Cercul trigonometric pentru tehnologic: unghiuri

Un tâmplar care furniruiește un raft rotunjit nu caută unghiurile cu raportorul pe placă: ia unghiul razei, raza plăcii și două valori dintr-un tabel, apoi măsoară cu ruleta pe pereți. Valorile acestea sunt cosinusul și sinusul unghiului. Cercul trigonometric, pe care îl studiezi în clasa a IX-a, în trunchiul comun al liceului tehnologic, îți arată unde cade punctul unui unghi dat în grade sau în radiani și ce spune tangenta despre el. Calculele de acest fel apar la cerința 6 din Subiectul I a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Într-un atelier de mobilă se face un raft de colț pentru o bibliotecă: o placă de PAL în formă de sfert de cerc, cu raza de 50 cm, care intră în colțul dintre doi pereți perpendiculari. Fața plăcii se acoperă cu furnir de stejar în trei fâșii egale, ca razele unui evantai, deci îmbinările dintre fâșii sunt razele de 30° și de 60°. Dedesubt, raftul stă pe un suport metalic prins pe bisectoarea colțului. Tâmplarul marchează pe marginea curbă capătul fiecărei raze: pentru un unghi față de primul perete măsoară cu echerul și ruleta distanțele de la colț până la picioarele perpendicularelor duse din punct pe cei doi pereți, apoi unește punctul cu colțul. Razele de 0°, 30° și 90° sunt deja trasate.

Pentru raza suportului și pentru a doua îmbinare vrea distanțele calculate, nu căutate cu raportorul pe placă.

Întrebare: ce distanțe pe cei doi pereți au capetele razelor de 45° și de 60°?

De la situație la model

Cum măsori un unghi: în grade sau în radiani?

Cercul întreg are 360°. Matematica folosește și o altă unitate, radianul: un unghi la centru de un radian taie pe cerc un arc cât raza. Cercul are lungimea de $2\pi$ ori raza, deci unghiul întreg are $2\pi$ radiani, iar jumătatea lui, $\pi$ radiani:

$$\pi \text{radiani}=180^{\circ }$$

Din grade în radiani înmulțești cu $\frac{\pi }{180}$; din radiani în grade, cu $\frac{180}{\pi }$. Radianii se scriu de obicei fără unitate: „unghiul $\frac{\pi }{6}$” înseamnă $\frac{\pi }{6}$ radiani. Calculatoarele au două moduri, grade și radiani, iar același număr tastat dă alt rezultat în fiecare.

Unghiurile de bază, în radiani: $30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$, $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$, $60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$, unghiul drept $\frac{\pi }{2}$, unghiul alungit $\pi$, trei sferturi de cerc $\frac{3\pi }{2}$ și cercul întreg $2\pi$.

Ce sunt sinusul și cosinusul?

Cercul trigonometric este cercul cu centrul în origine și raza 1. Un unghi $x$ se măsoară de la semiaxa pozitivă $Ox$, în sens trigonometric (invers mișcării acelor unui ceasornic). Latura lui finală taie cercul în punctul $M(x)$. Cosinusul unghiului $x$ este abscisa lui $M(x)$, iar sinusul este ordonata lui:

$$M(x)=(\cos x,\sin x)$$

Pe un cerc de rază $R$ coordonatele se înmulțesc cu $R$. Așa se obțin distanțele de pe pereții raftului: $50\cos x$ pe primul perete și $50\sin x$ pe al doilea.

De unde vin valorile pentru 30°, 45° și 60°?

Capătul razei suportului e la fel de departe de ambii pereți. Cu distanța $a$ pe fiecare, teorema lui Pitagora dă $a^2+a^2=R^2$, deci pe cercul de rază 1, $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Pentru 60° tâmplarul nu are nevoie de raportor: deschide compasul cât raza și, cu vârful în capătul razei de 0°, taie marginea curbă. Punctul tăiat e la distanța $R$ și de colț, și de capătul razei de 0°, deci cele trei puncte fac un triunghi echilateral, cu unghiul de 60° la colț. Perpendiculara din punct cade la mijlocul laturii de pe primul perete: abscisa este $\frac{1}{2}$, iar ordonata, din Pitagora, $\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Același compas, pus în capătul razei de 90°, dă punctul de 30°, cu distanțele schimbate între ele.

În ce cadran se află punctul?

Axele împart planul în patru cadrane, numerotate în sens trigonometric. Unghiul $x$ cade în cadranul I pentru $0<x<\frac{\pi }{2}$, în II pentru $\frac{\pi }{2}<x<\pi$, în III pentru $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ și în IV pentru $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$.

Pentru $\frac{4\pi }{3}$, transformat în grade, obții $240^{\circ }$: a trecut de jumătatea cercului, dar nu de trei sferturi, deci cadranul III.

Un număr scris fără $\pi$ îl încadrezi cu $\pi \approx 3,14$: numărul 5 trece de $\frac{3\pi }{2}$, adică de aproape 4,7, dar nu ajunge la $2\pi$, adică la aproape 6,3, deci cadranul IV.

Când are sens tangenta?

Tangenta unui unghi este raportul dintre ordonata și abscisa punctului lui. Ea există numai când abscisa nu este zero, adică numai când cosinusul nu e zero. Pe $[0,2\pi ]$ abscisa e zero la $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$, adică pe axa $Oy$, unde stă al doilea perete, deci domeniul tangentei este $[0,2\pi ]\setminus \left\{\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right\}$. Tangenta are semn pozitiv în cadranele I și III, deoarece acolo ordonata și abscisa se scriu cu același semn. Raportul invers, cosinusul împărțit la sinus, are propria lecție la filiera tehnologică: Cotangenta: domeniu, grafic, perioadă.

Metoda pas cu pas

1. Scrie unghiul în ambele unități, cu $\pi$ radiani $=180^{\circ }$. Dacă primești un număr fără $\pi$, îl ții în radiani și îl încadrezi între $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$, folosind $\pi \approx 3,14$.
2. Găsește cadranul, comparând unghiul cu 90°, 180° și 270°, adică așezând punctul în sfertul de cerc potrivit. Dacă unghiul cade chiar pe o axă, punctul se citește direct: $(1;0)$, $(0;1)$, $(-1;0)$ sau $(0;-1)$.
3. Citește coordonatele punctului: abscisa e cosinusul, ordonata e sinusul. Valorile vin din tabel, semnele din cadran, iar la raza $R$ le înmulțești cu $R$ și păstrezi unitatea razei, de pildă centimetrii.
4. Pentru tangentă, împarte sinusul la cosinus, dacă cosinusul nu e zero; dacă e zero, tangenta nu are valoare.
5. Dacă ai o expresie, înlocuiește fiecare valoare și calculează; radicalii îi aduni abia la sfârșit și rotunjești doar dacă enunțul cere o valoare măsurată. La o cerință „Arătați că …” scrii ambii membri până ajung la aceeași valoare.
6. Verifică: la raza $R$, pătratul abscisei plus pătratul ordonatei trebuie să fie $R^2$, iar semnele coordonatelor să se potrivească cu cadranul. Dacă ai folosit calculatorul, controlează-i modul: radiani sau grade, după unghi.

Unghiurile mai mari de 90° se aduc la primul cadran cu formulele din lecția Unghiuri mari la primul cadran. Reperul cu axele în colț e în lecția Reperul cartezian pe planul de șantier, iar restul drumului prin clasa a IX-a îl găsești pe pagina clasei, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$M(x)=(\cos x,\sin x),\pi \text{radiani}=180^{\circ }$$

$$\mathrm{tg}x=\frac{\text{ordonata}}{\text{abscisa}},\text{abscisa}\ne 0$$

Formulele se aplică pe cercul de rază 1; la raza $R$ coordonatele sunt $R\cos x$ și $R\sin x$. Condiția pentru tangentă: cosinusul să nu fie zero. Verificare rapidă: coordonatele unui punct al cercului de rază 1 au pătratele cu suma 1, iar semnele lor se potrivesc cu cadranul.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Raza suportului și a doua îmbinare

Domeniu: lemn.

Enunț. Reluăm raftul de colț din situația de pornire: placa de PAL are raza de 50 cm. Aflați distanțele pe cei doi pereți pentru capătul razei de 45°, unde se prinde suportul, și pentru capătul razei de 60°, a doua îmbinare a furnirului, cu rotunjire la milimetru.

Rezolvare. Mai întâi alegem valorile: punctul de 45° stă pe bisectoarea colțului, deci coordonatele lui sunt egale. Pentru 45° avem $\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci pe ambii pereți distanța este

$$50\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}\approx 35,36$$

adică 35,4 cm. Pentru 60° avem $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci distanța pe primul perete este $50\cdot \frac{1}{2}=25,0$ cm, iar pe al doilea $50\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}\approx 43,30$, adică 43,3 cm. Tâmplarul trece distanțele pe pereți, ridică perpendicularele cu echerul și unește punctele cu colțul: așa trasează raza suportului și a doua îmbinare.

Capcană. Cine pune sinusul pe primul perete obține pentru 60° distanțele 43,3 cm și 25,0 cm, adică exact cele ale razei de 30°. Punctul ar nimeri pe raza greșită, iar fâșiile de furnir nu s-ar mai potrivi.

Verificare. De la colț până la punct, distanța trebuie să fie raza, 50 cm. La 60°: $25^2+(25\sqrt{3}{)}^2=625+1875=2500=50^2$.

Exemplul 2 — Brațul unei instalații de irigat cu pivot

Domeniu: agricol.

Enunț. O instalație de irigat cu pivot central are brațul de 380 m, care se rotește în jurul pivotului. Pe planul fermei, pivotul este originea, axa $Ox$ arată spre est, axa $Oy$ spre nord, iar agronomul măsoară unghiul brațului de la est, în sens trigonometric. Calculați cu câți metri la nord de pivot e capătul brațului la 30° și la 90°, spuneți dacă la 240° e la nord sau la sud de pivot și aflați la ce unghiuri, între 0° și 360°, capătul trece peste drumul de exploatare de pe linia est–vest a pivotului.

Rezolvare. Depărtarea spre nord este 380 înmulțit cu ordonata punctului de pe cerc. La 30°: $380\cdot \frac{1}{2}=190$ m. La 90° punctul este $(0;1)$, deci capătul e la 380 m nord, cât tot brațul. Unghiul de 240° e între 180° și 270°, în cadranul III, unde ordonata e negativă: capătul e la sud de pivot. Capătul trece peste drum când ordonata e zero, adică pe axa $Ox$: la 0°, la 180° și la 360°, aceeași poziție cu 0°.

Capcană. Cine ia cosinusul în locul sinusului obține la 30° $380\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 329,1$ m. Aceea este depărtarea spre est, iar agronomul ar căuta capătul brațului în alt loc al lanului.

Verificare. La 30°, depărtările capătului spre est și spre nord trebuie să refacă brațul: $(190\sqrt{3}{)}^2+190^2=108300+36100=144400=380^2$.

Exemplul 3 — Un braț de manipulator citit în radiani

Domeniu: mecanica.

Enunț. Senzorul de unghi al brațului unui manipulator de la o linie de ambalare transmite unghiul în radiani, cu un sistem de referință pornit din axa $Ox$. Citirile sunt 0,9; 2,3; 4,1 și 5,6 radiani. Transformați-le în grade, rotunjit la o zecimală, și stabiliți în ce cadran se află vârful brațului la fiecare citire.

Rezolvare. Un radian înseamnă $\frac{180}{\pi }\approx 57,2958$ grade. Rezultă $0,9\cdot 57,2958\approx 51,57$, adică 51,6°; apoi 131,8°, 234,9° și 320,9°. Cu $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi }{2}\approx 4,71$ și $2\pi \approx 6,28$ încadrăm citirile: 0,9 e între 0 și 1,57, deci cadranul I; 2,3 e între 1,57 și 3,14, deci II; 4,1 e între 3,14 și 4,71, deci III; 5,6 e între 4,71 și 6,28, deci IV. Pentru 4,1 radiani, abscisa și ordonata vârfului sunt amândouă negative.

Capcană. Dacă citești 4,1 ca pe 4,1 grade, îl pui în cadranul I. Numărul 4,1 e în radiani, deci corespunde la aproape 235°.

Verificare. Întoarcerea: $234,9\cdot \frac{\pi }{180}\approx 4,10$ radiani, adică 4,1 rotunjit. Și gradele găsite cad în aceleași cadrane: 51,6° în I, 131,8° în II, 234,9° în III și 320,9° în IV.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: valori de bază într-o expresie

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Cerințele de la sfârșitul Subiectului I cer valori ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri de bază. Frontonul unui adăpost pentru oi este un triunghi isoscel $ABC$ cu baza $BC$ și cu $m(\angle B)=m(\angle C)=45^{\circ }$. a) Calculați sinusul unghiului $A$. b) Arătați că $2\sin 30^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }+\sqrt{3}\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{3}{2}$.

Rezolvare. Cerința a) se rezolvă din geometria triunghiului, iar b) din tabelul de valori. a) Suma unghiurilor este 180°, deci $m(\angle A)=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$. Punctul de la 90° este $(0;1)$, deci $\sin A=1$. b) $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Atunci $2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ și $\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=1$, iar suma este $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$.

Capcană. Cine ia $\mathrm{tg}30^{\circ }=\sqrt{3}$ obține $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$ și suma $\frac{7}{2}$, care nu e cea cerută. Valoarea $\sqrt{3}$ aparține lui $\mathrm{tg}60^{\circ }$.

Verificare. Tangenta lui 30° trebuie să fie sub 1, fiindcă la 45° valorează 1 și crește odată cu unghiul: $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58<1$. La a), sinusul nu depășește 1 și ia valoarea 1 doar la unghiul drept.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie în radiani unghiurile de $54^{\circ }$ și $198^{\circ }$. Scrie în grade unghiurile $\frac{8\pi }{15}$ și $\frac{13\pi }{36}$.

2. Fără calculator, află $\sin \frac{\pi }{3}$, $\cos \frac{\pi }{4}$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}$, $\cos \pi$, $\sin \frac{3\pi }{2}$ și $\mathrm{tg}2\pi$.

3. În ce cadran se află punctele asociate numerelor $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{11\pi }{6}$ și $\frac{2\pi }{5}$?

4. Stabilește semnul numerelor $\cos 2,2$, $\sin 3,6$, $\mathrm{tg}4,4$ și $\sin 5,5$ (unghiuri în radiani).

Nivelul 2 — situații

5. Un zidar face cintrul, adică cofrajul de lemn, pentru un arc semicircular de cărămidă deasupra unei uși, cu raza interioară de 0,9 m. Centrul arcului e originea unui reper, iar axa $Ox$ e orizontala din care pornește arcul. Pentru coastele cintrului are nevoie de punctele arcului de la 30°, 60° și 90°. Află, pentru fiecare punct, depărtarea pe orizontală de centru și înălțimea deasupra axei $Ox$, rotunjite la centimetru, scrie unghiurile în radiani și spune unde cad punctele simetrice de pe jumătatea stângă.

6. La o fermă de cai se trasează un manej rotund cu raza de 8 m, cu centrul în originea unui reper. Un stâlp al gardului se bate în primul cadran, pe cerc, la 4 m de axa $Oy$. Află unghiul razei lui, în grade și în radiani, și distanța de la stâlp la axa $Ox$, rotunjită la centimetru.

7. Motorul pas cu pas al unei mașini de etichetat se rotește cu 7,5° la fiecare pas, în sens trigonometric, pornind de la semiaxa $Ox$. Scrie, în grade și în radiani, poziția indicatorului de pe axul lui după 10, 20, 35 și 44 de pași și cadranul fiecărei poziții.

8. Un controler primește de la un senzor unghiuri în radiani, scrise cu patru zecimale, și calculează tangenta lor. Pentru valorile 0,5236; 0,7854 și 1,0472 recunoaște unghiurile de bază și dă tangenta lor, rotunjită la sutimi. La ce valori din $[0,2\pi ]$ ar semnala împărțire la zero?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\sqrt{2}\cdot \sin 45^{\circ }+12\cos 60^{\circ }\cdot \sin 30^{\circ }-\sqrt{3}\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=3$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) În triunghiul $ABC$, $m(\angle B)=30^{\circ }$ și $m(\angle C)=90^{\circ }$. Calculați cosinusul unghiului $A$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $3\mathrm{tg}30^{\circ }\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }-4{\sin }^{2}60^{\circ }=0$.

12. (Sinteză.) La o masă rotundă de restaurant, cele patru picioare se prind sub blat pe un cerc cu raza de 46 cm, iar centrul blatului e originea unui reper. Primul picior e la 30° față de semiaxa $Ox$, iar celelalte urmează din 90° în 90°, în sens trigonometric. a) Scrie coordonatele primului picior, în centimetri, rotunjite la 0,01 cm. b) Verifică din coordonate distanța de la centru la primul picior. c) Scrie în radiani unghiurile celor patru picioare, cadranul fiecăruia și semnele coordonatelor lui.

Răspunsuri și verificări

1. $54^{\circ }=54\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{10}$ și $198^{\circ }=\frac{11\pi }{10}$. Apoi $\frac{8\pi }{15}$ înseamnă $96^{\circ }$ și $\frac{13\pi }{36}$ înseamnă $65^{\circ }$. Verificare: $\frac{\pi }{10}$ înseamnă 18°, $\frac{\pi }{15}$ înseamnă 12°, iar $\frac{\pi }{36}$, 5°: $3\cdot 18=54$, $11\cdot 18=198$, $8\cdot 12=96$, $13\cdot 5=65$.

2. $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos \pi =-1$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$ și $\mathrm{tg}2\pi =0$. Verificare: punctul de la $\pi$ e $(-1;0)$ și cel de la $\frac{3\pi }{2}$ e $(0;-1)$.

3. $\frac{5\pi }{6}=150^{\circ }$, cadranul II; $\frac{5\pi }{4}=225^{\circ }$, cadranul III; $\frac{11\pi }{6}=330^{\circ }$, cadranul IV; $\frac{2\pi }{5}=72^{\circ }$, cadranul I. Verificare: fiecare valoare în grade stă între capetele cadranului ei.

4. 2,2 e între 1,57 și 3,14 (cadranul II), deci $\cos 2,2<0$; 3,6 și 4,4 sunt între 3,14 și 4,71 (cadranul III), deci $\sin 3,6<0$ și $\mathrm{tg}4,4>0$; 5,5 e între 4,71 și 6,28 (cadranul IV), deci $\sin 5,5<0$. Verificare: tangenta pozitivă cere sinus și cosinus cu același semn, iar în cadranul III ambele sunt negative.

5. La 30°: $0,9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,78$ m pe orizontală și $0,9\cdot \frac{1}{2}=0,45$ m înălțime; la 60°, invers: 0,45 m și 0,78 m; la 90°, cheia arcului, chiar deasupra centrului, la 0,90 m. Unghiurile sunt $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{\pi }{2}$. Pe stânga, punctele simetrice au aceleași înălțimi. Verificare: $0,45^2\cdot 3+0,45^2=0,6075+0,2025=0,81=0,9^2$.

6. $\cos x=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$, deci $x=60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$. Distanța la axa $Ox$ este $8\sin 60^{\circ }=4\sqrt{3}\approx 6,93$ m. Verificare: $4^2+(4\sqrt{3}{)}^2=16+48=64=8^2$.

7. După 10 pași: $75^{\circ }=\frac{5\pi }{12}$, cadranul I; după 20: $150^{\circ }=\frac{5\pi }{6}$, II; după 35: $262,5^{\circ }=\frac{35\pi }{24}$, III; după 44: $330^{\circ }=\frac{11\pi }{6}$, IV. Verificare: un pas de 7,5° înseamnă $\frac{\pi }{24}$ radiani, iar 48 de pași fac exact o tură, 360°.

8. Valorile sunt $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{3}$, cu tangentele $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58$, $1,00$ și $\sqrt{3}\approx 1,73$. Împărțirea la zero apare unde abscisa e zero, adică la $\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$ și la $\frac{3\pi }{2}\approx 4,7124$ radiani. Verificare: punctele de la $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$ sunt $(0;1)$ și $(0;-1)$, cu abscisa 0.

9. $\sqrt{2}\cdot \sin 45^{\circ }=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$. $12\cos 60^{\circ }\cdot \sin 30^{\circ }=12\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=3$ și $\sqrt{3}\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=1$. Expresia este $1+3-1=3$. Verificare: primul și ultimul termen sunt ambii 1, deci rămâne termenul din mijloc, 3, cât cere enunțul.

10. Suma unghiurilor dă $m(\angle A)=180^{\circ }-30^{\circ }-90^{\circ }=60^{\circ }$. Punctul de la 60° are abscisa $\frac{1}{2}$, deci $\cos A=\frac{1}{2}$. Verificare: la 60° cosinusul e jumătate și sinusul e $\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$.

11. $\mathrm{tg}30^{\circ }\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=1$, deci primul termen este $3$. ${\sin }^{2}60^{\circ }=\frac{3}{4}$, deci al doilea termen este $4\cdot \frac{3}{4}=3$. Diferența este $3-3=0$. Verificare: cu zecimale, $3\cdot 0,577\cdot 1,732\approx 3,00$ și $4\cdot 0,866^2\approx 3,00$.

12. a) Primul picior are coordonatele $\left(46\cos 30^{\circ },46\sin 30^{\circ }\right)=(23\sqrt{3},23)\approx (39,84;23,00)$ cm. b) $\sqrt{(23\sqrt{3}{)}^2+23^2}=\sqrt{1587+529}=\sqrt{2116}=46$ cm, raza cercului picioarelor. c) $\frac{\pi }{6}$, cadranul I, semnele $(+;+)$; $\frac{2\pi }{3}$, cadranul II, $(-;+)$; $\frac{7\pi }{6}$, cadranul III, $(-;-)$; $\frac{5\pi }{3}$, cadranul IV, $(+;-)$. Verificare: unghiurile cresc cu câte $\frac{\pi }{2}$, deci fiecare picior cade în alt cadran.

Așa vine la Bac M3

Valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor de bază se cer la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) la cerința 6 din Subiectul I, care valorează 5 puncte; în probele oficiale 2013–2026 au apărut în 33 de probe. Mai jos sunt patru cerințe reale, luate din patru probe, fiecare cu altă formă:

• Proba specială din 2014, Subiectul I, exercițiul 6: se cere să arăți că suma pătratelor tangentelor de 60° și de 45° este 4, deci la pasul 3 citești valorile din tabel (baremul probei dă $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$ și $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, 2 puncte), iar la pasul 5 aduni pătratele (3 puncte).
• Iunie 2024, Subiectul I, exercițiul 6: se cere să arăți o egalitate cu o sumă într-un membru și un produs în celălalt, deci la pasul 3 scrii valorile lui $\sin 30^{\circ }$, $\sin 60^{\circ }$ și $\cos 30^{\circ }$ (baremul probei le dă împreună, 3 puncte), iar la pasul 5 arăți că ambii membri fac $\frac{3}{2}$ (2 puncte).
• Simularea din 2026, Subiectul I, exercițiul 6: se cere să arăți că o expresie cu radicali și valori de bază este zero, deci la pasul 3 înlocuiești valorile (3 puncte în baremul probei), iar la pasul 5 reduci termenii asemenea (2 puncte).
• Proba specială din 2020, Subiectul I, exercițiul 6: în triunghiul $ABC$ cu două unghiuri de 60° se cere cosinusul unghiului $A$, deci mai întâi suma unghiurilor dă $m(\angle A)=60^{\circ }$ (3 puncte în baremul probei), apoi pasul 3 dă valoarea din tabel (2 puncte).

Toate cele 33 de cerințe au 5 puncte și numere mici, deci greutatea e în a ști tabelul și în a nu încurca sinusul cu cosinusul. Exercițiile 9–11 din lecția aceasta exersează aceleași forme, cu numerele lor.

Greșeli care costă puncte

• Pui sinusul unde trebuia cosinusul, adică distanța pe primul perete ia valoarea ordonatei → cum o prinzi: la 60° distanța pe primul perete trebuie să fie cea mai mică, 25,0 cm din 50 cm.
• Lași calculatorul pe grade când unghiul e în radiani → cum o prinzi: $\sin \frac{\pi }{6}$ trebuie să dea 0,5.
• Judeci cadranul după mărimea numărului, nu după unghi: spui că 5 radiani sunt în cadranul I, ca un unghi de 5° → cum o prinzi: compari 5 cu $\frac{3\pi }{2}$, aproape 4,7, și cu $2\pi$, aproape 6,3, nu cu 90.
• Crezi că $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}$ e $0$ → cum o prinzi: la $\frac{\pi }{2}$ cosinusul e 0, iar împărțirea la 0 nu are sens.
• Confunzi $\frac{\pi }{6}$ cu 60° în loc de 30°, iar fâșiile de furnir ies prea late → cum o prinzi: $\pi$ înseamnă 180°, deci $\frac{\pi }{6}$ înseamnă $180^{\circ }:6=30^{\circ }$.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, noțiunea de cerc trigonometric face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a IX-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 33 de probe.

Întrebări frecvente

Cum verifici dacă ai trasat bine punctul de 60° pe marginea raftului? Măsori distanța de la colț până la punct: trebuie să fie raza, 50 cm. Distanțele de pe pereți, 25,0 cm și 43,3 cm, dau $\sqrt{25,0^2+43,3^2}=\sqrt{2499,89}\approx 50,0$ cm, adică raza plăcii; diferența de sub un milimetru vine din rotunjirea distanțelor.

Ce se schimbă dacă raftul are raza de 80 cm? Unghiurile rămân aceleași, iar distanțele se înmulțesc cu raza nouă. Pentru raza suportului, de 45°, fiecare distanță devine $80\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sqrt{2}\approx 56,6$ cm, nu 35,4 cm, ca la raftul de 50 cm. Pentru 60°, distanțele sunt 40,0 cm și 69,3 cm.

Cum scrii în radiani unghiurile celor trei fâșii de furnir? Fiecare fâșie are 30°, adică $\frac{\pi }{6}\approx 0,5236$ radiani. Razele de 30°, 60° și 90° devin $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{\pi }{2}$, adică aproximativ 0,5236; 1,0472 și 1,5708 radiani. Cu patru zecimale le tastezi pe un calculator pus pe radiani, ca rotunjirea să nu mute punctele.

Ce arată calculatorul dacă e pus pe radiani și tastezi sinusul lui 60? Calculează sinusul unui unghi de 60 de radiani, nu de 60°: $\sin 60\approx -0,3048$, iar distanța pe al doilea perete ar ieși $50\cdot (-0,3048)\approx -15,2$ cm. O distanță negativă la un raft din primul cadran e imposibilă, deci semnul te avertizează: tastezi $\frac{\pi }{3}$ sau treci calculatorul pe grade.

Se cer valorile funcțiilor trigonometrice la Bacalaureatul M3? Da. Cercul trigonometric și valorile de bază fac parte din programa de examen, iar în probele oficiale 2013–2026 au apărut în 33 de probe, de fiecare dată la cerința 6 din Subiectul I, cu 5 puncte. În forma cea mai frecventă ți se cere să arăți că o expresie cu $\sin 30^{\circ }$, $\cos 60^{\circ }$ sau $\mathrm{tg}45^{\circ }$ are o valoare dată.

Cum afli unghiul unei raze din cele două distanțe ale ei? Împarți distanța de pe al doilea perete la cea de pe primul: raportul este tangenta unghiului. La raza de 30°, $25,0:43,3\approx 0,577$, cât tangenta lui 30°. La raza de 90° distanța pe primul perete e 0, deci raportul nu se poate face: acolo tangenta nu are valoare.