Cât face 2¹⁰: 2⁷?

Baza rămâne 2, iar exponenții se scad: 10 - 7 = 3, deci rezultatul este 2³ = 8. Verifici și pe îndelete: 2¹⁰ = 1024, 2⁷ = 128, iar 1024: 128 = 8, exact cât a dat regula.

Cum simplific fracția 3⁸/3⁵?

Linia de fracție înseamnă împărțire, deci se aplică aceeași regulă: scazi exponenții și obții 3³ = 27. Practic, cei cinci factori de jos taie cinci dintre cei opt de sus, lăsând trei factori de 3.

Cum împart două puteri cu aceeași bază?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Câtul puterilor cu aceeași bază

Păstrezi baza și scazi exponenții: exponentul de jos se ia din cel de sus. Regula vine din simplificare, fiindcă împărțitorul taie exact atâția factori câți are el, iar sus rămân restul. Așa, $3^{6} : 3^{2} = 3^{4} = 81$ . Condițiile sunt ca baza să fie aceeași și nenulă, iar exponentul de sus să nu fie mai mic decât cel de jos. Baza rămâne neatinsă, se schimbă doar exponentul.

Când împărțim două puteri cu aceeași bază, păstrăm baza și scădem exponenții: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ , cu condiția $m \geq n$ și $a \neq = 0$ .

Regula vine din simplificarea factorilor egali: scriem $a^{m} : a^{n}$ ca fracție, cu $m$ factori de $a$ la numărător și $n$ factori la numitor, tăiem $n$ perechi egale și rămân exact $m - n$ factori de $a$ .

Caz special: dacă exponenții sunt egali, $a^{n} : a^{n} = 1$ (orice număr nenul împărțit la el însuși), dar și $a^{n} : a^{n} = a^{n - n} = a^{0}$ . Așadar $a^{0} = 1$ , pentru orice $a \neq = 0$ .

Exemplu rezolvat: $3^{6} : 3^{2} = 3^{6 - 2} = 3^{4} = 81$ .

Atenție: baza trebuie să fie identică la ambele puteri (regula nu merge la $5^{4} : 2^{3}$ ), iar baza nu se modifică niciodată prin scădere — doar exponenții.

De reținut

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ , cu $a \neq = 0$ și $m \geq n$
baza rămâne neschimbată, se scad doar exponenții
regula cere neapărat aceeași bază la ambele puteri

Greșeala tipică

Se scad și bazele odată cu exponenții, iar $8^{5} : 2^{5}$ ajunge scris $6^{0}$ . Bazele diferite trebuie aduse întâi la una comună, iar baza nu se atinge niciodată prin scădere.

Exerciții din această mini-lecție

Scrie ca o singură putere rezultatul: $8^{9} : 8^{5}$ .
- a) $8^{4}$
- b) $8^{14}$
- c) $8^{45}$
- d) $1^{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $8^{4}$

Bazele sunt egale (ambele $8$ ) și $9 \geq 5$ , deci păstrăm baza și scădem exponenții: $8^{9} : 8^{5} = 8^{9 - 5} = 8^{4}$ . Varianta b) greșește adunând exponenții în loc să-i scadă, c) îi înmulțește, iar d) schimbă greșit baza în $1$ .
Scrie ca o singură putere rezultatul: $1 2^{19} : 1 2^{15}$ .
- a) $1 2^{4}$
- b) $1 2^{34}$
- c) $1 2^{285}$
- d) $1^{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1 2^{4}$

Bazele sunt egale (ambele $12$ ) și $19 \geq 15$ , deci păstrăm baza și scădem exponenții: $1 2^{19} : 1 2^{15} = 1 2^{19 - 15} = 1 2^{4}$ . Varianta b) greșește adunând exponenții ( $19 + 15 = 34$ ) în loc să-i scadă, c) îi înmulțește ( $19 \times 15 = 285$ ), iar d) schimbă greșit baza în $1$ .
Care dintre următoarele egalități este adevărată?
- a) $7^{6} : 7^{2} = 7^{3}$
- b) $7^{6} : 3^{2} = 7^{4}$
- c) $7^{6} : 7^{2} = 7^{4}$
- d) $7^{6} : 7^{2} = 4 9^{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $7^{6} : 7^{2} = 7^{4}$

Bazele sunt egale ( $7$ ), deci scădem exponenții: $6 - 2 = 4$ , adică $7^{6} : 7^{2} = 7^{4}$ . Varianta a) greșește scăderea ( $6 - 2 \neq = 3$ ), b) aplică regula la baze diferite ( $7$ și $3$ ), ceea ce nu este permis, iar d) schimbă greșit baza. Singura egalitate adevărată este $7^{6} : 7^{2} = 7^{4}$ .

Întrebări conexe

Cât face $2^{10} : 2^{7}$ ?

Baza rămâne 2, iar exponenții se scad: $10 - 7 = 3$ , deci rezultatul este $2^{3} = 8$ . Verifici și pe îndelete: $2^{10} = 1024$ , $2^{7} = 128$ , iar $1024 : 128 = 8$ , exact cât a dat regula.

Cum simplific fracția $\frac{3 ^{8}}{3 ^{5}}$ ?

Linia de fracție înseamnă împărțire, deci se aplică aceeași regulă: scazi exponenții și obții $3^{3} = 27$ . Practic, cei cinci factori de jos taie cinci dintre cei opt de sus, lăsând trei factori de 3.

Cum scriu împărțirea unui milion la o mie cu puteri?

Un milion este $1 0^{6}$ , iar o mie este $1 0^{3}$ . Împărțirea devine $1 0^{6} : 1 0^{3} = 1 0^{3}$ , adică o mie. Cu puteri, calculul se face din cap, fără să numeri zerourile unul câte unul.

Cum verific rezultatul unei împărțiri de puteri?

Înmulțești câtul obținut cu împărțitorul și trebuie să iasă deîmpărțitul. Dacă din $5^{7} : 5^{4}$ ai obținut $5^{3}$ , verifici că $5^{3} \cdot 5^{4} = 5^{7}$ , fiindcă la înmulțire exponenții se adună. Cele două reguli se controlează reciproc.

Se schimbă baza când scad exponenții?

Nu, niciodată. Baza spune ce număr se repetă ca factor, iar împărțirea doar reduce de câte ori apare el. Din $7^{9} : 7^{2}$ iese $7^{7}$ , nu $1^{7}$ și nici $5^{9}$ . Scăderea atinge exclusiv exponenții.

Cum împart trei puteri cu aceeași bază?

Scazi pe rând, de la stânga la dreapta. Din $6^{10} : 6^{3} : 6^{2}$ obții întâi $6^{7}$ , apoi $6^{5}$ . Poți aduna și cei doi exponenți de jos, $3 + 2 = 5$ , scăzându-i dintr-o dată din 10.

Oamenii mai întreabă și: câtul puterilor cu aceeași bază · împărțirea puterilor · regula câtului la puteri · cum împart puteri cu baza egală