Unde ajunge un punct care parcurge 25π/4 pe cercul trigonometric?

Scoți turele întregi: 25π/4=6π+ π/4, adică trei ture complete și încă π/4. Punctul ajunge în același loc ca M(π/4), în cadranul I, la jumătatea drumului dintre A și B.

Câte puncte diferite dau pe cerc numerele π/3, 7π/3 și - 5π/3?

Un singur punct. Numerele diferă între ele prin multipli de 2π: 7π/3= π/3+2π, iar - 5π/3= π/3-2π. O tură completă, în orice sens, readuce punctul în aceeași poziție.

Ce lungime are arcul dintre M(π/6) și M(2π/3)?

Pe cercul trigonometric raza este 1, deci lungimea arcului este diferența numerelor: 2π/3- π/6= π/2≈1,57. Arcul este un sfert de cerc, iar razele către cele două puncte sunt perpendiculare.

Ce număr din [0,2π) corespunde simetricului lui M(5π/4) față de origine?

Simetricul față de origine se obține adunând π: 5π/4+π= 9π/4. Numărul depășește 2π, așa că scazi o tură: 9π/4-2π= π/4. Punctul din cadranul III are simetricul în cadranul I.

Cum aflu simetricul lui M(t) pe cercul unitate?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Cercul trigonometric

Pentru punctul $M (t)$ , simetricul față de axa $O y$ corespunde lui $π - t$ , simetricul față de origine lui $π + t$ , iar simetricul față de axa $O x$ lui $2 π - t$ . Exemplu: pentru $t = \frac{π}{5}$ obții $\frac{4 π}{5}$ în cadranul II, $\frac{6 π}{5}$ în cadranul III și $\frac{9 π}{5}$ în cadranul IV. Cele patru puncte formează un dreptunghi înscris în cerc.

Cercul trigonometric are centrul în originea reperului și raza unu. Arcele pornesc din punctul A(1, 0), iar sensul pozitiv este cel invers acelor de ceasornic. Pe acest cerc, drumul parcurs și unghiul în radiani sunt același număr.

Pentru un număr t cuprins între zero și doi pi, pleci din A și mergi pe cerc un drum de lungime t. Ajungi în punctul M(t). Sferturile de tură duc, pe rând, în B sus, în A' la stânga și în B' jos; între ele se află cele patru cadrane, numerotate în sensul pozitiv.

Un număr scris fără pi se plasează prin comparație cu aproximările reperelor: pi pe doi, pi, trei pi pe doi și doi pi. Folosește destule zecimale.

Când mișcarea cuprinde câteva ture, păstrezi doar restul rămas după turele întregi. O rotație în sensul acelor de ceasornic, pornită din A, cu drumul s, duce în punctul lui doi pi minus s. Punctele simetrice față de axa verticală, față de origine și față de axa orizontală corespund numerelor pi minus t, pi plus t și doi pi minus t.

De reținut

față de $O y$ : $π - t$ ; față de $O$ : $π + t$ ; față de $O x$ : $2 π - t$
$t$ și $t + 2 k π$ dau același punct pe cerc
pe cercul trigonometric lungimea arcului este egală cu măsura în radiani

Greșeala tipică

Se ia $π + t$ drept simetricul față de axa $O x$ ; acela este simetricul față de origine, iar față de $O x$ corespunde $2 π - t$ .

Exerciții din această mini-lecție

În ce cadran se află punctul $M (\frac{7 π}{9})$ ?
- a) cadranul I
- b) cadranul II
- c) cadranul III
- d) cadranul IV
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) cadranul II

Fracția $\frac{7}{9}$ este între $\frac{1}{2}$ și $1$ , deci punctul este între $B$ și $A^{'}$ .
Ce punct este $M (\frac{3 π}{2})$ pe cercul trigonometric?
- a) $A (1, 0)$
- b) $B (0, 1)$
- c) $A^{'} (- 1, 0)$
- d) $B^{'} (0, - 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $B^{'} (0, - 1)$

Trei sferturi de tură, parcurse din $A$ în sens pozitiv, duc în punctul de jos, $B^{'}$ .
În ce cadran se află punctul $M (2, 8)$ ?
- a) cadranul I
- b) cadranul II
- c) cadranul III
- d) cadranul IV
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) cadranul II

Avem $1, 5708 < 2, 8 < 3, 1416$ , deci numărul este între $\frac{π}{2}$ și $π$ .

Întrebări conexe

Unde ajunge un punct care parcurge $\frac{25 π}{4}$ pe cercul trigonometric?

Scoți turele întregi: $\frac{25 π}{4} = 6 π + \frac{π}{4}$ , adică trei ture complete și încă $\frac{π}{4}$ . Punctul ajunge în același loc ca $M (\frac{π}{4})$ , în cadranul I, la jumătatea drumului dintre $A$ și $B$ .

În ce cadran se află pe cercul trigonometric numărul $4$ ?

Compari cu reperele: $π \approx 3, 14$ și $\frac{3 π}{2} \approx 4, 71$ . Cum $3, 14 < 4 < 4, 71$ , punctul $M (4)$ este în cadranul III, sub axa $O x$ și la stânga axei $O y$ . Numărul fără $π$ se măsoară tot în radiani.

Câte puncte diferite dau pe cerc numerele $\frac{π}{3}$ , $\frac{7 π}{3}$ și $- \frac{5 π}{3}$ ?

Un singur punct. Numerele diferă între ele prin multipli de $2 π$ : $\frac{7 π}{3} = \frac{π}{3} + 2 π$ , iar $- \frac{5 π}{3} = \frac{π}{3} - 2 π$ . O tură completă, în orice sens, readuce punctul în aceeași poziție.

Ce lungime are arcul dintre $M (\frac{π}{6})$ și $M (\frac{2 π}{3})$ ?

Pe cercul trigonometric raza este $1$ , deci lungimea arcului este diferența numerelor: $\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2} \approx 1, 57$ . Arcul este un sfert de cerc, iar razele către cele două puncte sunt perpendiculare.

Ce număr din $[0, 2 π)$ corespunde simetricului lui $M (\frac{5 π}{4})$ față de origine?

Simetricul față de origine se obține adunând $π$ : $\frac{5 π}{4} + π = \frac{9 π}{4}$ . Numărul depășește $2 π$ , așa că scazi o tură: $\frac{9 π}{4} - 2 π = \frac{π}{4}$ . Punctul din cadranul III are simetricul în cadranul I.

Unde ajunge o bilă care parcurge $9$ m pe o pistă circulară cu raza de $1$ m?

Pe un cerc cu raza $1$ , drumul parcurs este chiar măsura în radiani. Scazi o tură: $9 - 2 π \approx 2, 72$ , între $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ și $π \approx 3, 14$ . Bila a făcut o tură completă și se află în cadranul II, deasupra centrului și la stânga lui.

Oamenii mai întreabă și: puncte simetrice pe cercul trigonometric · pi minus t pi plus t 2pi minus t · simetricul unui punct pe cercul unitate · puncte asociate simetrice

Cum aflu simetricul lui M(t) pe cercul unitate?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Unde ajunge un punct care parcurge 425π​ pe cercul trigonometric?

În ce cadran se află pe cercul trigonometric numărul 4?

Câte puncte diferite dau pe cerc numerele 3π​, 37π​ și −35π​?

Ce lungime are arcul dintre M(6π​) și M(32π​)?

Ce număr din [0,2π) corespunde simetricului lui M(45π​) față de origine?

Unde ajunge o bilă care parcurge 9 m pe o pistă circulară cu raza de 1 m?