Câte combinări de 3 produse încap sub un plafon?

Combinările numără alegerile de câte $k$ obiecte dintre $n$ obiecte distincte, când nu contează ordinea din grup: $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Fiecare grup apare în $k!$ aranjamente, câte unul pentru fiecare ordine, de aceea împărțirea la $k!$ îl lasă o singură dată. Valori sigure sunt $C_n^0=C_n^n=1$ și $C_n^1=n$.

Numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente este $2^n$: fiecare element intră sau nu în grup, independent de celelalte. Ele includ mulțimea vidă și mulțimea întreagă. Suma combinărilor $C_n^k$ pentru toți $k$ de la 0 la $n$ trebuie să dea același număr, ceea ce folosești ca verificare.

Când un obiect este impus în grup, îl pui din start și alegi restul, adică $k-1$ obiecte dintre celelalte $n-1$. La „cel puțin unul” numeri complementul, adică toate alegerile minus cele fără niciun obiect dorit. La alegeri pe etape înmulțești, dar a doua etapă se face din obiectele rămase, nu din toate.

Capcanele sunt aranjamentele luate în loc de combinări, scăderea lui 1 numai din $n$, dubla numărare la „cel puțin” și mulțimea vidă uitată. Controlezi cu $C_n^k=C_n^{n-k}$ și pe un caz mic. În meserii apare la echipe, la pachete, la loturi de analize și la stările unei instalații.

De reținut

• $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$, fără ordine în grup
• un obiect impus: restul se alege din celelalte $n-1$ obiecte, câte $k-1$
• toate submulțimile: $2^n$

Greșeala tipică

Se folosesc aranjamentele în loc de combinări și fiecare grup este numărat de $k!$ ori. Corect, împarți aranjamentele la $k!$ sau folosești direct $C_n^k$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un magazin alege 2 dintre cele 15 produse ale unui raft pentru un panou promoțional. Două produse formează aceeași ofertă, indiferent de ordinea în care sunt puse. Care expresie dă numărul ofertelor posibile?

   • a) $C_{15}^2$
   • b) $A_{15}^2$
   • c) $15^2$
   • d) $15\cdot 2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $C_{15}^2$

   Contează doar care două produse sunt alese, nu ordinea lor, deci sunt combinări: $C_{15}^2=\frac{15\cdot 14}{2}=105$. Varianta $A_{15}^2=210$ numără fiecare ofertă de două ori, câte o dată pentru fiecare ordine. Varianta $15^2=225$ permite același produs de două ori, iar $15\cdot 2=30$ nu corespunde niciunei alegeri.

2. Un veterinar alege 2 dintre cele 11 vaci ale unei ferme pentru un control. Perechea „prima vacă, a doua vacă” este aceeași cu „a doua, prima”. Câte perechi de vaci pot fi alese?

   • a) 110
   • b) 22
   • c) 55
   • d) 121
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) 55

   Perechea nu are ordine, deci $C_{11}^2=\frac{11\cdot 10}{2}=55$. Varianta 110 este $A_{11}^2$ și numără fiecare pereche de două ori. Varianta 22 este $11\cdot 2$, iar 121 este $11^2$ și permite aceeași vacă de două ori.

3. Un service trimite 4 dintre cei 14 mecanici ai săi la un curs. Mecanicul-șef trebuie să meargă. În câte moduri poate fi ales grupul?

   • a) 364
   • b) 715
   • c) 1001
   • d) 286
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) 286

   Mecanicul-șef este în grup din start, deci rămân de ales 3 mecanici din ceilalți 13: $C_{13}^3=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{6}=286$. Varianta 715 este $C_{13}^4$ și scade 1 numai din $n$, nu și din $k$. Varianta 364 este $C_{14}^3$ și scade 1 numai din $k$, iar 1001 este $C_{14}^4$ și ignoră condiția.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: câte pachete de produse sunt sub un preț maxim · alegeri de grupuri cu suma limitată · combinări cu plafon de preț · câte seturi de 3 produse încap într-un buget