Cercul trigonometric: punctele asociate (M2, științe ale naturii)

Paleta unei turbine eoliene pornește din poziția orizontală și se rotește fără oprire. După câteva secunde, cum descriem exact unde se află? Putem spune cât s-a rotit, putem spune ce drum a parcurs vârful ei sau putem da coordonatele vârfului într-un reper. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), cercul trigonometric leagă aceste trei descrieri. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, unde cercul trigonometric deschide capitolul de trigonometrie. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține cercul trigonometric și definirea funcțiilor sinus și cosinus pe intervalul $[0,2\pi ]$.

Aici construim cercul, învățăm să așezăm pe el orice număr din intervalul $[0,2\pi ]$, să recunoaștem cadranele și să tratăm rotațiile mai lungi decât o tură sau în sensul acelor de ceasornic. Pornim de la măsura arcului în radiani la M2 și de la ecuația cercului studiată la M2.

Ce vei învăța

• Vei descrie cercul trigonometric prin centru, rază, originea arcelor și sensul pozitiv.
• Vei găsi punctul asociat unui număr din intervalul $[0,2\pi ]$ și vei spune în ce cadran se află sau pe ce axă.
• Vei plasa pe cerc numere scrise fără $\pi$, folosind aproximări potrivite ale reperelor.
• Vei reduce o rotație de mai multe ture și vei trata o rotație în sensul acelor de ceasornic.
• Vei recunoaște punctele simetrice față de axe și față de origine și vei scrie numerele lor.
• Vei trece de la coordonata unghiulară la cea metrică și la cea carteziană pentru același punct.

Hai să descoperim împreună

1. Ce cerc numim cerc trigonometric?

Avem nevoie de un cerc pe care drumurile și unghiurile să se citească fără conversii și ale cărui puncte să aibă coordonate simple. Alegerea se face în patru pași: fixăm centrul, raza, punctul de plecare și sensul.

Cercul trigonometric este cercul de rază $1$ centrat în originea $O$ a unui reper cartezian ortonormat, pe care am fixat originea arcelor în punctul $A(1,0)$ și am ales ca sens pozitiv de parcurgere sensul invers acelor de ceasornic.

Fiind un cerc cu centrul $O(0,0)$ și raza $1$, ecuația lui este $x^2+y^2=1$. Coordonatele unui punct verifică această egalitate dacă și numai dacă punctul aparține cercului. Cercul intersectează axele în patru puncte, pe care le numim o dată pentru totdeauna: $A(1,0)$ la dreapta, $B(0,1)$ sus, $A^{\prime }(-1,0)$ la stânga și $B^{\prime }(0,-1)$ jos.

De ce raza $1$? Cu această rază, relația $\ell =R\cdot t$ din lecția despre radiani devine $\ell =t$: drumul pe cerc și unghiul în radiani sunt același număr. De ce sensul invers acelor de ceasornic? Pentru că este sensul în care semiaxa pozitivă $Ox$ se rotește spre semiaxa pozitivă $Oy$, adică ordinea în care am numerotat axele reperului. Cele două alegeri sunt convenții, dar sunt aceleași în orice manual și în orice program de calcul.

2. Cum ajungem la punctul asociat unui număr?

Fie $t$ un număr din intervalul $[0,2\pi ]$. Pornim din $A$ și ne deplasăm pe cerc, în sens pozitiv, până parcurgem un arc de lungime $t$. Punctul în care ne oprim se numește punctul asociat numărului $t$ și se notează $M(t)$. Pentru $t=0$ rămânem în $A$; pentru $t=2\pi$ am făcut exact o tură și ne întoarcem tot în $A$.

Figura arată drumul pentru $t=1$. Arcul colorat are lungimea $1$, egală cu raza, deci unghiul la centru are un radian, aproximativ $57,3^{\circ }$. Punctul $M(1)$ se află în primul sfert al cercului, mai aproape de $B$ decât de $A$ ca poziție unghiulară, deoarece $57,3^{\circ }$ trece de jumătatea lui $90^{\circ }$.

Același punct poate fi descris în trei feluri. Coordonata unghiulară este unghiul la centru, $t$ radiani. Coordonata metrică este lungimea arcului parcurs din $A$, care pe acest cerc este tot $t$. Coordonata carteziană este perechea $(x,y)$ a punctului în reper. Primele două coincid ca număr doar pentru că raza este $1$. Pe o roată cu raza $R$, același unghi înseamnă un arc de $R\cdot t$, iar coordonatele carteziene se înmulțesc și ele cu $R$.

Deocamdată cunoaștem coordonatele carteziene numai pentru punctele de pe axe. Pentru celelalte puncte ale cercului, perechea $(x,y)$ va primi un nume în lecția despre sinus și cosinus. Aici ne interesează poziția: pe ce axă sau în ce cadran se află punctul.

Observă că fiecărui număr din interval îi corespunde un singur punct: drumul are o lungime precisă, iar sensul este fixat. Invers, un punct al cercului corespunde, în intervalul $[0,2\pi )$, unui singur număr. Singura excepție este punctul $A$, la care ajungem atât pentru $0$, cât și pentru $2\pi$, adică la începutul și la sfârșitul turei.

3. Unde sunt punctele de pe axe și cadranele?

Un sfert de tură are lungimea $\frac{\pi }{2}$. Parcurgând sferturi succesive din $A$, trecem prin punctele de pe axe în ordinea $B$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ și înapoi la $A$. Astfel $M\left(\frac{\pi }{2}\right)=B$, $M(\pi )=A^{\prime }$, $M\left(\frac{3\pi }{2}\right)=B^{\prime }$, iar $M(0)$ și $M(2\pi )$ sunt amândouă $A$.

Între aceste puncte se află cele patru cadrane, numerotate tot în sens pozitiv. Un punct $M(t)$ este în cadranul I dacă $t$ este strict între $0$ și $\frac{\pi }{2}$, în cadranul II dacă $t$ este strict între $\frac{\pi }{2}$ și $\pi$, în cadranul III dacă $t$ este strict între $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$ și în cadranul IV dacă $t$ este strict între $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$. Intervalele sunt deschise: capetele lor dau puncte de pe axe, care nu aparțin niciunui cadran.

Pentru un număr scris cu $\pi$, cel mai sigur este să compari fracția cu $\frac{1}{2}$, $1$ și $\frac{3}{2}$. De pildă, la $\frac{19\pi }{10}$, fracția $\frac{19}{10}$ este între $\frac{3}{2}$ și $2$, deci punctul este în cadranul IV. Poți lucra și în grade, dacă îți este mai comod, cu reperele $90^{\circ }$, $180^{\circ }$ și $270^{\circ }$.

4. Cum plasăm un număr care nu conține $\pi$?

Numerele obișnuite, ca $2$ sau $4,5$, sunt la fel de legitime ca numerele cu $\pi$: fiecare este o lungime de arc. Ca să le plasăm, avem nevoie de valorile aproximative ale reperelor:

$$\frac{\pi }{2}\approx 1,5708,\pi \approx 3,1416,\frac{3\pi }{2}\approx 4,7124,2\pi \approx 6,2832.$$

Pentru $t=4,5$ observăm că $3,1416<4,5<4,7124$, deci $M(4,5)$ se află în cadranul III, destul de aproape de $B^{\prime }$. Ordinea cifrelor contează: un număr ușor mai mic decât un reper cade în cadranul anterior, nu pe axă.

Câte zecimale ne trebuie? Atâtea cât să nu rămână dubii. Pentru un număr ca $3$, aproximarea $\pi \approx 3$ ar fi insuficientă, pentru că nu am putea spune de ce parte a lui $A^{\prime }$ se află punctul. Cu $\pi \approx 3,14$, decizia devine clară. Regula practică este să folosești cel puțin o zecimală în plus față de numărul pe care îl compari.

5. Ce se întâmplă după mai mult de o tură?

Un rotor care funcționează câteva secunde face adesea mai multe ture. Poziția finală depinde numai de fracțiunea rămasă după turele întregi. Dacă un punct a parcurs un arc mai lung decât $2\pi$, scădem câte $2\pi$ până ajungem într-un număr din intervalul $[0,2\pi )$; punctul obținut este același.

De exemplu, un arc de lungime $\frac{25\pi }{7}$ depășește o tură. Scăzând $2\pi =\frac{14\pi }{7}$, rămâne $\frac{11\pi }{7}$, care este între $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$. Punctul final este în cadranul IV, iar drumul a cuprins o tură completă și încă puțin peste trei sferturi de tură.

Când mișcarea este dată prin turații, calculul se face mai comod în ture. Numărul de ture este un produs dintre turație și timp; partea întreagă se ignoră, iar partea fracționară, înmulțită cu $2\pi$, dă poziția. La clasa a IX-a lucrăm astfel, concret, cu numărul de ture. Descrierea tuturor numerelor care au același punct asociat, cu o formulă generală, aparține studiului funcțiilor trigonometrice pe toată mulțimea numerelor reale, din clasa a X-a.

În practică, calculul pe ture are și un avantaj de precizie. Dacă scrii numărul de ture ca zecimală, partea fracționară se vede imediat, fără împărțiri cu $\pi$. Abia la sfârșit înmulțești această fracțiune cu $2\pi$ și obții numărul asociat, pe care îl poți compara cu reperele $\frac{\pi }{2}$, $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$.

6. Cum descriem o rotație în sensul acelor de ceasornic?

Multe mecanisme se rotesc în sens orar: acele unui ceas, unele roți dințate, un tambur privit din față. Pe cercul trigonometric acesta este sensul negativ. Dacă un punct pornește din $A$ și se rotește în sens orar cu un arc de lungime $s$, unde $0\le s\le 2\pi$, el ajunge în același loc în care ar fi ajuns mergând în sens pozitiv un arc de lungime $2\pi -s$. Așadar punctul final este $M(2\pi -s)$.

Pentru $s=2$, punctul final este $M(2\pi -2)$, iar $2\pi -2\approx 4,2832$ se află între $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$. Punctul este în cadranul III, deși rotația a fost scurtă, de sub o treime de tură. Plecând în sens orar din $A$, trecem întâi prin cadranul IV și abia apoi prin cadranul III.

Dacă pornirea nu se face din $A$, ci dintr-un punct $M(t_0)$, o rotație în sens orar cu $s$ duce la numărul $t_0-s$. Dacă rezultatul este negativ, adăugăm o tură, adică $2\pi$, ca să-l aducem în intervalul $[0,2\pi )$. Ceasul este cazul tipic: ora $12$ corespunde punctului $B$, deci $t_0=\frac{\pi }{2}$, iar minutarul se rotește în sens orar cu $\frac{\pi }{30}$ pe minut.

Sensul unei rotații depinde și de locul din care privești. Un titirez care se învârte în sens invers acelor de ceasornic, privit de sus, pare să se rotească în sens orar dacă îl privești de dedesubt, printr-o masă de sticlă. De aceea, într-o problemă cu rotații, precizezi întâi din ce parte privești și abia apoi alegi sensul. Regula $2\pi -s$ transformă rotația în sens orar într-un număr pe care îl tratăm la fel ca pe celelalte.

7. Ce puncte sunt simetrice pe cerc?

Cercul trigonometric este simetric față de axa $Ox$, față de axa $Oy$ și față de origine. Fiecare dintre aceste simetrii duce un punct al cercului într-un alt punct al cercului, iar numerele asociate se leagă simplu între ele. Fie $t$ un număr din intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Simetricul lui $M(t)$ față de axa $Oy$ se obține pornind din $A^{\prime }$ și mergând înapoi cu arcul $t$; numărul lui este $\pi -t$. Simetricul față de origine este punctul diametral opus, la o jumătate de tură distanță; numărul lui este $\pi +t$. Simetricul față de axa $Ox$ se obține parcurgând arcul $t$ în sens orar din $A$; după regula din secțiunea precedentă, numărul lui este $2\pi -t$.

Pentru $t=\frac{\pi }{7}$, cele trei simetrice sunt $M\left(\frac{6\pi }{7}\right)$, $M\left(\frac{8\pi }{7}\right)$ și $M\left(\frac{13\pi }{7}\right)$, câte unul în fiecare dintre celelalte cadrane. Împreună cu $M\left(\frac{\pi }{7}\right)$, ele formează un dreptunghi înscris în cerc, cu laturile paralele cu axele.

Aceste relații privesc doar punctele. Ce se întâmplă cu coordonatele lor și cum se transformă ele în formule de calcul vei vedea în lecțiile despre reducerea la primul cadran. Deocamdată reține imaginea: simetria față de o axă păstrează o coordonată și o schimbă de semn pe cealaltă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei numere, trei cadrane

Precizează cadranul punctelor asociate numerelor $\frac{5\pi }{8}$, $\frac{13\pi }{10}$ și $\frac{17\pi }{9}$.

Rezolvare. Comparăm fracțiile cu reperele $\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{3}{2}$ și $2$. Fracția $\frac{5}{8}$ este între $\frac{1}{2}$ și $1$, deci $M\left(\frac{5\pi }{8}\right)$ este în cadranul II. Fracția $\frac{13}{10}$ este între $1$ și $\frac{3}{2}$, deci $M\left(\frac{13\pi }{10}\right)$ este în cadranul III. Fracția $\frac{17}{9}$ este între $\frac{3}{2}$ și $2$, deci $M\left(\frac{17\pi }{9}\right)$ este în cadranul IV.

Verificarea în grade confirmă: $112,5^{\circ }$, $234^{\circ }$ și $340^{\circ }$. Niciunul dintre numere nu dă un punct pe axe, pentru că nicio fracție nu este un multiplu de $\frac{1}{2}$.

Exemplul 2 — Același punct, trei descrieri

Descrie punctul $B^{\prime }$ prin coordonata unghiulară, prin coordonata metrică pe cercul trigonometric și prin coordonatele carteziene. Ce drum parcurge, pentru aceeași rotație, un punct de pe marginea unui disc cu raza de $0,3$ m?

Rezolvare. Punctul $B^{\prime }$ se atinge după trei sferturi de tură, deci coordonata unghiulară este $\frac{3\pi }{2}$ radiani, adică $270^{\circ }$. Pe cercul de rază $1$, arcul parcurs are tot lungimea $\frac{3\pi }{2}\approx 4,7124$. Coordonatele carteziene sunt $(0,-1)$.

Pe discul cu raza de $0,3$ m, aceeași rotație înseamnă un arc de $0,3\cdot \frac{3\pi }{2}=0,45\pi \approx 1,4137$ m. Unghiul rămâne același; drumul se înmulțește cu raza.

Exemplul 3 — Turbina eoliană

Rotorul unei turbine face $15$ rotații pe minut. Vârful unei pale pornește din poziția corespunzătoare lui $A$ și se rotește în sens pozitiv. Unde se află după $10,4$ secunde?

Rezolvare. Într-o secundă rotorul face $\frac{15}{60}=0,25$ ture, deci în $10,4$ secunde face $2,6$ ture. Cele două ture întregi readuc vârful în $A$; contează doar $0,6$ dintr-o tură. Numărul asociat este $0,6\cdot 2\pi =\frac{6\pi }{5}$, adică $216^{\circ }$, în cadranul III.

Modelul presupune turație constantă și pornire instantanee. Pentru o turbină reală, accelerarea de la pornire ar schimba numărul de ture, dar metoda rămâne aceeași: turele întregi nu influențează poziția.

Exemplul 4 — Minutarul ceasului

Minutarul unui ceas arată ora fixă, adică ora $12$. Ce număr din intervalul $[0,2\pi )$ corespunde poziției lui după $25$ de minute, pe cercul trigonometric cu centrul în axul ceasului?

Rezolvare. Ora $12$ corespunde punctului $B$, deci pornim de la $\frac{\pi }{2}$. Minutarul face o tură în $60$ de minute, deci în $25$ de minute se rotește în sens orar cu $\frac{25}{60}\cdot 2\pi =\frac{5\pi }{6}$. Numărul ar fi $\frac{\pi }{2}-\frac{5\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}$, negativ, așa că adăugăm o tură: $-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$.

Punctul $M\left(\frac{5\pi }{3}\right)$ se află în cadranul IV, adică în dreapta jos, exact unde se află cifra $5$ pe cadranul ceasului.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev afirmă că $M(4,6)$ se află în cadranul IV, „pentru că $4,6$ este aproape de $\frac{3\pi }{2}$”. Are dreptate?

Rezolvare. Nu. Reperul este $\frac{3\pi }{2}\approx 4,7124$, iar $4,6<4,7124$. Numărul este mai mic decât reperul, deci punctul nu a ajuns încă la $B^{\prime }$. Cum $4,6>\pi \approx 3,1416$, punctul $M(4,6)$ se află în cadranul III, aproape de $B^{\prime }$.

Apropierea de un reper nu spune de ce parte a lui se află numărul. Decizia se ia comparând valorile, cu destule zecimale.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră numărul $t=\frac{2\pi }{7}$. a) Precizează cadranul punctului $M(\pi +t)$. b) Determină numărul $u\in [0,2\pi )$ pentru care $M(u)$ este simetricul lui $M(t)$ față de axa $Ox$.

Rezolvare. a) $\pi +\frac{2\pi }{7}=\frac{9\pi }{7}$, iar $\frac{9}{7}$ este între $1$ și $\frac{3}{2}$, deci $M\left(\frac{9\pi }{7}\right)$ este în cadranul III. Punctul este diametral opus lui $M(t)$, care se află în cadranul I.

b) Simetricul față de $Ox$ are numărul $u=2\pi -\frac{2\pi }{7}=\frac{12\pi }{7}$, care aparține intervalului cerut. Enunțul este construit în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I, nu preia o cerință oficială.

Să exersăm

Schițează de fiecare dată cercul, marchează $A$, $B$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ și sensul pozitiv. Pentru numerele fără $\pi$ folosește aproximările reperelor cu patru zecimale.

1. Precizează cadranul punctelor asociate numerelor $\frac{\pi }{9}$, $\frac{8\pi }{9}$, $\frac{10\pi }{9}$ și $\frac{19\pi }{12}$.

2. Ce număr $t$ din intervalul $[0,2\pi ]$ are punctul asociat $B^{\prime }$? Dar $A^{\prime }$? Pentru ce două numere din interval punctul asociat este $A$?

3. Precizează cadranul punctelor $M(1,4)$, $M(3,5)$ și $M(5,9)$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Punctul $M(1,6)$ se află în cadranul I.

5. Un punct pornește din $A$ și parcurge pe cercul trigonometric, în sens pozitiv, un arc de lungime $\frac{7\pi }{12}$. Exprimă numărul asociat în grade și precizează cadranul.

6. Un volan cu raza de $0,5$ m se rotește în sens pozitiv cu $\frac{11\pi }{18}$ radiani, pornind din poziția corespunzătoare lui $A$. Ce drum parcurge un punct de pe marginea lui? În ce cadran se află punctul asociat pe cercul trigonometric?

7. Un punct pornit din $A$ parcurge în sens pozitiv un drum de $\frac{37\pi }{10}$. Scrie numărul din $[0,2\pi )$ al poziției finale și precizează cadranul.

8. Un punct pornește din $A$ și parcurge în sens pozitiv un drum de $\frac{31\pi }{4}$ pe cercul trigonometric. Câte ture întregi are drumul și în ce cadran se termină?

9. (Problemă aplicată.) Roata unui olar face $72$ de rotații pe minut. Un semn de pe marginea ei pornește din poziția lui $A$. Unde se află semnul după $3,75$ secunde?

10. Un punct pornește din $A$ și se rotește în sensul acelor de ceasornic cu un arc de lungime $\frac{\pi }{5}$. Ce număr din intervalul $[0,2\pi )$ corespunde poziției finale?

11. Minutarul unui ceas pornește de la ora $12$ și, mai puțin de o oră mai târziu, se află în poziția asociată numărului $\frac{2\pi }{3}$. Câte minute au trecut?

12. Verifică dacă punctele $P\left(\frac{12}{13},-\frac{5}{13}\right)$ și $Q(0,7;0,7)$ aparțin cercului trigonometric. Pentru punctul care aparține, precizează cadranul.

13. Scrie numerele din intervalul $[0,2\pi )$ asociate simetricelor punctului $M\left(\frac{\pi }{8}\right)$ față de axa $Oy$, față de origine și față de axa $Ox$.

14. Punctele $M(u)$ și $M\left(\frac{4\pi }{9}\right)$ sunt simetrice față de origine. Află $u\in [0,2\pi )$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că punctele $M\left(\frac{4\pi }{7}\right)$ și $M\left(\frac{10\pi }{7}\right)$ sunt simetrice față de axa $Ox$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numărul $t\in [0,2\pi )$ pentru care $M(t)$ coincide cu punctul asociat arcului de lungime $\frac{41\pi }{12}$ și precizează cadranul.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că punctul $M(\pi +1)$ se află în cadranul III.

18. (Provocare.) Două puncte pornesc simultan din $A$. Primul se rotește în sens pozitiv cu $\frac{\pi }{8}$ radiani pe secundă, al doilea în sens orar cu $\frac{3\pi }{8}$ radiani pe secundă. După câte secunde se întâlnesc prima dată și în ce punct?

Răspunsuri și explicații

1. $M\left(\frac{\pi }{9}\right)$ este în cadranul I, fiindcă $\frac{1}{9}<\frac{1}{2}$; $M\left(\frac{8\pi }{9}\right)$ este în cadranul II; $M\left(\frac{10\pi }{9}\right)$ este în cadranul III, fiindcă $\frac{10}{9}$ este între $1$ și $\frac{3}{2}$; $M\left(\frac{19\pi }{12}\right)$ este în cadranul IV. În grade: $20^{\circ }$, $160^{\circ }$, $200^{\circ }$, $285^{\circ }$.

2. $B^{\prime }$ corespunde lui $\frac{3\pi }{2}$, iar $A^{\prime }$ lui $\pi$. Punctul $A$ corespunde atât lui $0$, cât și lui $2\pi$, capetele intervalului.

3. $1,4<1,5708$, deci $M(1,4)$ este în cadranul I. $3,1416<3,5<4,7124$, deci $M(3,5)$ este în cadranul III. $4,7124<5,9<6,2832$, deci $M(5,9)$ este în cadranul IV.

4. Fals. $1,6>\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$, deci punctul a trecut de $B$ și se află în cadranul II, foarte aproape de axa $Oy$.

5. Pe cercul trigonometric, lungimea arcului este chiar numărul asociat. În grade, $\frac{7\pi }{12}=105^{\circ }$, iar $M\left(\frac{7\pi }{12}\right)$ se află în cadranul II.

6. Drumul este $\ell =0,5\cdot \frac{11\pi }{18}=\frac{11\pi }{36}\approx 0,9599$ m. Punctul asociat pe cercul trigonometric este $M\left(\frac{11\pi }{18}\right)$, adică $110^{\circ }$, în cadranul II.

7. Scădem o tură: $\frac{37\pi }{10}-2\pi =\frac{17\pi }{10}$, adică $306^{\circ }$. Punctul $M\left(\frac{17\pi }{10}\right)$ se află în cadranul IV.

8. Trei ture au $6\pi =\frac{24\pi }{4}$, iar $\frac{31\pi }{4}-6\pi =\frac{7\pi }{4}$. Punctul face trei ture complete și se oprește în $M\left(\frac{7\pi }{4}\right)$, în cadranul IV.

9. Roata face $\frac{72}{60}=1,2$ ture pe secundă, deci $1,2\cdot 3,75=4,5$ ture. Patru ture întregi readuc semnul în $A$, iar jumătatea de tură îl duce în $A^{\prime }(-1,0)$.

10. Poziția finală este $M\left(2\pi -\frac{\pi }{5}\right)=M\left(\frac{9\pi }{5}\right)$, un punct din cadranul IV, aproape de $A$.

11. Pornind de sus, de la ora $12$, în sens orar, minutarul trece prin cadranele I, IV și III și se oprește în cadranul II. Arcul parcurs este $\frac{\pi }{2}+2\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}$, iar minutarul parcurge $\frac{\pi }{30}$ pe minut, deci au trecut $\frac{11\pi }{6}:\frac{\pi }{30}=55$ de minute. Minutarul arată spre cifra $11$.

12. Pentru $P$: ${\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\left(-\frac{5}{13}\right)}^2=\frac{144+25}{169}=1$, deci $P$ aparține cercului; are abscisa pozitivă și ordonata negativă, deci este în cadranul IV. Pentru $Q$: $0,7^2+0,7^2=0,98\ne 1$, deci $Q$ nu aparține cercului, ci se află în interiorul lui.

13. Față de $Oy$: $\pi -\frac{\pi }{8}=\frac{7\pi }{8}$. Față de origine: $\pi +\frac{\pi }{8}=\frac{9\pi }{8}$. Față de $Ox$: $2\pi -\frac{\pi }{8}=\frac{15\pi }{8}$.

14. Simetricul față de origine este la o jumătate de tură distanță: $u=\frac{4\pi }{9}+\pi =\frac{13\pi }{9}$, care aparține intervalului $[0,2\pi )$.

15. $2\pi -\frac{4\pi }{7}=\frac{10\pi }{7}$, deci al doilea punct se obține parcurgând în sens orar, din $A$, același arc ca primul în sens pozitiv. Punctele sunt simetrice față de axa $Ox$: primul este în cadranul II, al doilea în cadranul III.

16. $\frac{41\pi }{12}-2\pi =\frac{17\pi }{12}$, deci $t=\frac{17\pi }{12}$, iar $\frac{17}{12}$ este între $1$ și $\frac{3}{2}$. Punctul este în cadranul III.

17. $\pi +1\approx 4,1416$, iar $\pi <\pi +1<\frac{3\pi }{2}$, pentru că $1<\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$. Deci punctul este în cadranul III; el este diametral opus lui $M(1)$.

18. Cele două puncte se apropie cu $\frac{\pi }{8}+\frac{3\pi }{8}=\frac{\pi }{2}$ radiani pe secundă, iar împreună trebuie să acopere o tură, $2\pi$. Se întâlnesc după $4$ secunde. Primul a parcurs $4\cdot \frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{2}$, deci întâlnirea are loc în $B(0,1)$; al doilea a parcurs în sens orar $\frac{3\pi }{2}$ și ajunge tot în $B$.

De reținut

• Cercul trigonometric are centrul în origine, raza $1$, originea arcelor în $A(1,0)$ și sensul pozitiv invers acelor de ceasornic; ecuația lui este $x^2+y^2=1$.
• Punctul $M(t)$ se obține parcurgând din $A$, în sens pozitiv, un arc de lungime $t$; pe acest cerc, lungimea arcului și măsura în radiani sunt același număr.
• Numerele $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$ dau puncte de pe axe; celelalte numere din $[0,2\pi ]$ cad în cadrane, stabilite prin comparație cu aceste repere.
• O rotație de mai multe ture se reduce scăzând ture întregi, iar o rotație în sens orar cu $s$, pornind din $A$, duce în $M(2\pi -s)$.
• Simetricul lui $M(t)$ față de $Oy$ este $M(\pi -t)$, față de origine $M(\pi +t)$, iar față de $Ox$ este $M(2\pi -t)$.

Greșeli frecvente

• Ora $12$ a ceasului pusă în $A$. Pe cercul trigonometric, ora $12$ este sus, în $B$, iar ora $3$ este în $A$; problemele cu ceasul pornesc de la $\frac{\pi }{2}$.
• Simetricul față de $Ox$ scris ca $M(\pi -t)$. Numărul $\pi -t$ dă simetricul față de axa verticală $Oy$; oglindirea în axa $Ox$ corespunde lui $2\pi -t$.
• Aproximarea $\pi \approx 3$ pentru numere apropiate de un reper. Pentru $3,1$, această aproximare mută punctul în cadranul III, deși el este în cadranul II; folosește destule zecimale.
• Fracțiunea de tură luată drept radiani. $0,6$ dintr-o tură înseamnă $0,6\cdot 2\pi =1,2\pi$ radiani, nu $0,6$ radiani.
• Numărul $t$ pus pe axa $Ox$. Punctul $M(1)$ nu are abscisa $1$; numărul se parcurge ca drum pe cerc, pornind din $A$, nu se măsoară pe axa orizontală.

Aplică acasă

1. Cadranul ceasului, tradus. Pentru fiecare dintre cele douăsprezece cifre ale unui ceas, scrie numărul din $[0,2\pi )$ corespunzător poziției ei pe cercul trigonometric, știind că ora $3$ este în $A$. Apoi găsește perechile de cifre simetrice față de axa $Ox$, față de axa $Oy$ și față de centru.
2. Explorare digitală. Într-un program de geometrie dinamică, desenează cercul de rază $1$ și un punct obținut prin rotirea lui $A(1,0)$ cu un unghi $t$ comandat de un cursor între $0$ și $2\pi$. Observă cadranul pentru valori ca $2$, $3,2$ sau $6,2$ și adaugă simetricele punctului față de axe.
3. Rotații de mai multe ture. Cronometrează zece secunde din rotirea unui obiect uniform, de pildă un disc sau o jucărie cu arc. Numără turele, estimează fracțiunea rămasă și scrie numărul asociat poziției finale. Repetă de trei ori și compară rezultatele.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește corespondența dintre numerele din intervalul $[0,2\pi ]$ și punctele cercului de rază $1$, exact pe domeniul pe care programa de științe cere studiul funcțiilor sinus și cosinus. Elevul trebuie să poată descrie același punct prin unghi, prin drum și prin coordonate, să folosească aproximări cu destule zecimale și să trateze rotațiile în sens orar fără numere negative. Întrebări utile: „Unde este ora 12 pe cercul trigonometric?” și „Ce număr are simetricul față de $Ox$?”. Semne că elevul a înțeles: schițează cercul și marchează $A$, $B$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ înaintea oricărui calcul, alege singur câte zecimale îi trebuie și verifică o reducere de ture prin numărul de grade rămas. Pentru reamintirea poligoanelor regulate înscrise, se poate relua lecția din clasa a VII-a despre poligoanele regulate înscrise în cerc.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, capitolul de clasa a IX-a care începe cu cercul trigonometric și studiul funcțiilor sinus și cosinus pe intervalul $[0,2\pi ]$. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține cercul trigonometric și definirea funcțiilor trigonometrice. Modelul oficial din 2026 nu are o cerință separată despre cercul trigonometric, iar un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: cercul trigonometric și punctele asociate tratează numerele reale oarecare. Pe traseul M2 continui cu sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric la M2, iar la finalul unității verifici totul în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă cercul trigonometric la M2 față de lecția M1?

La științe ale naturii, clasa a IX-a lucrează cu numerele din intervalul de la zero la doi pi, exact cum cere programa, iar rotațiile lungi sau în sens orar se tratează concret, prin ture. Lecția M1 lucrează pe toată mulțimea numerelor reale și cu formula generală a numerelor care dau același punct.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 folosesc cercul trigonometric?

Programa de examen conține cercul trigonometric și definirea funcțiilor trigonometrice. Modelul oficial din 2026 nu are o întrebare despre cerc: singura cerință de trigonometrie, la Subiectul I, privește un triunghi dreptunghic. Cercul rămâne instrumentul din care citești valori, semne și reduceri, oricare ar fi forma cerinței.

Ce legătură are cercul trigonometric cu ecuația cercului?

Este un caz particular: cercul cu centrul în origine și raza unu are ecuația x pătrat plus y pătrat egal cu unu. Cu această ecuație verifici dacă un punct dat prin coordonate se află pe cerc. Noutatea cercului trigonometric este alegerea punctului de plecare și a sensului de parcurgere.

Ce înseamnă coordonata unghiulară, metrică și carteziană a unui punct?

Coordonata unghiulară este unghiul la centru, măsurat din A în radiani. Coordonata metrică este lungimea arcului parcurs din A. Coordonata carteziană este perechea abscisă-ordonată din reper. Pe cercul de rază unu, primele două sunt același număr; pe o roată de rază R, drumul este de R ori mai lung.

De ce ora 12 a unui ceas nu corespunde punctului A?

Punctul A se află pe semiaxa pozitivă Ox, adică la dreapta, unde pe un ceas este ora trei. Ora 12 este sus, în punctul B, care corespunde lui pi supra doi. În plus, acele ceasului se rotesc în sens orar, deci numărul asociat scade pe măsură ce trece timpul.

Cum tratez o roată care se rotește în sensul acelor de ceasornic?

Dacă pornește din A și parcurge un arc s în sens orar, ajunge în punctul asociat lui doi pi minus s. Dacă pornește din alt punct, scazi arcul din numărul de pornire și, dacă rezultatul iese negativ, adaugi o tură întreagă. Poziția finală rămâne un punct al cercului, cu număr din intervalul standard.