmetică de rație $5$ .

Pentru ce $x$ sunt $x - 1$ , $x + 1$ , $2 x + 5$ în progresie geometrică?

Condiția $(x + 1)^{2} = (x - 1) (2 x + 5)$ dă $x^{2} + x - 6 = 0$ , cu $x = 2$ sau $x = - 3$ . Pentru $x = 2$ obții $1$ , $3$ , $9$ ; pentru $x = - 3$ obții $- 4$ , $- 2$ , $- 1$ . Ambele liste au termeni nenuli, deci ambele valori rămân.

Care sunt trei numere în progresie aritmetică cu suma $15$ și produsul $80$ ?

Le scrii $a - r$ , $a$ , $a + r$ ; suma $3 a = 15$ dă $a = 5$ . Produsul devine $5 (25 - r^{2}) = 80$ , deci $r^{2} = 9$ și $r = \pm 3$ . Numerele sunt $2$ , $5$ , $8$ , citite crescător sau descrescător.

Ce termen din mijloc are o progresie geometrică între $4$ și $- 9$ ?

Nu există unul real. Condiția $b^{2} = 4 \cdot (- 9) = - 36$ nu are soluții, fiindcă un pătrat nu este negativ. Termenii unei progresii geometrice reale aflați la doi pași unul de altul au mereu același semn.

Cum verific dacă trei măsurători la intervale egale arată o scădere exponențială?

Valorile unei scăderi exponențiale, luate la pași egali de timp, formează o progresie geometrică. Pentru activitățile $800$ , $400$ și $200$ Bq, $40 0^{2} = 160000 = 800 \cdot 200$ , deci criteriul geometric este îndeplinit, cu rația $\frac{1}{2}$ : activitatea se înjumătățește la fiecare pas.

Oamenii mai întreabă și: trei numere în progresie geometrică cu produs dat · notația b supra q, b, bq · termenul din mijloc al progresiei geometrice · cum aleg necunoscutele la progresia geometrică

Cum notez trei numere în progresie geometrică?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

De ce numerele 0, 0, 5 nu formează o progresie geometrică?

Cum arăt că an​=5n−2 este progresie aritmetică pentru orice rang?

Pentru ce x sunt x−1, x+1, 2x+5 în progresie geometrică?

Care sunt trei numere în progresie aritmetică cu suma 15 și produsul 80?

Ce termen din mijloc are o progresie geometrică între 4 și −9?