Combinări la tehnologic: alegeri dintr-o listă

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Un salon de înfrumusețare vinde pachete de trei tratamente alese din lista lui, iar clienta nu se interesează în ce ordine se fac. Cum numeri atunci pachetele diferite? Cu combinări, adică cu submulțimile unei liste. Lecția e pentru clasa a X-a, filiera tehnologică. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), combinările au fost cerute în trei probe, ultima dată în 2021.

Situația de pornire

Un salon de înfrumusețare oferă șapte tratamente. Pentru „ziua de relaxare”, clienta își alcătuiește singură un pachet de trei tratamente diferite din listă. Pachetul costă cât tratamentele însumate și se programează într-un singur cabinet, în cadrul unei zile de lucru de 8 ore. Recepționera pregătește fișa pachetelor și vrea să știe câte pachete diferite poate comanda o clientă.

Tratament	Durata (min)	Preț (lei)
tuns	42	68
vopsit	118	214
coafat	38	87
manichiură	64	83
pedichiură	72	112
masaj facial	53	97
epilare cu ceară	34	66

Două pachete sunt la fel dacă au aceleași trei tratamente, oricare ar fi ordinea în care le face clienta.

Întrebare: câte pachete diferite de trei tratamente poate alcătui clienta și câte dintre ele conțin masajul facial?

De la situație la model

Clienta alege trei tratamente din șapte, fără să le ordoneze. Tabelul traduce situația.

În situație	În matematică
cele șapte tratamente ale salonului	elementele unei mulțimi cu $n = 7$ elemente
un pachet de trei tratamente, fără ordine	o submulțime cu $k = 3$ elemente
numărul pachetelor diferite	$C_{7}^{3}$
pachetele care conțin masajul facial	submulțimile care conțin un element impus
orice alegere de tratamente, chiar și niciunul	orice submulțime a mulțimii

O submulțime a unei mulțimi este o mulțime formată din unele dintre elementele ei. Combinările de $n$ elemente luate câte $k$ sunt toate grupele de câte $k$ elemente care se pot alege din $n$ elemente distincte, fără să conteze ordinea din grupă; ele corespund submulțimilor cu $k$ elemente, iar numărul lor se notează $C_{n}^{k}$ . Într-o submulțime ordinea nu contează: pachetul tuns–vopsit–coafat este același cu coafat–tuns–vopsit. Notația $C_{n}^{k}$ se citește „combinări de $n$ luate câte $k$ ”. Pentru $k = 0$ există o singură alegere, cea fără niciun element, iar pentru $k = n$ tot una, cea cu toate elementele: $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ .

De ce împarți la $k!$ ?

Dacă ordinea ar conta, ai număra aranjamente, ca în lecția Permutări și aranjamente la tehnologic: $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ . Fiecare pachet apare însă în $3! = 6$ ordini, deci aranjamentele îl numără de șase ori, iar pachetele sunt $210 : 6 = 35$ . În general, fiecare submulțime cu $k$ elemente apare în $k!$ aranjamente, de unde $C_{n}^{k} = A_{n}^{k} : k!$ . Împărțirea este corectă fiindcă toate pachetele apar în același număr de ordini.

Câte submulțimi are o mulțime?

Pentru fiecare dintre cele 7 tratamente alegi „intră” sau „nu intră”, independent de celelalte, deci ai $2^{7} = 128$ de alegeri, adică de 7 ori câte două posibilități. Ele includ submulțimea fără niciun tratament și pe cea cu toate șapte. Același număr se obține adunând pachetele pe mărimi, de la 0 la 7 tratamente, ceea ce folosești ca verificare.

Cum numeri „cel puțin unul” și alegerile pe etape?

La „cel puțin unul” numeri complementul: toate alegerile, minus cele care nu au niciun element dorit. La controlul laptelui, grupurile cu cel puțin o vacă tratată sunt toate grupurile, minus cele formate numai din vaci netratate. Când alegi pe etape, înmulțești: întâi $a$ elemente din $n$ , apoi $b$ dintre cele rămase, în $C_{n}^{a} \cdot C_{n - a}^{b}$ moduri. Fiecare alegere din prima etapă se combină cu fiecare alegere din a doua, deci numerele se înmulțesc, nu se adună.

Metoda pas cu pas

Spune din ce mulțime alegi, cu $n$ elemente, și câte elemente alegi, $k$ , și scrie-le înainte de orice calcul. La salon alegi 3 tratamente din 7; la echipa dintr-un atelier alegi persoane din cei prezenți, iar la un lot controlat alegi piese din cele din lot.
Hotărăște dacă ordinea contează. Dacă pachetul rămâne același când schimbi ordinea, folosești combinări; dacă se schimbă, folosești aranjamente. Întreabă-te: dacă două persoane aleg aceleași elemente în ordine diferită, au ales același lucru?
Tratează restricțiile: un element impus îl pui în alegere și scazi 1 din $n$ și din $k$ ; unul interzis îl scoți din $n$ . La „cel puțin unul” scazi din total alegerile fără elementul dorit. Dacă datele vin în unități, le aduci întâi la aceeași unitate și rotunjești corect, pentru a afla $n$ sau $k$ .
Calculează: scrii produsul a $k$ factori care scad, începând de la $n$ , îl împarți la $k!$ și simplifici înainte să înmulțești, fără să calculezi factorialele întregi. Rezultatul este un număr întreg, iar simplificarea te scutește de numere mari.
Verifică pe un alt drum: împarte alegerile după un element anume, cele care îl conțin și cele care nu-l conțin, sau după câte elemente de un anumit fel au; părțile trebuie să adune la total. Un rezultat mai mare decât totalul alegerilor e semn de greșeală, la fel un rezultat care nu e întreg.

Pentru un desen al alegerilor folosești arborele de variante, iar legătura dintre combinări și linia unui tablou numeric vine, la filiera tehnologică, în lecția despre binomul până la puterea 5. Toate lecțiile clasei sunt în traseul clasei a X-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

$o mul ț ime cu n elemente are 2^{n} submul ț imi$

Formulele se aplică numai dacă elementele sunt distincte, alese din aceeași listă, nu se repetă, ordinea nu contează, iar $0 \leq k \leq n$ . Cele $2^{n}$ submulțimi includ și mulțimea vidă. Verificare rapidă: $C_{n}^{1} = n$ și $C_{n}^{n} = 1$ , iar $C_{n}^{k}$ nu depășește $A_{n}^{k}$ , fiindcă aranjamentele numără fiecare grup de $k!$ ori.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Pachetul „ziua de relaxare”

Domeniu: infrumusetare.

Enunț. Reluăm salonul din situația de pornire, cu cele șapte tratamente. a) Câte pachete diferite de trei tratamente există? b) Câte dintre ele conțin masajul facial? c) Câte alegeri de tratamente sunt în total, dacă clienta poate alege oricâte, chiar și niciunul? d) Încape orice pachet de trei tratamente în ziua de lucru de 8 ore a cabinetului?

Rezolvare. a) Aici alegi $k = 3$ tratamente dintre $n = 7$ , iar ordinea nu contează, deci $C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35$ pachete. b) Masajul facial este impus, deci mai alegi 2 tratamente din cele 6 rămase: $C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ pachete. c) Fiecare tratament intră sau nu intră în alegere, independent de celelalte: $2^{7} = 128$ alegeri. d) Cele mai lungi trei tratamente sunt vopsitul, pedichiura și manichiura, cu $118 + 72 + 64 = 254$ de minute, adică 4 ore și 14 minute. Cum 254 este mai puțin decât $8 \cdot 60 = 480$ de minute, orice pachet încape.

Capcană. Cine folosește aranjamentele obține $A_{7}^{3} = 210$ pachete. Numără fiecare pachet de 6 ori, câte o dată pentru fiecare ordine în care clienta ar putea face cele trei tratamente.

Verificare. Pachetele cu masaj sunt 15, iar cele fără masaj se aleg din 6 tratamente, $C_{6}^{3} = 20$ ; $15 + 20 = 35$ . Pachetele cu 0, 1, ..., 7 tratamente sunt $1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128$ .

Exemplul 2 — Analiza laptelui

Domeniu: zootehnie.

Enunț. O fermă are 12 vaci, dintre care 4 au fost tratate luna trecută pentru mastită. Veterinarul alege 5 vaci pentru analiza laptelui. a) Câte grupuri de 5 vaci sunt posibile? b) Câte conțin cel puțin o vacă tratată? c) Câte conțin exact două vaci tratate?

Rezolvare. a) Grupul de 5 vaci nu are ordine, iar vacile sunt diferite: $C_{12}^{5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 !} = \frac{95 040}{120} = 792$ grupuri. b) La „cel puțin una” scazi grupurile fără nicio vacă tratată, adică cele 5 vaci alese din cele 8 netratate: $C_{8}^{5} = 56$ , deci $792 - 56 = 736$ grupuri. c) Grupul are două părți: vacile tratate și cele netratate. Cele două vaci tratate se aleg din 4, iar celelalte trei din cele 8 netratate. Alegerile se fac pe etape, deci se înmulțesc: $C_{4}^{2} \cdot C_{8}^{3} = 6 \cdot 56 = 336$ grupuri.

Capcană. Cine numără „cel puțin una” ca „o vacă tratată, apoi oricare patru din restul de 11” obține $4 \cdot C_{11}^{4} = 4 \cdot 330 = 1320$ . Rezultatul depășește totalul de 792, fiindcă un grup cu două vaci tratate e numărat de două ori, iar unul cu trei, de trei ori.

Verificare. După numărul vacilor tratate, grupurile sunt $56 + 280 + 336 + 112 + 8 = 792$ , cu $4 \cdot C_{8}^{4} = 280$ , $C_{4}^{3} \cdot C_{8}^{2} = 112$ și $C_{4}^{4} \cdot C_{8}^{1} = 8$ pentru 1, 3 și 4 vaci tratate.

Exemplul 3 — Paleții coborâți cu liftul camionului

Domeniu: auto.

Enunț. Un depozit are de livrat azi 12 paleți, pentru 12 clienți diferiți: 7 paleți au câte 0,72 t, 3 au câte 860 kg, iar 2 au câte 1,05 t. Clienții nu au rampă, așa că fiecare palet se coboară la destinație cu liftul hidraulic al camionului, care ridică cel mult 900 kg. Camionul are sarcina utilă de 3,5 t și ia la o cursă 4 paleți. a) Câți paleți pot fi livrați cu acest camion? b) În câte moduri se pot alege dintre ei cei 4 paleți ai primei curse? c) Rămâne orice astfel de încărcătură în sarcina utilă?

Rezolvare. a) Masele se compară în aceeași unitate: 0,72 t = 720 kg și 1,05 t = 1050 kg. Liftul coboară paleții de 720 kg și de 860 kg, dar nu și pe cei de 1050 kg, deci rămân $7 + 3 = 10$ paleți. b) Contează care paleți pleacă, nu ordinea în care se urcă, deci alegi 4 din 10: $C_{10}^{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 !} = \frac{5040}{24} = 210$ de moduri. c) Cea mai grea încărcătură are cei 3 paleți de 860 kg și unul de 720 kg: $3 \cdot 860 + 720 = 3300$ kg, sub cele 3500 kg ale camionului, deci orice alegere încape.

Capcană. Cine compară 1,05 cu 900 fără să treacă la aceeași unitate crede că și paleții de 1,05 t încap pe lift și alege 4 paleți din 12: $C_{12}^{4} = 495$ de moduri. Un palet de 1050 kg ar depăși însă limita liftului cu 150 kg.

Verificare. Împarte alegerile după câți paleți de 860 kg conțin: niciunul, $C_{7}^{4} = 35$ ; unul, $3 \cdot C_{7}^{3} = 105$ ; doi, $C_{3}^{2} \cdot C_{7}^{2} = 63$ ; trei, $C_{7}^{1} = 7$ . Rezultă $35 + 105 + 63 + 7 = 210$ .

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: expresii, echipe, submulțimi

Domeniu: electric.

Enunț. În probele 2013–2026, cerințele despre combinări au avut trei forme; aici datele sunt altele. a) Calculați $6 C_{5}^{2} - A_{4}^{2}$ . b) Determinați în câte moduri poate fi alcătuită o echipă de 4 electricieni dintre cei 8 aflați la dispoziția unui șef de tură. c) Arătați că mulțimea $B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ are tot atâtea submulțimi cu 2 elemente câte are cu 4 elemente.

Rezolvare. a) Calculezi întâi cele două numere, apoi expresia: $C_{5}^{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ și $A_{4}^{2} = 4 \cdot 3 = 12$ , deci $6 \cdot 10 - 12 = 48$ . b) Echipa nu are ordine, iar patru persoane diferite se aleg dintre opt: $C_{8}^{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 !} = \frac{1680}{24} = 70$ moduri. c) Numărul submulțimilor cu 2 elemente este $C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ , iar al celor cu 4 elemente este $C_{6}^{4} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{4 !} = \frac{360}{24} = 15$ . Cele două numere sunt egale, ceea ce era de arătat.

Capcană. La b), cine folosește $A_{8}^{4} = 1680$ numără fiecare echipă de $4! = 24$ de ori, câte o dată pentru fiecare ordine a celor patru electricieni.

Verificare. Echipele care îl au pe cel mai vechi electrician sunt $C_{7}^{3} = 35$ , iar cele fără el $C_{7}^{4} = 35$ ; $35 + 35 = 70$ . La c), alegerea celor 4 elemente înseamnă alegerea celor 2 care rămân în afară, deci cele două numere trebuie să coincidă.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează $C_{8}^{2}$ , $C_{10}^{3}$ , $C_{12}^{4}$ și $C_{9}^{9}$ .

2. Un salon are 6 culori de lac de unghii, iar clienta alege 2 culori diferite pentru un set. a) Câte seturi sunt? b) Câte ar fi, dacă ar conta ordinea straturilor, bază și deasupra?

3. O patiserie are 9 sortimente de prăjituri, iar o cutie conține 4 sortimente diferite. Câte cutii diferite se pot face?

4. Un punct de colectare are 10 containere, fiecare plin sau gol. a) Câte stări posibile are? b) În câte dintre ele sunt pline exact 3 containere?

Nivelul 2 — situații

5. Un atelier are 8 mecanici și formează o echipă de 3. a) Câte echipe conțin șeful tehnic? b) Câte echipe se pot forma, dacă doi mecanici anume nu pot lucra împreună?

6. Șina unui tablou are 10 locuri libere, iar electricianul montează 3 diferențiale identice, în locuri la alegere. a) În câte moduri? b) Dar dacă primul loc rămâne liber?

7. Un fermier are 6 parcele, de 2,4 ha, 3,1 ha, 3,8 ha, 4,5 ha, 5,2 ha și 6,3 ha. Anul acesta seamănă rapiță pe 3 dintre ele, iar contractul cu fabrica de ulei cere cel puțin 10 ha și cel mult 12 ha de rapiță. a) Câte alegeri de 3 parcele există? b) Câte respectă contractul?

8. O agenție are 9 obiective turistice. Într-un weekend se vizitează 3 sâmbătă și alte 3 duminică, în orice ordine în fiecare zi. În câte moduri se poate alege programul?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați $2 C_{7}^{3} - A_{6}^{2}$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați în câte moduri poate fi alcătuită o echipă de 5 elevi dintre cei 11 aflați la dispoziția unui maistru instructor.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ are tot atâtea submulțimi cu 3 elemente câte are cu 4 elemente.

12. (Sinteză.) Salonul din lecție acordă reducere pachetelor de 3 tratamente care conțin cel puțin un tratament pentru păr (tuns, vopsit sau coafat). a) Câte pachete au reducere? b) Câte pachete nu conțin manichiura și pedichiura împreună? c) Câte au reducere și nu conțin manichiura?

Răspunsuri și verificări

1. $C_{8}^{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ , $C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ , $C_{12}^{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24} = 495$ , $C_{9}^{9} = 1$ . Verificare: după un element anume, $C_{10}^{3} = C_{9}^{2} + C_{9}^{3} = 36 + 84 = 120$ .

2. a) $C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ seturi. b) $A_{6}^{2} = 6 \cdot 5 = 30$ seturi. Verificare: $30 : 2 = 15$ , fiindcă fiecare set apare în două ordini.

3. $C_{9}^{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24} = 126$ cutii. Verificare: cutiile care conțin un sortiment anume sunt $C_{8}^{3} = 56$ , iar cele fără el $C_{8}^{4} = 70$ ; $56 + 70 = 126$ .

4. a) Fiecare container este plin sau gol: $2^{10} = 1024$ stări. b) Se aleg cele 3 pline: $C_{10}^{3} = 120$ stări. Verificare: după primele două containere: ambele pline, $C_{8}^{1} = 8$ ; unul singur plin, $2 \cdot C_{8}^{2} = 56$ ; niciunul, $C_{8}^{3} = 56$ ; $8 + 56 + 56 = 120$ .

5. a) Șeful tehnic e impus, iar ceilalți doi se aleg din 7: $C_{7}^{2} = 21$ echipe. b) Toate echipele sunt $C_{8}^{3} = 56$ ; cele cu ambii mecanici incompatibili sunt $C_{6}^{1} = 6$ ; rămân $56 - 6 = 50$ . Verificare: echipele fără niciunul dintre cei doi sunt $C_{6}^{3} = 20$ , iar cele cu exact unul $2 \cdot C_{6}^{2} = 30$ ; $20 + 30 = 50$ .

6. a) $C_{10}^{3} = 120$ moduri. b) Locurile se aleg din cele 9 rămase: $C_{9}^{3} = 84$ moduri. Verificare: $120 - 84 = 36 = C_{9}^{2}$ , adică alegerile care folosesc primul loc.

7. a) $C_{6}^{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20$ de alegeri. b) Cu parcela de 2,4 ha, celelalte două trebuie să aibă între 7,6 și 9,6 ha: 3,1 + 4,5, 3,1 + 5,2, 3,1 + 6,3, 3,8 + 4,5 și 3,8 + 5,2, adică 5 alegeri. Fără ea merge numai $3, 1 + 3, 8 + 4, 5 = 11, 4$ ha. Respectă contractul $5 + 1 = 6$ alegeri; una dintre ele, $2, 4 + 3, 1 + 4, 5$ , dă exact 10 ha. Verificare: sub 10 ha e numai $2, 4 + 3, 1 + 3, 8 = 9, 3$ ha, iar peste 12 ha sunt 4 alegeri cu parcela de 2,4 ha și 9 fără ea; $20 - 1 - 13 = 6$ .

8. Sâmbătă se aleg 3 obiective din 9: $C_{9}^{3} = 84$ . Duminică se aleg 3 din cele 6 rămase: $C_{6}^{3} = 20$ . Alegerile se înmulțesc: $84 \cdot 20 = 1680$ programe. Verificare: aleg întâi cele 6 obiective ale weekendului, în $C_{9}^{6} = 84$ moduri, apoi le împart în două grupe de 3, în $C_{6}^{3} = 20$ moduri.

9. $C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$ . $A_{6}^{2} = 6 \cdot 5 = 30$ . $2 \cdot 35 - 30 = 70 - 30 = 40$ . Verificare: $C_{7}^{3} = C_{7}^{4} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{24} = 35$ .

10. Echipa nu are ordine, deci sunt combinări de 11 luate câte 5. $C_{11}^{5} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 !} = \frac{55 440}{120} = 462$ . Sunt 462 de moduri. Verificare: echipele cu un elev anume sunt $C_{10}^{4} = 210$ , iar cele fără el $C_{10}^{5} = 252$ ; $210 + 252 = 462$ .

11. Numărul submulțimilor cu 3 elemente este $C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 !} = 35$ . Numărul celor cu 4 elemente este $C_{7}^{4} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 !} = \frac{840}{24} = 35$ . Cele două numere sunt egale. Verificare: alegerea celor 4 elemente înseamnă alegerea celor 3 rămase în afară.

12. a) Toate pachetele sunt $C_{7}^{3} = 35$ ; cele fără niciun tratament pentru păr se aleg din cele 4 rămase (manichiură, pedichiură, masaj, epilare): $C_{4}^{3} = 4$ . Au reducere $35 - 4 = 31$ pachete. b) Pachetele cu ambele tratamente au al treilea tratament ales din 5: $C_{5}^{1} = 5$ . Nu le conțin împreună $35 - 5 = 30$ pachete. c) Fără manichiură se aleg 3 din 6 tratamente: $C_{6}^{3} = 20$ ; fără reducere sunt cele din pedichiură, masaj și epilare, $C_{3}^{3} = 1$ . Rămân $20 - 1 = 19$ pachete. Verificare: după numărul tratamentelor pentru păr, a) dă $3 \cdot C_{4}^{2} + C_{3}^{2} \cdot 4 + 1 = 18 + 12 + 1 = 31$ , iar c) dă $3 \cdot C_{3}^{2} + C_{3}^{2} \cdot 3 + 1 = 19$ .

Așa vine la Bac M3

Trei probe oficiale ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) au avut o cerință cu combinări: modelul din 2013, simularea din 2016 și simularea din 2021, toate pe locul al patrulea al Subiectului I. Cele 29 de probe din 2022–2026 nu mai au niciuna. Cele trei cerințe au trei forme diferite, câte una în fiecare probă, și toate se rezolvă cu formula combinărilor sau cu definiția lor.

Modelul din 2013, Subiectul I, exercițiul 4: se cere valoarea unei expresii cu un număr de combinări și unul de aranjamente, $5 C_{4}^{2} - A_{5}^{2}$ , deci pasul 4 din Metodă, aici partea cu combinări: din cele 5 puncte ale baremului, 2 se dau pentru $C_{4}^{2} = 6$ , alte 2 pentru $A_{5}^{2} = 20$ și 1 pentru rezultatul 10.
Simularea din 2016, Subiectul I, exercițiul 4: se cere numărul echipelor de 5 elevi dintre cei 6 ai unui antrenor, deci pasul 2 din Metodă, fiindcă ordinea nu contează: baremul probei dă 3 puncte pentru $C_{6}^{5} = \frac{6 !}{5 ! ( 6 - 5 )!}$ și 2 puncte pentru rezultatul 6.
Simularea din 2021, Subiectul I, exercițiul 4: se cere să arăți că mulțimea ${1, 2, 3, 4, 5}$ are tot atâtea submulțimi cu 2 elemente câte are cu 3, deci pasul 4 din Metodă, aplicat de două ori: baremul probei dă 2 puncte pentru $C_{5}^{2} = \frac{5 !}{3 ! 2 !} = 10$ și 3 puncte pentru $C_{5}^{3} = 10$ și concluzie.

Exercițiile 9, 10 și 11 exersează aceste trei forme, cu numere proprii. Cerința din 2021 nu cere o formulă nouă, ci o comparare: calculezi cele două numere și constați că sunt egale.

Greșeli care costă puncte

La pachetele cu masaj impus scazi 1 doar din $n$ , nu și din $k$ , și scrii $C_{6}^{3} = 20$ în loc de $C_{6}^{2} = 15$ → pachetele cu masaj și cele fără el trebuie să dea împreună 35, iar $20 + 20 = 40$ .
La „cel puțin una” numeri o vacă tratată și oricare patru din rest → un rezultat mai mare decât totalul, ca 1320 față de 792, arată dublă numărare; folosește complementul.
Compari 1,05 t cu 900 kg fără să treci la aceeași unitate și urci pe lift paleți de 1050 kg → scrii toate masele în kilograme înainte de comparare.
Uiți submulțimea vidă sau pe cea cu toate elementele, când numeri toate submulțimile → compară cu suma celor $C_{7}^{k}$ ; la 7 tratamente trebuie 128, nu 126.
La programul de weekend alegi și duminica din toate cele 9 obiective și obții $84 \cdot 84 = 7056$ , cu programe care repetă un obiectiv → obiectivele de sâmbătă ies din listă, deci duminica alegi din 6: $84 \cdot 20 = 1680$ .

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, numărarea combinărilor și a submulțimilor face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a X-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 3 probe.

Întrebări frecvente

Cât de des au cerut combinări probele Bacalaureatului M3?

De trei ori în cele 83 de probe din 2013–2026, în 2013, 2016 și 2021, de fiecare dată la a patra cerință a Subiectului I. Prima a cerut valoarea unei expresii cu $C_{4}^{2}$ și $A_{5}^{2}$ , a doua numărul echipelor de 5 elevi dintre 6, iar a treia egalitatea dintre numărul submulțimilor cu 2 elemente și al celor cu 3 ale unei mulțimi cu 5 elemente.

Câte pachete de trei tratamente ar avea salonul dacă ar adăuga al optulea tratament?

Ar avea $C_{8}^{3} = 56$ de pachete, cu $56 - 35 = 21$ mai multe. Cele 21 de pachete noi sunt cele care conțin tratamentul nou, iar celelalte două tratamente se aleg din cele șapte vechi: $C_{7}^{2} = 21$ . Legătura aceasta dintre $C_{8}^{3}$ , $C_{7}^{3}$ și $C_{7}^{2}$ se continuă în lecția despre triunghiul lui Pascal.

Câte pachete ar vinde salonul dacă ar accepta orice număr de tratamente, de la unul la șapte?

Ar vinde $2^{7} - 1 = 127$ de pachete: din cele 128 de alegeri de tratamente se scoate alegerea fără niciun tratament, fiindcă un pachet gol nu se poate vinde, iar ea e una singură. Același număr iese adunând pachetele pe mărimi, $7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 127$ .

Cum verifică recepționera că fișa are toate pachetele?

Scrie pachetele în ordinea tratamentelor din tabel și le grupează după primul tratament din fiecare pachet. Cu tunsul încep $C_{6}^{2} = 15$ pachete, cu vopsitul $C_{5}^{2} = 10$ , cu coafatul $C_{4}^{2} = 6$ , cu manichiura $C_{3}^{2} = 3$ , iar cu pedichiura unul singur. Rezultă $15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35$ ; dacă o grupă are mai puține pachete, lipsește unul.

Numărul pachetelor arată și câți clienți încap într-o zi?

Nu. El spune câte combinații există, nu cât timp ocupă. Într-un cabinet de 8 ore, cel mai scurt pachet, tuns, coafat și epilare, durează $42 + 38 + 34 = 114$ minute, deci încap cel mult 4 clienți pe zi, iar cel mai lung, de 254 de minute, lasă loc pentru un singur client.

Cât costă cel mai ieftin și cel mai scump pachet?

Cel mai ieftin pachet este tuns, manichiură și epilare: $68 + 83 + 66 = 217$ lei. Cel mai scump este vopsit, pedichiură și masaj facial: $214 + 112 + 97 = 423$ lei. Prețul oricărui pachet din cele 35 se află între aceste două valori, iar prețul se calculează ca sumă, nu ca produs.