Caracterizarea progresiilor prin trei termeni consecutivi (M2, științe ale naturii)

Într-un laborator de biologie se pregătește o serie de diluții: fiecare soluție se obține din precedenta cu același factor. Laborantul măsoară prima și a treia concentrație și vrea să știe, fără să mai măsoare, cât trebuie să fie a doua. Răspunsul nu cere nici rația, nici formula termenului general, ci o singură relație între trei termeni consecutivi. Lecția face parte din traseul de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2) și arată cum recunoști o progresie privind câte trei termeni vecini. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema nu apare ca atare: programa nouă cere progresiile, în domeniul „Algebră”, prin termenul general și sumă. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține condiția ca n numere, pentru n ≥ 3, să fie în progresie.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: caracterizarea progresiilor prin trei termeni consecutivi este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28). Relația $2b=a+c$ pentru trei numere date ai folosit-o deja în lecția despre recunoașterea progresiei aritmetice; aici o transformăm într-un criteriu pentru un șir întreg și îi adăugăm perechea ei geometrică, pornind de la definiția din progresia geometrică și rația. Regulile pas cu pas din lecția despre șiruri definite prin recurență vor reapărea ca relații între trei termeni.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți criteriul progresiei aritmetice: un șir este progresie aritmetică exact când $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$ pentru orice rang.
• Vei ști să citești același criteriu pe grafic: punctele $(n,a_n)$ ale unei progresii aritmetice stau pe o dreaptă.
• Vei ști criteriul progresiei geometrice, $b_{n+1}^2=b_n{b}_{n+2}$, și de ce el cere termeni nenuli.
• Vei ști să afli termenul din mijloc dintre doi termeni dați și să discuți semnul lui.
• Vei ști să rezolvi probleme cu trei numere în progresie folosind notațiile $a-r$, $a$, $a+r$ și $\frac{b}{q}$, $b$, $bq$.
• Vei ști să respingi o soluție care face un termen al unei progresii geometrice egal cu zero.

Hai să descoperim împreună

1. Ce aduce criteriul față de definiție?

Definiția progresiei aritmetice cere ca diferența a doi termeni consecutivi să fie aceeași peste tot. Criteriul spune același lucru cu trei termeni. Criteriul progresiei aritmetice este echivalența următoare: un șir $(a_n{)}_{n\ge 1}$ are diferențe constante, adică e o progresie aritmetică, exact atunci când $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$ la fiecare rang $n\ge 1$; altfel spus, fiecare termen de după primul este media aritmetică a vecinilor săi.

Fiind o echivalență, ea se arată în două sensuri, ca în lecția despre echivalența „dacă și numai dacă”. Dacă șirul are rația $r$, atunci $a_n=a_{n+1}-r$ și $a_{n+2}=a_{n+1}+r$, iar suma lor este $2a_{n+1}$. Invers, dacă relația are loc la orice rang, ea se rescrie $a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n$: fiecare diferență este egală cu cea dinaintea ei, deci toate sunt egale cu prima, $a_2-a_1$, care devine rația.

Criteriul se folosește cu $n$ oarecare. Pentru șirul $c_n=\frac{4n+1}{3}$ calculezi separat $c_n+c_{n+2}=\frac{8n+10}{3}$ și $2c_{n+1}=\frac{2(4n+5)}{3}=\frac{8n+10}{3}$. Cele două expresii coincid pentru orice rang, deci șirul este progresie aritmetică. O verificare pe primii trei termeni ar fi dovedit doar că acei trei termeni sunt în progresie, nu că întregul șir este.

2. Ce spune relația pe un grafic?

Împarte relația la $2$: $a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+2}}{2}$. Punctele graficului sunt $(n,a_n)$, $(n+1,a_{n+1})$ și $(n+2,a_{n+2})$. Mijlocul segmentului dintre primul și al treilea are, după formula din lecția despre coordonatele mijlocului unui segment, abscisa $n+1$ și ordonata $\frac{a_n+a_{n+2}}{2}$ — adică exact punctul din mijloc.

Așadar criteriul spune că fiecare punct al graficului este mijlocul segmentului format de vecinii lui. Din aproape în aproape, toate punctele ajung pe aceeași dreaptă, graficul unei funcții afine, ca în lecția despre funcția afină. La o progresie geometrică cu termeni pozitivi și rație diferită de $1$, punctul din mijloc cade sub mijlocul segmentului: graficul se curbează.

Imaginea explică de ce criteriul aritmetic nu are nicio condiție suplimentară: orice trei puncte pot fi coliniare, oricare ar fi semnele lor. La criteriul geometric, vom vedea, lucrurile stau altfel. Tot din imagine se vede și de ce o progresie aritmetică nu se poate „curba”: dacă un singur punct ar ieși de pe dreaptă, el n-ar mai fi mijlocul vecinilor lui, iar relația ar cădea chiar în acel loc.

3. Cum arată criteriul pentru progresia geometrică?

La progresia geometrică se păstrează raportul. Pentru termeni nenuli, egalitatea a două rapoarte consecutive, $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{b_{n+2}}{b_{n+1}}$, se scrie fără fracții: $b_{n+1}^2=b_n{b}_{n+2}$. Criteriul complet este: când niciun termen al șirului nu e zero, șirul are rapoarte constante, adică e o progresie geometrică, exact atunci când $b_{n+1}^2=b_n{b}_{n+2}$ la fiecare rang $n\ge 1$.

Sensul direct: dacă $b_{n+1}=q{b}_n$ și $b_{n+2}=q^2{b}_n$, atunci $b_n{b}_{n+2}=q^2{b}_n^2=b_{n+1}^2$. Sensul invers: împărțind relația la produsul nenul $b_n{b}_{n+1}$, obții egalitatea rapoartelor consecutive, deci toate rapoartele sunt egale cu primul, $\frac{b_2}{b_1}$. Pentru trei numere nenule $a$, $b$, $c$, date în această ordine, condiția devine $b^2=ac$.

4. De ce cerem termeni nenuli?

Pentru că fără această condiție relația pătratică poate fi adevărată la numere care nu formează nicio progresie geometrică. Numerele $0$, $0$, $7$ verifică $0^2=0\cdot 7$, dar primul raport, $\frac{0}{0}$, nu are sens, iar definiția din lecția despre rația progresiei geometrice cere un prim termen nenul și o rație nenulă. Din orice progresie geometrică lipsesc, deci, zerourile.

Consecința practică apare în problemele cu parametru: după ce rezolvi ecuația $b^2=ac$, înlocuiești fiecare soluție în toate cele trei expresii și o elimini pe cea care anulează vreun termen. Pașii ecuației au fost corecți, dar ecuația singură nu știe că în progresia geometrică zeroul e interzis.

5. Ce semn are termenul din mijloc?

Din $b^2=ac$ rezultă $b=\sqrt{ac}$ sau $b=-\sqrt{ac}$, cu condiția ca produsul $ac$ să fie pozitiv. Între $1$ și $144$, de pildă, termenul din mijloc poate fi $12$ (rația $12$) sau $-12$ (rația $-12$): două progresii diferite, la fel de corecte. Dacă $ac$ este negativ, nu există niciun termen din mijloc real, iar cele două numere nu pot fi separate de un singur termen într-o progresie geometrică.

Cazul produsului negativ merită o frază în plus. Între $3$ și $-12$ nu se poate intercala niciun termen: ar trebui ca $b^2=-36$, imposibil pentru un număr real. Explicația ține de rație: primul și al treilea termen diferă prin factorul $q^2$, care e pozitiv, deci au mereu același semn. O progresie geometrică nu poate trece de la pozitiv la negativ în doi pași.

Numărul pozitiv $\sqrt{ac}$, pentru $a$ și $c$ pozitive, se numește media geometrică a lor. În problemele din științe, unde mărimile sunt concentrații, mase sau populații, termenii sunt pozitivi, iar soluția negativă se respinge din motive fizice, nu matematice. Într-o problemă de algebră fără context, ambele semne rămân.

6. Ce notații ajută la trei numere în progresie?

Când se dau suma sau produsul a trei numere în progresie, alegi necunoscutele astfel încât rația să dispară dintr-o ecuație. Pentru progresia aritmetică scrii $a-r$, $a$, $a+r$: suma lor este $3a$. Pentru progresia geometrică scrii $\frac{b}{q}$, $b$, $bq$, cu $b\ne 0$ și $q\ne 0$: produsul lor este $b^3$.

Condițiile $b\ne 0$ și $q\ne 0$ nu sunt formale: fără ele fracția $\frac{b}{q}$ nu are sens. La progresia aritmetică, produsul se scrie comod ca $(a-r)\cdot a\cdot (a+r)=a(a^2-r^2)$, iar la cea geometrică suma devine $b\left(\frac{1}{q}+1+q\right)$. Din ecuația simplă afli termenul din mijloc, apoi rația din cealaltă condiție. La final verifici numerele în ambele date ale problemei. Două rații opuse la progresia aritmetică, sau două rații inverse la cea geometrică, dau de obicei aceleași trei numere în ordine inversă.

7. Când ajunge o singură verificare?

Depinde ce se afirmă. Pentru „numerele $a$, $b$, $c$ sunt, în această ordine, în progresie” ajunge o singură relație, fiindcă sunt doar trei numere. Pentru „șirul $(a_n)$ este progresie” relația trebuie arătată cu rangul $n$ oarecare. Între cele două se află lecția următoare, despre condițiile pentru n numere și intercalarea termenilor, în care lista are patru, cinci sau mai mulți termeni.

8. Contează ordinea în care sunt scrise numerele?

Da, și enunțurile o spun prin cuvintele „în această ordine”. Numerele $1$, $12$, $144$ sunt, așa scrise, în progresie geometrică. Scrise $1$, $144$, $12$, ele nu mai sunt: $144^2$ este mult mai mare decât $1\cdot 12$. Mulțimea valorilor e aceeași, dar criteriul privește termenul din mijloc, iar acesta s-a schimbat.

Când enunțul spune doar că trei numere „pot fi așezate” în progresie, ai de încercat fiecare număr pe poziția din mijloc. La o progresie cu termeni pozitivi, termenul din mijloc este cel cuprins între celelalte două, deci o singură încercare ajunge; cu semne amestecate, încerci toate cele trei posibilități.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un șir dat prin formulă

Arătați că șirul $a_n=\frac{5-3n}{2}$, $n\ge 1$, este progresie aritmetică și precizați rația.

Rezolvare. Calculăm separat cei doi membri ai criteriului. Membrul drept: $a_n+a_{n+2}=\frac{5-3n+5-3n-6}{2}=\frac{4-6n}{2}=2-3n$. Membrul stâng: $2a_{n+1}=5-3(n+1)=2-3n$. Egalitatea are loc pentru orice $n\ge 1$, deci șirul este progresie aritmetică.

Rația este $a_2-a_1=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$: termenii scad cu o unitate și jumătate de la un rang la altul.

Exemplul 2 — Termenul din mijloc, cu ambele semne

Aflați valorile reale ale lui $x$ astfel încât lista $16$, $x$, $49$, păstrată în această ordine, să formeze o progresie geometrică.

Rezolvare. Toate numerele trebuie să fie nenule, iar condiția este $x^2=16\cdot 49=784$. Rezultă $x=28$ sau $x=-28$.

Media aritmetică a capetelor, $32,5$, ar fi răspunsul pentru o progresie aritmetică; la cea geometrică contează produsul, nu suma. Pentru $x=28$ progresia $16$, $28$, $49$ are rația $\frac{7}{4}$. Pentru $x=-28$ progresia $16$, $-28$, $49$ are rația $-\frac{7}{4}$: termenii schimbă semnul de la unul la altul. Ambele soluții sunt corecte, pentru că enunțul nu cere termeni pozitivi.

Exemplul 3 — O soluție care trebuie respinsă

Aflați valorile reale ale lui $x$ pentru care expresiile $2x-6$, $21-7x$ și $6x+19$, luate în această ordine, formează o progresie geometrică.

Rezolvare. Condiția $(21-7x{)}^2=(2x-6)(6x+19)$ se scrie $49(x-3{)}^2=2(x-3)(6x+19)$. Trecând totul într-un membru și dând factor comun pe $x-3$, obținem $(x-3)(49x-147-12x-38)=0$, adică $(x-3)(37x-185)=0$. Soluțiile ecuației sunt $x=3$ și $x=5$.

Pentru $x=3$ numerele sunt $0$, $0$, $37$: relația pătratică e verificată, dar primii doi termeni sunt nuli, deci nu avem o progresie geometrică. Soluția se respinge. Pentru $x=5$ numerele sunt $4$, $-14$, $49$, cu rapoartele $-\frac{7}{2}$ și $-\frac{7}{2}$. Răspunsul este $x=5$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: semnul „obligatoriu”

Pentru numerele $-4$, $b$, $-81$ un elev scrie: „Capetele sunt negative, deci și termenul din mijloc trebuie să fie negativ: singura soluție este $b=-18$.” Găsiți greșeala.

Rezolvare. Condiția este $b^2=(-4)\cdot (-81)=324$, deci $b=18$ sau $b=-18$. Ambele valori sunt bune. Cu $b=-18$ obținem $-4$, $-18$, $-81$, cu rația $\frac{9}{2}$. Cu $b=18$ obținem $-4$, $18$, $-81$, cu rația $-\frac{9}{2}$: termenii alternează ca semn, iar primul și al treilea, fiind despărțiți de doi pași, au același semn.

Elevul a presupus că o progresie geometrică păstrează semnul, lucru adevărat doar pentru rație pozitivă. Singura regulă de semn sigură este alta: primul și al treilea termen au același semn, fiindcă diferă printr-un factor $q^2>0$.

Exemplul 5 — Diluții succesive în laborator

Dintr-o soluție cu concentrația $0,81$ mg/mL se fac două diluții succesive, cu același factor de diluție. A doua diluție are concentrația $0,16$ mg/mL. Ce concentrație are soluția intermediară și care este factorul?

Rezolvare. Diluțiile cu același factor fac din concentrații o progresie geometrică, deci $c^2=0,81\cdot 0,16=0,1296$. Matematic, $c=0,36$ sau $c=-0,36$; o concentrație nu poate fi negativă, deci $c=0,36$ mg/mL.

Factorul este $\frac{0,36}{0,81}=\frac{4}{9}$: la fiecare pas rămân patru nouimi din concentrație — de pildă, $4$ mL de soluție completați cu apă până la $9$ mL. Control: $0,36\cdot \frac{4}{9}=0,16$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Determinați numărul real pozitiv $x$ astfel încât $x$, $35$ și $x+24$ să formeze, în această ordine, o progresie geometrică.

Rezolvare. Condiția este $35^2=x(x+24)$, adică $x^2+24x-1225=0$. Căutăm două numere cu produsul $-1225$ și suma $24$: acestea sunt $49$ și $-25$, deci ecuația se scrie $(x-25)(x+49)=0$, cu soluțiile $x=25$ și $x=-49$. Cum $x$ trebuie să fie pozitiv, $x=25$.

Verificare: numerele $25$, $35$, $49$ au rapoartele $\frac{7}{5}$ și $\frac{7}{5}$, iar $35^2=1225=25\cdot 49$.

Să exersăm

Înainte de calcul, scrie criteriul pe care îl folosești: $2b=a+c$ la progresia aritmetică, $b^2=ac$ cu termeni nenuli la cea geometrică. La sfârșit, înlocuiește soluțiile în toate expresiile.

1. Stabilește dacă numerele sunt în progresie aritmetică, geometrică sau în niciuna: a) $2,4$; $4,1$; $5,8$; b) $5$, $45$, $405$; c) $2$, $9$, $17$.

2. Folosind criteriul cu rangul $n$ oarecare, arată că șirul $b_n=\frac{11^n}{3}$ are rapoarte constante; află rația.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numerele $49$, $56$, $64$ sunt în progresie geometrică; dacă adunăm $2$ la fiecare, obținem tot trei numere în progresie geometrică.”

4. Arată că numerele $\sqrt{5}-1$, $2$, $\sqrt{5}+1$ sunt în progresie geometrică și calculează rația.

5. Un șir verifică $a_1=-4$, $a_2=-1,3$ și $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n$. Arată că este progresie aritmetică și calculează $a_4$.

6. Un șir cu termeni nenuli verifică $u_{n+1}^2=u_n{u}_{n+2}$ pentru orice $n$, cu $u_1=11$ și $u_2=2$. Calculează $u_3$ și $u_4$.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x-5$, $x^2$ și $6x+9$, scrise în această ordine, formează o progresie aritmetică.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, au suma $45$ și produsul $840$. Determinați numerele.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, au produsul $2744$ și suma $67$. Determinați numerele.

10. (Problemă aplicată.) Un cărucior coboară un plan înclinat cu accelerație constantă. Vitezele lui la $3$ s, $6$ s și $9$ s de la pornirea cronometrului sunt $4,2$ m/s, $v$ și $9,6$ m/s. Explică de ce aceste viteze sunt în progresie aritmetică și află $v$.

11. Pe suprafața unui iaz, numărul de frunzulițe de linte-de-apă crește cu același factor în fiecare zi. În ziua a doua sunt $4900$ de frunzulițe, iar în ziua a patra $6400$. Câte frunzulițe sunt în ziua a treia?

12. Arată că șirul $c_n=2n+3^n$ nu este nici progresie aritmetică, nici progresie geometrică.

13. Arată că numerele $m$, $m+6$, $m+13$ nu sunt în progresie aritmetică pentru nicio valoare a lui $m$, dar sunt în progresie geometrică pentru exact una. Care este aceea?

14. Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt în progresie aritmetică. Arată că unul dintre unghiuri are $60^{\circ }$.

15. Pentru numerele $4$ și $121$, calculează media aritmetică și media geometrică. Scrie cele două liste de trei numere care se formează și compară termenii din mijloc.

16. Arată că numerele $2^p$, $2^s$, $2^t$ sunt în progresie geometrică exact când exponenții $p$, $s$, $t$ sunt în progresie aritmetică. Verifică pe $\frac{1}{2}$, $4$, $32$.

17. Determină numerele pozitive $x$ și $y$ pentru care $110$, $x$, $y$ sunt în progresie aritmetică, iar $x$, $y$, $144$ sunt în progresie geometrică.

18. (Provocare.) Arată că, dacă $a$, $b$, $c$ sunt în progresie aritmetică, atunci și numerele $a^2-bc$, $b^2-ac$, $c^2-ab$ sunt în progresie aritmetică.

Răspunsuri și explicații

1. a) $2\cdot 4,1=8,2=2,4+5,8$, deci progresie aritmetică cu rația $1,7$. b) $45^2=2025=5\cdot 405$, deci progresie geometrică cu rația $9$. c) $2\cdot 9=18\ne 19=2+17$ și $9^2=81\ne 34=2\cdot 17$: niciuna.

2. Toți termenii sunt pozitivi. $b_n{b}_{n+2}=\frac{11^n\cdot 11^{n+2}}{9}=\frac{11^{2n+2}}{9}$, iar $b_{n+1}^2=\frac{11^{2n+2}}{9}$. Egalitatea are loc pentru orice $n$, deci șirul este progresie geometrică, cu rația $\frac{b_2}{b_1}=11$.

3. Fals. Numerele noi sunt $51$, $58$, $66$, iar $58^2=3364$, în timp ce $51\cdot 66=3366$. Diferența e mică, dar egalitatea nu are loc. Adunarea aceleiași constante păstrează diferențele, deci păstrează progresiile aritmetice, nu și rapoartele.

4. Produsul capetelor este $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=5-1=4=2^2$, iar toate numerele sunt nenule, deci sunt în progresie geometrică. Rația este $\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

5. Relația $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n$ este chiar $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$, deci șirul este progresie aritmetică, cu rația $a_2-a_1=2,7$. Atunci $a_3=1,4$ și $a_4=4,1$.

6. Din relație, $u_3=\frac{u_2^2}{u_1}=\frac{4}{11}$ și $u_4=\frac{u_3^2}{u_2}=\frac{8}{121}$. Șirul este progresie geometrică cu rația $\frac{2}{11}$.

7. Criteriul aritmetic dă $2x^2=(x-5)+(6x+9)=7x+4$, adică $2x^2-7x-4=0$, care se descompune în $(x-4)(2x+1)=0$. Pentru $x=4$ numerele sunt $-1$, $16$, $33$, cu rația $17$. Pentru $x=-\frac{1}{2}$ numerele sunt $-\frac{11}{2}$, $\frac{1}{4}$, $6$, cu rația $\frac{23}{4}$. Ambele valori sunt bune: la progresia aritmetică nu se cer termeni nenuli și nici un anumit semn.

8. Cu notația $a-r$, $a$, $a+r$: $3a=45$, deci $a=15$. Apoi $15(225-r^2)=840$, adică $225-r^2=56$ și $r^2=169$, $r=\pm 13$. Numerele sunt $2$, $15$, $28$ (sau în ordine inversă). Verificare: $2+15+28=45$ și $2\cdot 15\cdot 28=840$.

9. Cu notația $\frac{b}{q}$, $b$, $bq$: $b^3=2744$, deci $b=14$. Apoi $\frac{14}{q}+14+14q=67$, adică $14q^2-53q+14=0$, care se descompune în $(2q-7)(7q-2)=0$, cu soluțiile $q=\frac{7}{2}$ și $q=\frac{2}{7}$. Numerele sunt $4$, $14$, $49$ (sau în ordine inversă).

10. La mișcarea cu accelerație constantă, viteza crește cu aceeași cantitate în intervale de timp egale; momentele $3$ s, $6$ s și $9$ s sunt egal depărtate, deci vitezele sunt în progresie aritmetică. $2v=4,2+9,6=13,8$, deci $v=6,9$ m/s. Accelerația este $\frac{2,7}{3}=0,9$ m/s².

11. Numerele de frunzulițe din zilele a doua, a treia și a patra sunt în progresie geometrică, deci $N^2=4900\cdot 6400=31360000$ și $N=5600$ de frunzulițe (soluția negativă nu are sens). Factorul zilnic este $\frac{8}{7}$.

12. $c_1=5$, $c_2=13$, $c_3=33$. Criteriul aritmetic: $2\cdot 13=26\ne 38=5+33$. Criteriul geometric: $13^2=169\ne 165=5\cdot 33$. Primii trei termeni nu verifică niciun criteriu, deci șirul nu e nici una, nici alta.

13. Criteriul aritmetic ar cere ca $2(m+6)$, adică $2m+12$, să fie egal cu $2m+13$ — imposibil, oricare ar fi $m$, fiindcă cele două expresii diferă mereu cu o unitate. Criteriul geometric cere $(m+6{)}^2=m(m+13)$, adică $m^2+12m+36=m^2+13m$, deci $m=36$. Progresia $36$, $42$, $49$ are toți termenii nenuli și rația $\frac{7}{6}$.

14. Scriem unghiurile $x-r$, $x$, $x+r$. Suma lor este $3x=180^{\circ }$, deci $x=60^{\circ }$: unghiul din mijloc are $60^{\circ }$, oricare ar fi rația admisă (una pentru care toate unghiurile rămân pozitive).

15. Media aritmetică este $\frac{4+121}{2}=62,5$, iar media geometrică este $\sqrt{4\cdot 121}=22$. Lista $4$; $62,5$; $121$ este o progresie aritmetică. Lista $4$, $22$, $121$ este o progresie geometrică, cu rația $\frac{11}{2}$. Termenul geometric din mijloc este mai mic: $22<62,5$.

16. Numerele puteri ale lui $2$ sunt nenule, iar $(2^s{)}^2=2^p\cdot 2^t$ înseamnă $2^{2s}=2^{p+t}$, adică $2s=p+t$, criteriul aritmetic pentru exponenți. Pentru $\frac{1}{2}$, $4$, $32$ exponenții sunt $-1$, apoi $2$ și $5$, cu $2\cdot 2=-1+5$, iar $4^2=16=\frac{1}{2}\cdot 32$.

17. Din prima condiție $y=2x-110$, iar din a doua $y^2=144x$. Rezultă $4x^2-584x+12100=0$, adică $x^2-146x+3025=0$, care se descompune în $(x-25)(x-121)=0$. Pentru $x=25$ ar ieși $y=-60$, negativ, deci rămâne $x=121$, $y=132$. Verificare: $110$, $121$, $132$ au diferența $11$, iar $132^2=17424=121\cdot 144$.

18. Scriem $b=a+r$ și $c=a+2r$. Atunci $a^2-bc=-3ar-2r^2$, $b^2-ac=r^2$ și $c^2-ab=3ar+4r^2$. Suma primului și a celui de-al treilea este $2r^2$, adică dublul celui din mijloc, deci cele trei numere sunt în progresie aritmetică.

De reținut

• Un șir este progresie aritmetică exact când $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$ pentru orice rang $n$; pe grafic, fiecare punct $(n+1,a_{n+1})$ este mijlocul segmentului dintre vecinii lui, iar toate punctele stau pe o dreaptă.
• Dacă niciun termen nu e zero, rapoartele sunt constante exact când $b_{n+1}^2=b_n{b}_{n+2}$ la fiecare rang; pentru trei numere nenule, condiția devine $b^2=ac$.
• Din $b^2=ac$ rezultă două valori opuse pentru $b$, când $ac>0$, niciuna când $ac<0$; semnul se alege după context, iar primul și al treilea termen au mereu același semn.
• O soluție care anulează un termen se respinge, chiar dacă verifică relația pătratică.
• Pentru trei numere cu sumă sau produs dat, notațiile $a-r$, $a$, $a+r$ (suma $3a$) și $\frac{b}{q}$, $b$, $bq$ (produsul $b^3$) fac ca o ecuație să dea direct termenul din mijloc.

Greșeli frecvente

• Criteriul geometric aplicat cu $2b=a+c$. Relația cu dublul și suma este a progresiei aritmetice; la cea geometrică apar pătratul și produsul. Înainte de calcul, spune în cuvinte: „diferențe egale” sau „rapoarte egale”.
• Suma a trei termeni geometrici scrisă $3b$. Notația $\frac{b}{q}$, $b$, $bq$ simplifică produsul, care devine $b^3$, nu și suma. Suma rămâne $b\left(\frac{1}{q}+1+q\right)$; regula „suma este de trei ori termenul din mijloc” ține numai de progresia aritmetică.
• Relația aplicată unor termeni care nu sunt vecini. Pentru termenii de rang $1$, $2$ și $4$ se scrie $b_2^2=b_1{b}_4$, deși între $b_2$ și $b_4$ mai e un pas. Relația de mijloc leagă un termen de doi termeni egal depărtați de el: $b_3^2=b_1{b}_5$, $b_2^2=b_1{b}_3$.
• Ordinea din enunț ignorată. „În această ordine” fixează termenul din mijloc; „pot fi așezate în progresie” lasă liber care e la mijloc. Tratarea celui de-al doilea enunț ca pe primul pierde soluții, iar invers adaugă soluții false.
• Rația uitată după notația simetrică. Din $3a=45$ afli termenul din mijloc, dar problema cere numerele: calculezi rația din a doua condiție și scrii toate cele trei valori, verificate în ambele date.

Aplică acasă

1. Diluția din bucătărie. Pune într-un pahar $20$ mL de ceai de hibiscus concentrat și completează cu apă până la $100$ mL. Din acest amestec ia $20$ mL și completează din nou până la $100$ mL, apoi repetă o dată. Scrie concentrația ceaiului în cele trei pahare și verifică relația $b^2=ac$. Compară culorile: diferența vizibilă scade mult mai repede decât ai crede.

2. Punctele pe hârtie milimetrică. Desenează punctele $(n,a_n)$ pentru o progresie aritmetică și pentru una geometrică alese de tine, câte cinci termeni. Unește cu rigla primul și al treilea punct din fiecare, marchează mijlocul și măsoară distanța până la al doilea punct. Scrie ce observi despre fiecare progresie.

3. Unghiuri în progresie. Desenează trei triunghiuri diferite cu unghiurile în progresie aritmetică, de pildă cu rațiile $10^{\circ }$, $30^{\circ }$ și $50^{\circ }$. Măsoară cu raportorul și verifică de fiecare dată unghiul de $60^{\circ }$. Încearcă apoi să desenezi unul cu rația $70^{\circ }$ și explică de ce nu reușești.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă definiția progresiilor într-un instrument de verificare locală: trei termeni vecini ajung ca să decidă. Pentru elevul de științe, relația are o imagine clară — punctele unei progresii aritmetice sunt coliniare, iar media geometrică apare firesc la diluții, la creșteri cu factor constant, la orice mărime care se înmulțește pas cu pas. Ideile noi sunt două: ipoteza termenilor nenuli și discuția semnului.

De urmărit în caiet: criteriul scris înainte de calcul; ambele valori din $b^2=ac$, urmate de alegerea justificată; verificarea fiecărei soluții în toate expresiile; rangul oarecare atunci când se cere o proprietate a șirului. Întrebări de control: „De ce trebuie termenii nenuli?”; „Poate fi negativ termenul din mijloc între două numere pozitive?”; „De ce suma a trei numere în progresie aritmetică e de trei ori termenul din mijloc?”. Cea mai frecventă scăpare nu e de calcul, ci de citire: elevul rezolvă corect ecuația și uită că a găsit un termen nul sau o concentrație negativă. Semn că elevul a înțeles: după ce rezolvă ecuația, se întoarce singur la enunț.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul de șiruri al clasei a IX-a, „condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n ≥ 3”, al cărei caz de bază sunt trei termeni consecutivi. Programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, cere progresiile prin termenul general și prin sumă, fără acest criteriu. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință despre progresii, iar exercițiile marcate aici sunt antrenament în limitele programei. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 progresiile aparțin domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: caracterizarea progresiilor la mate-info (M1). Toate criteriile de aici se exersează împreună în testul suplimentului pentru mulțimi și șiruri.

Întrebări frecvente

Cum aflu rația dacă știu doar primul și al treilea termen? La progresia aritmetică, între primul și al treilea termen sunt doi pași egali, deci rația este jumătatea diferenței lor. La cea geometrică, raportul lor este pătratul rației, deci rația este una dintre cele două rădăcini pătrate ale raportului, dacă raportul e pozitiv. Semnul se alege după termenul din mijloc sau după context.

De ce nu există termen din mijloc între un număr pozitiv și unul negativ, la progresia geometrică? Pentru că primul și al treilea termen diferă prin factorul $q^2$, care este pozitiv oricare ar fi rația reală nenulă. Ei au, deci, același semn. Între $3$ și $-12$, de pildă, ar trebui ca pătratul termenului din mijloc să fie $-36$, iar niciun număr real nu are pătratul negativ.

Ce legătură are criteriul aritmetic cu dreapta? Relația $a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+2}}{2}$ spune că punctul $(n+1,a_{n+1})$ este mijlocul segmentului dintre $(n,a_n)$ și $(n+2,a_{n+2})$. Dacă asta se întâmplă la orice rang, toate punctele graficului sunt pe aceeași dreaptă. De aceea termenul general al unei progresii aritmetice are forma $rn+c$: o expresie de gradul întâi în $n$ când rația $r$ e nenulă, o constantă când $r=0$.

Ce legătură are media geometrică cu diluțiile din laborator? Când fiecare soluție se obține din precedenta cu același factor, concentrațiile formează o progresie geometrică. Concentrația intermediară dintre două diluții este atunci media geometrică a vecinelor ei, nu media lor aritmetică. Laborantul poate controla astfel o soluție fără s-o mai măsoare: pătratul ei trebuie să fie produsul celor două vecine.

Ce diferă lecția de M2 față de cea de mate-info (M1)? Ambele predau cele două criterii. La M2 accentul cade pe interpretarea lor — punctele coliniare, media geometrică în diluții și în creșteri cu factor constant — și pe alegerea semnului după context. Versiunea M1 insistă pe demonstrarea riguroasă a ambelor sensuri ca teoreme. Exercițiile de aici folosesc alte numere și alte situații decât cele de la mate-info.

La ce subiect apare caracterizarea progresiilor la bacalaureatul M2? Programa de examen M_șt-nat pentru 2027–2029 cere condiția ca $n$ numere să fie în progresie, pentru $n\ge 3$, fără să precizeze subiectul. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerințele scurte de la Subiectul I sunt din materia claselor a IX-a și a X-a și nu conțin progresii. Exercițiile marcate în lecție sunt antrenament în limitele programei.