Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Unghiul în radiani și cadranul lui

Cum aflu un punct de pe un cerc de rază dată?

Punctul de pe un cerc de rază $R$ care corespunde unui unghi $x$ , măsurat de la axa orizontală, are coordonatele $(R cos x; R sin x)$ . Exemplu: pe un cerc cu $R = 30$ cm, unghiul de $4 5^{\circ}$ dă ambele coordonate egale cu $30 \cdot \frac{2}{2} = 152 \approx 21, 21$ cm. Proba: $21, 2 1^{2} + 21, 2 1^{2} \approx 900 = 3 0^{2}$ , adică pătratele coordonatelor dau pătratul razei.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Un unghi se măsoară în grade sau în radiani, iar o jumătate de tură înseamnă $18 0^{\circ}$ , adică $π$ radiani. De aici, gradele devin radiani înmulțite cu $π$ și împărțite la $180$ , iar radianii devin grade înmulțiți cu $180$ și împărțiți la $π$ . Un număr scris fără $π$ este tot în radiani, iar calculatorul se pune pe modul care se potrivește unghiului.

Unghiul se numără de la semiaxa orizontală dreaptă, în sens opus acelor de ceasornic, iar latura lui finală taie cercul într-un punct. Abscisa punctului este cosinusul, ordonata este sinusul, iar pe un cerc de rază $R$ ambele se înmulțesc cu $R$ . Cadranul îl afli comparând unghiul cu $9 0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ și $27 0^{\circ}$ ; un număr de radiani îl compari cu $\frac{π}{2}$ , $π$ și $\frac{3 π}{2}$ , folosind $π \approx 3, 14$ .

Pentru $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ și $6 0^{\circ}$ valorile se citesc din tabel, iar semnul vine din cadran. Tangenta este ordonata împărțită la abscisă, deci lipsește pe axa verticală, la $9 0^{\circ}$ și la $27 0^{\circ}$ .

Capcanele ieftine sunt sinusul pus în locul cosinusului, un unghi în radiani judecat ca și cum ar fi în grade și calculatorul rămas pe modul greșit. Proba rapidă: pătratele celor două coordonate dau pătratul razei.

De reținut

coordonatele pe un cerc de rază $R$ : $(R cos x; R sin x)$
cosinusul dă distanța orizontală, sinusul înălțimea
proba: pătratele coordonatelor dau pătratul razei

Greșeala tipică

Se pune sinusul pe orizontală și cosinusul pe verticală: la $6 0^{\circ}$ , pe un cerc cu $R = 30$ cm, distanța orizontală ar ieși $26$ cm, deși corect este $15$ cm. Cosinusul dă mereu distanța orizontală, iar sinusul înălțimea.

Exerciții din această mini-lecție

La un stăvilar, o stație hidrologică (mediu) citește unghiul clapetei ca $\frac{13 π}{20}$ radiani. Câte grade are unghiul?
- a) $26 0^{\circ}$
- b) $11 7^{\circ}$
- c) $23 4^{\circ}$
- d) $234 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $11 7^{\circ}$

Radianii se transformă în grade înmulțind cu $\frac{180}{π}$ , deci $\frac{13}{20} \cdot 180 = 117$ . Varianta $26 0^{\circ}$ citește numitorul $20$ drept grade și îl înmulțește cu $13$ ; $23 4^{\circ}$ pornește de la $360$ în loc de $180$ ; $234 0^{\circ}$ înmulțește cu $180$ și uită să împartă la $20$ .
Brațul unei macarale turn (construcții) are $24$ m și este ridicat la unghiul $\frac{π}{6}$ față de orizontală. La ce distanță orizontală de articulație se află capătul brațului?
- a) $12$ m
- b) $4$ m
- c) $123$ m
- d) $122$ m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $123$ m

Distanța orizontală este abscisa punctului: $24 cos \frac{π}{6} = 24 \cdot \frac{3}{2} = 123$ m. Varianta $12$ m este înălțimea capătului, adică sinusul pus în locul cosinusului; $4$ m vine din $24 : 6$ , cu numitorul fracției citit ca număr; $122$ m folosește valoarea de la $\frac{π}{4}$ .
Pe un disc abraziv cu raza de $25$ cm, un punct al marginii se află la $7$ cm de axa verticală, în cadranul I. Cât este sinusul unghiului punctului, măsurat față de axa orizontală?
- a) $\frac{24}{25}$
- b) $\frac{7}{25}$
- c) $24$
- d) $\frac{24}{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{24}{25}$

Ordonata punctului este $2 5^{2} - 7^{2} = 24$ cm, iar sinusul este ordonata împărțită la rază: $\frac{24}{25}$ . Varianta $\frac{7}{25}$ este cosinusul; $24$ este ordonata, nu raportul; $\frac{24}{7}$ este tangenta.

Întrebări conexe

La ce unghiuri atinge cercul axa verticală?

Un punct de pe axa verticală are abscisa $0$ , deci unghiul lui este $9 0^{\circ}$ sau $27 0^{\circ}$ . Pe un cerc cu $R = 18$ cm punctele sunt $(0; 18)$ și $(0; - 18)$ : distanța până la axă este zero, iar ordonata este $\pm R$ . Tangenta nu are valoare în ele, fiindcă ar trebui împărțit la zero.

Între ce valori poate fi o coordonată pe un cerc de rază 15 cm?

Între $- 15$ și $15$ , fiindcă sinusul și cosinusul stau între $- 1$ și $1$ și se înmulțesc cu raza. La $x = 0$ abscisa are valoarea cea mai mare, $15$ cm, iar la $x = π$ cea mai mică, $- 15$ cm. Distanța de la punct la centru rămâne $15$ cm.

De ce punctele de la 30° și de la 60° au coordonatele schimbate între ele?

Cele două unghiuri se completează până la $9 0^{\circ}$ , iar punctele sunt simetrice față de dreapta $y = x$ , care schimbă abscisa cu ordonata. De aceea $cos 3 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ și $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ . Pe un cerc cu $R = 24$ cm punctele sunt $(123; 12)$ și $(12; 123)$ .

Cum încadrez în cadran un unghi dat în radiani, fără π?

Compari numărul cu $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ , $π \approx 3, 14$ , $\frac{3 π}{2} \approx 4, 71$ și $2 π \approx 6, 28$ . Numărul $2, 0$ este între $1, 57$ și $3, 14$ , deci în cadranul II; numărul $5, 2$ este între $4, 71$ și $6, 28$ , deci în cadranul IV. Nu îl judeci ca pe grade.

Cât măsoară segmentul dintre capetele a două raze perpendiculare?

Cu razele la $0^{\circ}$ și la $9 0^{\circ}$ , capetele sunt $(R; 0)$ și $(0; R)$ , iar distanța dintre ele este ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel cu catetele $R$ , adică $R 2$ . Pe un cerc cu $R = 12$ cm segmentul are $122 \approx 16, 97$ cm. Proba: $1 2^{2} + 1 2^{2} = 288 = (122)^{2}$ .

Cum apar valorile funcțiilor trigonometrice în probele oficiale?

Valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor de bază au apărut în 33 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la cerința 6 din Subiectul I. Cerința cere valori de bază ale sinusului, cosinusului sau tangentei, într-un calcul scurt.

Oamenii mai întreabă și: coordonatele unui punct de pe un cerc de rază R · punct pe cerc din unghi și rază · poziția unui punct de pe un cerc din unghi · formula coordonatelor pe un cerc cu raza R