Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcții compuse: lanț de conversii

Cum scriu într-o formulă un lanț de conversii?

Înlocuiești fiecare etapă în următoarea, din interior spre exterior, iar formula $g (f (x))$ ține locul ambelor etape. Exemplu: $f (x) = 6, 5 x$ EUR pentru $x$ kg și $g (y) = 4, 95 y$ lei pentru $y$ EUR dau $g (f (x)) = 4, 95 \cdot 6, 5 x = 32, 175 x$ lei. Proba: pentru $x = 10$ , $65$ EUR înseamnă $321, 75$ lei, la fel ca $32, 175 \cdot 10$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Când ieșirea unei funcții $f$ este intrarea unei funcții $g$ , lanțul lor este funcția compusă $g \circ f$ , definită prin $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ . Calculezi întâi funcția din dreapta, apoi pe cea din stânga, aplicată rezultatului. Fiecare etapă are unitatea ei de intrare și de ieșire, iar ieșirea unei etape trebuie să se potrivească cu intrarea celei următoare.

Formula compusă se obține înlocuind din interior spre exterior. Dacă toate etapele sunt înmulțiri, factorii lor se înmulțesc. Dacă la ultima etapă se adaugă o constantă, ea rămâne termen liber în formulă; o constantă adăugată într-o etapă timpurie este transformată de etapele următoare. Domeniul se scrie în unitatea primei etape, cu respectarea condițiilor fiecărei funcții, de pildă a unei comenzi minime.

Ordinea contează, fiindcă $g \circ f$ și $f \circ g$ sunt în general funcții diferite. Pentru o formulă dată, identifici operațiile aplicate lui $x$ , în ordinea lor. La problema inversă desfaci lanțul de la coadă: operația opusă ultimei etape, apoi a penultimei.

Rotunjirea vine o dată, la sfârșit, cu sensul impus de context: în sus la pachete, la două zecimale la bani. Verifici calculând valoarea etapă cu etapă și cu formula compusă; cele două rezultate trebuie să coincidă.

De reținut

$(g \circ f) (x) = g (f (x))$ : întâi $f$ , apoi $g$
ordinea contează: $g \circ f \neq = f \circ g$ în general
rotunjești o singură dată, la capătul lanțului

Greșeala tipică

Se aplică întâi funcția din stânga: pentru $f (x) = 2 x + 1$ și $g (y) = 3 y$ se scrie $2 \cdot (3 x) + 1 = 6 x + 1$ , în loc de $g (f (x)) = 3 (2 x + 1) = 6 x + 3$ . Funcția din dreapta lucrează prima.

Exerciții din această mini-lecție

Un tâmplar cumpără lac pentru dulapuri din lemn. Dintr-un recipient de $x$ litri rezultă masa $f (x) = 0, 92 x$ kg de lac, iar $g (m) = 31 m$ lei este costul a $m$ kg. Care expresie dă costul în lei al unui recipient de $x$ litri?
- a) $(g \circ f) (x)$
- b) $(f \circ g) (x)$
- c) $f (x) \cdot g (x)$
- d) $f (x) + g (x)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(g \circ f) (x)$

Întâi calculezi masa, $f (x)$ , apoi costul acelei mase: $g (f (x)) = 31 \cdot 0, 92 x = 28, 52 x$ lei. Expresia $(f \circ g) (x)$ ar aplica $f$ unui număr de lei, deși $f$ așteaptă litri. Produsul $f (x) \cdot g (x)$ înmulțește kilograme cu lei, iar suma $f (x) + g (x)$ adună kilograme cu lei, deci nu au sens ca lanț.
La vopsitul părului, un salon folosește $f (n) = 3, 5 n + 8$ ml de vopsea pentru $n$ suvițe, din care $8$ ml pentru amestecul de bază, iar $g (v) = 0, 45 v$ lei este costul a $v$ ml de vopsea. Cât costă vopseaua pentru $12$ suvițe?
- a) $26, 9$ lei
- b) $18, 9$ lei
- c) $22, 5$ lei
- d) $50$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $22, 5$ lei

Întâi cantitatea: $f (12) = 3, 5 \cdot 12 + 8 = 50$ ml, apoi costul: $g (50) = 0, 45 \cdot 50 = 22, 5$ lei. Varianta $26, 9$ lei aplică funcțiile în ordine inversă, $f (g (12))$ . Varianta $18, 9$ lei uită cei $8$ ml de amestec, iar $50$ este cantitatea în ml, nu costul în lei.
Un patiser pregătește $x$ prăjituri după o rețetă care cere $f (x) = 30 x + 80$ g de unt, din care $80$ g pentru ungerea tăvii. Costul untului, în lei, este $g (m) = 0, 04 m - 2$ pentru $m$ grame, adică $40$ lei/kg, unde $2$ lei este un voucher scăzut o singură dată. Care este formula costului untului pentru $x$ prăjituri?
- a) $1, 2 x + 1, 2$
- b) $1, 2 x + 20$
- c) $1, 2 x + 3, 2$
- d) $1, 2 x + 78$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1, 2 x + 1, 2$

Costul este $g (f (x)) = 0, 04 (30 x + 80) - 2 = 1, 2 x + 3, 2 - 2 = 1, 2 x + 1, 2$ : cei $80$ g trec prin înmulțirea cu $0, 04$ , iar voucherul se scade o singură dată, la sfârșit. Formula $1, 2 x + 20$ aplică funcțiile în ordine inversă, $f (g (x))$ . Formula $1, 2 x + 3, 2$ uită voucherul, iar $1, 2 x + 78$ adună termenii liberi $80$ și $- 2$ fără ca $80$ să fie înmulțit cu $0, 04$ .

Întrebări conexe

Cum verific formula compusă a unui lanț?

Calculezi aceeași valoare pe două drumuri: etapă cu etapă și cu formula compusă. Pentru $f (x) = 2, 4 x$ și $g (y) = 5, 02 y$ , formula este $12, 048 x$ . La $x = 5$ , etapele dau $12$ , apoi $60, 24$ , iar formula dă $12, 048 \cdot 5 = 60, 24$ , la fel.

Pot schimba ordinea a două etape din lanț?

La înmulțiri simple ordinea nu schimbă rezultatul, dar când o etapă adaugă o constantă, da. Pentru $u (z) = z + 50$ și $w (z) = 2 z$ avem $u (w (10)) = 70$ , în timp ce $w (u (10)) = 120$ . Ordinea o dau unitățile și locul în care apare adaosul.

Cum împart o formulă dată în etape?

Urmărești operațiile aplicate lui $x$ , în ordinea lor. La $1, 19 (x + 25)$ se adaugă întâi $25$ , apoi suma se înmulțește cu $1, 19$ ; la $1, 19 x + 25$ se înmulțește întâi, apoi se adaugă $25$ . Operația aplicată prima lui $x$ aparține funcției din dreapta.

Cum rotunjesc rezultatul unui lanț lung?

Păstrezi toate zecimalele până la capăt și rotunjești o singură dată, în sensul cerut: în sus la pachete și piese întregi, la două zecimale la bani. Pentru $7, 2$ kg împărțiți în pachete de $2$ kg ai $3, 6$ pachete, deci comanzi $4$ pachete, nu $3$ .

Cum compun trei funcții, nu două?

Compui câte două funcții, de la dreapta spre stânga, fără să sari peste vreo etapă: $h (g (f (x)))$ . Pentru $f (x) = 2 x$ , $g (y) = y + 3$ și $h (z) = 5 z$ , avem $g (f (x)) = 2 x + 3$ , apoi $h (g (f (x))) = 10 x + 15$ . Verifici cu o valoare: $x = 1$ dă $25$ pe ambele drumuri.

Oamenii mai întreabă și: formula pentru mai multe conversii la rând · cum compun lei, euro și kilograme · o singură formulă pentru un lanț de calcul · compunerea funcțiilor la prețuri