Funcții compuse: conversii în lanț, tehnologic

Un preț de raft nu apare dintr-o dată: pornește de la factura furnizorului, trece prin curs valutar, prin transport, prin ambalare. Fiecare etapă este o mică funcție, iar lanțul lor este o funcție compusă. Scrii lanțul într-o singură formulă și îl citești și înapoi: asta înseamnă compunerea funcțiilor la clasa a IX-a de la tehnologic. Compunerea funcțiilor se află în programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Un magazin alimentar din Oradea importă ulei de măsline de la un producător din Grecia. Factura vine în euro și se plătește din contul în lei, la cursul băncii; transportul de la depozitul de grupaj din Arad se plătește separat, în lei, o singură dată pe comandă. Producătorul primește comenzi de cel puțin 300 EUR. Contabilul magazinului a scris fiecare etapă a calculului, cu regula și cu unitățile ei.

Pentru comanda de azi, de 150 L, contabilul vrea suma de plată în lei și o formulă pe care s-o poată folosi la orice comandă, ca să nu refacă calculul de fiecare dată.

Întrebare: cât costă în lei comanda de 150 L, ce formulă dă costul unei comenzi de $x$ litri și de la câți litri se poate comanda?

De la situație la model

Dacă ieșirea unei funcții $f$ este intrarea unei funcții $g$, $g\circ f$ se numește compusa funcției $g$ cu funcția $f$ și se definește prin $(g\circ f)(x)=g(f(x))$: calculezi întâi $f$, apoi $g$ pe rezultat. Se citește „$g$ compus cu $f$”, iar funcția din dreapta lucrează prima. Compusa există pentru acei $x$ la care $f(x)$ intră în domeniul lui $g$.

Cum scrii lanțul într-o singură formulă?

Înlocuiești, din interior spre exterior. Pentru $T=h\circ g\circ f$ ai $f(x)=7,5x$, apoi $g(f(x))=5,04\cdot 7,5x=37,8x$, apoi $h(g(f(x)))=37,8x+126$. Formula $T(x)=37,8x+126$ ține locul celor trei pași: fiecare litru costă 37,8 lei, iar transportul se adaugă o singură dată.

Ce se întâmplă cu formula când etapele sunt de gradul I?

Compusa a două funcții de gradul I este tot de gradul I: pentru $f(x)=ax+b$ și $g(y)=cy+d$ obții $(g\circ f)(x)=c(ax+b)+d=acx+(cb+d)$. Panta se înmulțește, iar termenul liber se transformă. La ulei, $7,5\cdot 5,04=37,8$ este panta, iar transportul rămâne termenul liber. Dacă una dintre etape ridică la pătrat, compusa nu mai e de gradul I, cum vezi la exercițiul 10.

De ce contează ordinea?

Unitățile o impun. Funcția $g$ primește euro; dacă îi dai litri, nu are sens. Chiar când două funcții lucrează cu aceeași unitate, ordinea schimbă rezultatul: pentru $u(z)=z+126$ și $w(z)=1,5z$ avem $u(w(100))=276$, dar $w(u(100))=339$. De aceea $g\circ f$ și $f\circ g$ sunt, în general, funcții diferite.

Ce rămâne din domeniu?

Producătorul nu primește comenzi sub 300 EUR. Condiția $f(x)\ge 300$ înseamnă $7,5x\ge 300$, deci $x\ge 40$. Domeniul lui $T$ este $[40;+\infty )$, nu toți $x$ pozitivi.

Cum descompui o formulă în etape?

Te întrebi ce i se face lui $x$, în ordine. La prețul $1,21(x+19)$ lei, unde $x$ e valoarea mărfii și 19 lei e livrarea, întâi se adaugă livrarea, apoi TVA-ul: etapele sunt $x\mapsto x+19$ și $A\mapsto 1,21A$. La $1,21x+19$ ordinea e inversă: TVA doar pe marfă, apoi livrarea. Prima operație făcută lui $x$ este funcția din dreapta în $g\circ f$.

Cum citești lanțul înapoi?

Dacă știi suma de plată $c$ și vrei litrii, desfaci lanțul de la coadă: scazi transportul, împarți la curs, împarți la preț. Echivalent, rezolvi $T(x)=c$, adică $37,8x+126=c$.

Metoda pas cu pas

1. Scrie fiecare etapă ca funcție, cu formula ei și cu unitățile de intrare și de ieșire. Notează și domeniul fiecărei funcții, dacă situația îl impune: o comandă minimă sau o cantitate care nu poate fi negativă. Un tabel cu coloanele „intră” și „iese”, ca în situația de pornire, te ajută să nu pierzi nicio conversie.
2. Verifică lanțul: unitatea de ieșire a fiecărei funcții trebuie să fie unitatea de intrare a următoarei. Dacă nu se potrivește, ai greșit ordinea sau lipsește o conversie. Ordinea mai urmează și locul în care acționează fiecare element, de pildă o pierdere care apare înaintea unui reductor.
3. Compune de la prima etapă la ultima: înlocuiește în fiecare formulă rezultatul etapei de dinainte și simplifică. Dacă toate etapele sunt înmulțiri, coeficienții se înmulțesc între ei; o adunare de la ultima etapă rămâne termen liber, iar una de mai devreme se transformă prin etapele care urmează.
4. Scrie domeniul: valorile unei etape trebuie să cadă în domeniul etapei următoare, de pildă comanda minimă sau mărimile nenegative. Domeniul compusei se scrie în unitatea primei etape, cu cantitatea de la intrare, nu cu cea de la ieșire.
5. Calculează pentru valoarea dată, etapă cu etapă, apoi cu formula compusă. Rotunjește o singură dată, la final, în sensul cerut de situație: în sus pentru pachete, în jos pentru piese întregi.
6. La problema inversă, desfă lanțul de la coadă, aplicând operația opusă ultimei etape, apoi penultimei, și tot așa. Dacă problema cere o inecuație pe lanț, o rezolvi pentru formula compusă și apoi o raportezi la domeniul din pasul 4. Verifică înlocuind rezultatul în lanțul de la început: trebuie să regăsești datele problemei.

Fișa de buzunar

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

$$f(x)=ax,g(y)=by\Rightarrow (g\circ f)(x)=abx$$

Se aplică numai la $x$ pentru care $f(x)$ este în domeniul lui $g$, iar ordinea contează: $g\circ f\ne f\circ g$ în general. O adunare de la ultima etapă, ca $+126$, rămâne termen liber; una făcută mai devreme trece prin etapele de după ea, ca $-40$ la transportor, care devine $-5$. Verificare rapidă: calculează întâi $f(x)$, apoi $g$ pe rezultat, și compară cu formula compusă.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Comanda de ulei, de la litri la lei

Domeniu: comert.

Enunț. Folosește tabelul din situația de pornire. a) Cât costă în lei comanda de 150 L? b) Scrie formula $T(x)$ pentru orice comandă și domeniul ei. c) Cât costă cea mai mică comandă acceptată? d) Cum se schimbă formula dacă transportul urcă la 150 lei?

Rezolvare. a) Pasul 1 dă $f(150)=7,5\cdot 150=1125$ EUR, peste minimul de 300 EUR. Pasul 2 dă $g(1125)=5,04\cdot 1125=5670$ lei. Pasul 3 adaugă transportul: $T(150)=5670+126=5796$ lei.

b) $T(x)=37,8x+126$, cu $x\ge 40$, fiindcă $7,5x\ge 300$ înseamnă $x\ge 40$. Cu formula, $T(150)=37,8\cdot 150+126=5796$ lei.

c) Comanda minimă este de 40 L, adică 300 EUR: $T(40)=37,8\cdot 40+126=1638$ lei.

d) Transportul e doar termenul liber: $T(x)=37,8x+150$. Panta, 37,8 lei pe litru, rămâne aceeași, fiindcă nu depinde de transport.

Capcană. Cine adună transportul de 126 la suma în euro, înainte de conversie, calculează $5,04\cdot (1125+126)=6305,04$ lei. Rezultatul e cu 509,04 lei prea mare: transportul e în lei, deci intră abia după ce suma a trecut în lei.

Verificare. Pe alt drum, costul mediu al unui litru: $5796:150=38,64$ lei, iar $37,8+\frac{126}{150}=37,8+0,84=38,64$ lei. Pentru 40 L, 300 EUR înseamnă $300\cdot 5,04=1512$ lei, plus 126 lei de transport: 1638 lei.

Exemplul 2 — Parchet laminat pentru o cameră

Domeniu: constructii.

Enunț. O cameră are 24,6 m². Pierderile la tăiere sunt de 7 %, iar un pachet de parchet laminat are 2,22 m² și costă 118 lei. a) Câte pachete trebuie comandate? b) Cât costă ele? c) Dar pentru o cameră de 31,2 m²?

Rezolvare. a) Lanțul are două etape: suprafața de comandat, $f(A)=1,07A$, în m², și numărul de pachete, $g(S)=S:2,22$. Compusa este $(g\circ f)(A)=\frac{1,07A}{2,22}$. Pentru $A=24,6$: $f(24,6)=26,322$ m², iar $26,322:2,22\approx 11,86$ pachete. Un pachet întreg nu se rupe, deci se comandă 12 pachete.

b) 12 pachete costă $12\cdot 118=1416$ lei.

c) Pentru $A=31,2$: $f(31,2)=33,384$ m², iar $33,384:2,22\approx 15,04$. Chiar dacă depășirea e mică, 15 pachete acoperă doar $15\cdot 2,22=33,3$ m², sub 33,384 m², deci se comandă 16 pachete.

Capcană. Cine rotunjește la fiecare etapă, 26,322 m² la 27 m², obține $27:2,22\approx 12,16$, adică 13 pachete și 1534 lei, cu 118 lei mai mult. Rotunjirea se face o singură dată, la capătul lanțului.

Verificare. Cele 12 pachete acoperă $12\cdot 2,22=26,64$ m², mai mult decât 26,322 m² necesari, iar 11 pachete, cu $11\cdot 2,22=24,42$ m², n-ar ajunge.

Exemplul 3 — Banda unui transportor

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un motor alimentat prin convertizor e reglat la 1440 rot/min și mișcă o bandă printr-un reductor. Sub sarcină, motorul pierde 40 rot/min prin alunecare; reductorul împarte turația la 16; tamburul are perimetrul de 0,94 m, deci banda avansează 0,94 m la fiecare rotație; piesele stau pe bandă la 0,47 m una de alta. a) Câte piese trec pe minut? b) Câte piese pe oră? c) Ce se obține dacă alunecarea se scade după reductor?

Rezolvare. a) Etapele sunt $s(x)=x-40$, $r(y)=\frac{y}{16}$, $v(n)=0,94n$ și $p(w)=\frac{w}{0,47}$. Pentru $x=1440$: $s=1400$, $r=87,5$ rot/min, $v=82,25$ m/min, $p=175$ piese pe minut. Formula compusă este $P(x)=\frac{x-40}{16}\cdot \frac{0,94}{0,47}=\frac{x-40}{8}$, iar $P(1440)=\frac{1400}{8}=175$.

b) O oră are 60 min, deci $175\cdot 60=10500$ piese pe oră. Coeficientul $\frac{1}{8}$ din formulă arată că banda cere 8 rotații ale motorului, după alunecare, pentru fiecare piesă.

c) Dacă alunecarea s-ar scădea după reductor, $\frac{1440}{16}-40=50$ rot/min, apoi $50\cdot 0,94=47$ m/min și $47:0,47=100$ piese pe minut.

Capcană. Rezultatul de 100 piese pe minut, față de 175, vine din ordinea schimbată. Alunecarea se petrece la motor, înaintea reductorului, deci se scade din 1440, nu din 90 rot/min de la tambur: ordinea funcțiilor urmează locul în care acționează fiecare element.

Verificare. Pe alt drum: 175 de piese, la 0,47 m una de alta, acoperă $175\cdot 0,47=82,25$ m în fiecare minut, exact viteza benzii. Formula $\frac{x-40}{8}$ dă același 175.

Exemplul 4 — Problema inversă: câte pizza ies din făina rămasă

Domeniu: alimentar.

Enunț. De data aceasta pornești de la stoc și afli câte bucăți ies. O pizzerie folosește 280 g de aluat la o pizza, iar aluatul are 62 % făină, în masă. În stoc au rămas 75 kg de făină. Câte pizza poate face? Câtă făină rămâne după ele?

Rezolvare. Lanțul direct pornește de la numărul de pizza $x$: aluatul $a(x)=280x$ g, făina $w(d)=0,62d$ g și apoi kg $k(m)=\frac{m}{1000}$. Compusa este $F(x)=\frac{0,62\cdot 280x}{1000}=0,1736x$ kg. Cerem $F(x)\le 75$, adică $x\le \frac{75}{0,1736}\approx 432,03$. Desfăcut de la coadă: $75\cdot 1000=75000$ g de făină, $75000:0,62\approx 120968$ g de aluat, $120968:280\approx 432,03$. Se pot face 432 de pizza, fără rotunjire în sus. Rămân $75-74,9952=0,0048$ kg, adică 4,8 g de făină.

Capcană. Cine merge înapoi cu operațiile directe, adică înmulțește cu 0,62 în loc să împartă, obține $\frac{75000\cdot 0,62}{280}\approx 166$ de pizza. Pe drumul invers fiecare operație se inversează: înmulțirea devine împărțire.

Verificare. $F(432)=0,1736\cdot 432=74,9952$ kg, sub 75 kg, iar $F(433)=0,1736\cdot 433=75,1688$ kg, peste stoc. Deci 432 este cel mai mare număr întreg.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Funcția $f(x)=100x$ transformă metrii în centimetri, iar $g(y)=10y$ centimetrii în milimetri. Scrie $g\circ f$ și calculează $(g\circ f)(2,35)$. De ce nu are sens $f\circ g$ ca lanț de lungimi?

2. Fie $f(x)=9x+14$ și $g(y)=4y-21$. Scrie $(g\circ f)(x)$ și $(f\circ g)(x)$ și calculează ambele pentru $x=6$. Sunt egale?

3. Fie $f(x)=x-17$ și $g(y)=y^2$. Scrie $(g\circ f)(x)$ și $(f\circ g)(x)$, apoi calculează-le pentru $x=20$.

4. Un furnizor acceptă numai comenzi de cel puțin 200 EUR. Prețul este $f(x)=6,4x$ EUR pentru $x$ litri, iar $g(y)=5,04y$ transformă euro în lei, pentru $y\ge 200$. Pentru ce $x$ există $(g\circ f)(x)$?

Nivelul 2 — situații

5. Un electrician montează într-un depozit 24 de corpuri de iluminat LED de 36 W, aprinse 11 ore pe zi, 30 de zile pe lună, iar energia costă 0,90 lei/kWh. Scrie lanțul de la numărul de corpuri la costul lunar și află cât costă iluminatul, rotunjit la bani.

6. Pe un teren de 7,8 ha se aplică 320 L de soluție pe hectar. Soluția se prepară dintr-un concentrat, câte 1 L de concentrat la 40 L de soluție, iar concentratul se vinde în bidoane de 5 L. Scrie lanțul de la hectare la bidoane și află câte bidoane se comandă.

7. Un instalator încălzește 100 L de apă, cu 4,18 kJ pentru fiecare litru și fiecare grad. Apoi 1 kWh = 3600 kJ, iar energia costă 0,90 lei/kWh. Scrie lanțul de la creșterea de temperatură, în °C, la cost, în lei. Cât costă încălzirea de la 15 °C la 55 °C și ce creștere de temperatură costă 5 lei?

8. Un punct de colectare a PET-urilor a strâns, în lunile 1, 2, 3 și 4, câte 410, 465, 520 și 585 kg, conform tabelului. Centrul de reciclare plătește 0,48 lei/kg și scade 150 lei transport pe lună. Câți lei rămân în fiecare lună, iar de la ce lună rămân peste 100 lei?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Un alt furnizor cere 8 EUR/L, primește comenzi de cel puțin 400 EUR, cursul este 5,05 lei/EUR, iar transportul este de 160 lei. a) Scrieți costul $T(x)$ al unei comenzi de $x$ litri. b) Determinați domeniul lui $T$. c) Determinați pentru ce $x$ costul nu depășește 4200 lei.

10. (Sinteză.) O cameră pătrată are latura de $x$ metri, iar parchetul costă 40 lei/m². Fie $f(x)=x^2$, aria în m², și $g(A)=40A$, costul în lei. a) Scrieți $g\circ f$. b) Calculați costul pentru $x=4,6$. c) Determinați latura pentru care costul este de 1000 lei.

11. (Sinteză.) O bancă vinde euro cu 5,10 lei și îi cumpără cu 4,98 lei. Fie $f(x)=\frac{x}{5,10}$, euro obținuți din $x$ lei, și $g(y)=4,98y$, lei obținuți din $y$ euro. a) Arătați că $(g\circ f)(x)=\frac{83}{85}x$. b) Aflați câți lei rămân din 1000 lei schimbați la bancă și imediat înapoi.

12. (Sinteză.) Graficul funcției $f:[0;24]\to \mathbb{R}$ dă temperatura aerului de afară, în °C, la ora $t$: linia frântă prin $(0;16)$, $(6;13)$, $(15;31)$ și $(24;16)$. Compresorul unei camere frigorifice cere puterea $g(\theta )=0,15\theta +1,3$ kW când afară sunt $\theta$ °C. a) Calculați $(g\circ f)(6)$ și $(g\circ f)(15)$. b) Determinați între ce valori stă puterea cerută în cursul zilei. c) Determinați orele la care puterea cerută este de 4 kW.

Răspunsuri și verificări

1. $(g\circ f)(x)=10\cdot 100x=1000x$, deci $(g\circ f)(2,35)=2350$ mm. Funcția $g$ primește centimetri, iar $f\circ g$ i-ar da milimetri, unde $f$ așteaptă metri. Verificare: $2,35$ m $=235$ cm $=2350$ mm.

2. $(g\circ f)(x)=4(9x+14)-21=36x+35$ și $(f\circ g)(x)=9(4x-21)+14=36x-175$. Pentru $x=6$ obținem $251$, respectiv $41$: nu sunt egale. Verificare: $f(6)=68$, $g(68)=251$ și $g(6)=3$, $f(3)=41$.

3. $(g\circ f)(x)=(x-17{)}^2=x^2-34x+289$ și $(f\circ g)(x)=x^2-17$. Pentru $x=20$: $9$ și $383$. Verificare: $f(20)=3$, $g(3)=9$, iar $g(20)=400$, $f(400)=383$.

4. Cerem $f(x)\ge 200$, adică $6,4x\ge 200$, deci $x\ge 31,25$ L. Compusa există pentru $x\in [31,25;+\infty )$, în litri. În lei, comanda minimă costă $5,04\cdot 200=1008$ lei. Verificare: $6,4\cdot 31,25=200$ EUR.

5. Lanțul este $n\mapsto 36n$ W, apoi $\frac{36n\cdot 11\cdot 30}{1000}=11,88n$ kWh pe lună și $0,9\cdot 11,88n=10,692n$ lei. Pentru $n=24$: $10,692\cdot 24=256,608$, adică $256,61$ lei. Verificare: $24\cdot 36=864$ W, adică $0,864$ kW; $0,864\cdot 330=285,12$ kWh, iar $285,12\cdot 0,9=256,608$ lei.

6. Lanțul este $7,8\cdot 320=2496$ L de soluție, $2496:40=62,4$ L de concentrat și $62,4:5=12,48$ bidoane. Se comandă 13 bidoane de 5 L, pentru cele 7,8 ha. Verificare: 12 bidoane, adică 60 L, n-ar ajunge pentru 62,4 L.

7. Lanțul este $418\Delta t$ kJ, apoi $\frac{418\Delta t}{3600}$ kWh și, în fine, $0,9\cdot \frac{418\Delta t}{3600}=0,1045\Delta t$ lei. Pentru $\Delta t=40$ °C: $4,18$ lei. Pentru 5 lei: $\Delta t=\frac{5}{0,1045}\approx 47,85$ °C. Verificare: $0,1045\cdot 40=4,18$.

8. Rămân $0,48\cdot 410-150=46,8$; $73,2$; $99,6$ și $130,8$ lei. Peste 100 lei rămân abia din luna 4. Verificare: în luna 3, $0,48\cdot 520=249,6$, iar $249,6-150=99,6<100$.

9. a) $T(x)=5,05\cdot 8x+160=40,4x+160$. b) Din $8x\ge 400$ rezultă $x\ge 50$, deci domeniul este $[50;+\infty )$. c) Din $40,4x+160\le 4200$ rezultă $x\le 100$, deci $x\in [50;100]$ litri. Verificare: $T(100)=4040+160=4200$ lei.

10. a) $(g\circ f)(x)=40x^2$. b) $40\cdot 4,6^2=40\cdot 21,16=846,4$ lei. c) $40x^2=1000$ dă $x^2=25$, deci $x=5$ m. Verificare: $40\cdot 25=1000$.

11. a) $(g\circ f)(x)=4,98\cdot \frac{x}{5,10}=\frac{498}{510}x=\frac{83}{85}x$. b) $\frac{83}{85}\cdot 1000\approx 976,47$ lei, deci banca reține $1000-976,47=23,53$ lei. Verificare: $1000:5,10\approx 196,08$ EUR, iar $196,08\cdot 4,98\approx 976,48$; ban-ul în plus vine din rotunjirea intermediară.

12. a) $f(6)=13$, deci $(g\circ f)(6)=0,15\cdot 13+1,3=3,25$ kW; $f(15)=31$, deci $(g\circ f)(15)=5,95$ kW. b) Pe grafic $f$ ia valori între 13 și 31 °C, iar $g$ crește, deci puterea stă între $3,25$ și $5,95$ kW. c) $0,15\theta +1,3=4$ dă $\theta =18$ °C. Pe $[6;15]$ temperatura urcă 2 °C pe oră, deci $t=6+2,5=8,5$, adică 8:30. Pe $[15;24]$ coboară $\frac{15}{9}$ °C pe oră, deci $t=15+13\cdot \frac{9}{15}=22,8$, adică 22:48. Verificare: $f(8,5)=13+2\cdot 2,5=18$ și $g(18)=2,7+1,3=4$.

Așa vine la Bac M3

Compunerea funcțiilor figurează în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Pe lista conținuturilor pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), la clasa a IX-a, blocul „Funcții; lecturi grafice” se încheie cu ea, împreună cu exemplele de funcții numerice.

Niciuna dintre cele 1494 de cerințe din indexul făcut pe cele 83 de probe oficiale nu are compunerea funcțiilor drept temă. Simbolul $\circ$ apare în enunțuri numai la legi de compoziție, definite pe mulțimi de numere reale, subiect de clasa a XII-a; la funcții, niciodată. Prin urmare, secțiunea nu are trimiteri la probe și nici cerințe-model.

Exercițiile 9–12 sunt sinteze: lanțuri cu inecuații și domenii, o rădăcină pătrată și un grafic citit, fără să imite o cerință de examen. Pentru funcțiile de gradul I din lanț vezi funcția de gradul I, iar inecuațiile de gradul I te ajută la exercițiul 9; la exercițiul 12 revezi citirea graficului. Tema vecină din același bloc, periodicitatea, e în funcțiile periodice. Alte teme găsești în lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Aduni transportul de 126 lei la suma în euro, înainte de conversie → obții 6305,04 lei în loc de 5796 lei; cum o prinzi: verifici la fiecare pas unitatea, iar un număr în lei nu se adaugă la unul în euro.
• Citești $g\circ f$ de la stânga la dreapta, adică aplici întâi $g$ → ordinea e inversată, iar rezultatul pe lanțul de conversii nu mai are unitatea cerută; cum o prinzi: compusa începe cu funcția din dreapta, pe care o calculezi prima.
• Rotunjești la fiecare etapă, 26,322 m² la 27 m² → comanzi 13 pachete în loc de 12; cum o prinzi: păstrezi toate zecimalele pe lanț și rotunjești o singură dată, la final.
• Scazi alunecarea motorului după reductor → obții 100 piese pe minut în loc de 175; cum o prinzi: ordinea etapelor urmează locul unde acționează fiecare element și se verifică pe schemă.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: compunerea funcțiilor numerice face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.3 (funcții, limite și derivate) la profilul MAT_P4.

Întrebări frecvente

Ce se schimbă în formulă dacă banca urcă cursul la 5,10 lei/EUR? Se schimbă doar panta, fiindcă ea e produsul dintre preț și curs: $7,5\cdot 5,10=38,25$ lei pe litru, deci $T(x)=38,25x+126$. Transportul rămâne termen liber. Comanda de 150 L ajunge la $5737,5+126=5863,5$ lei, cu 67,5 lei mai mult decât la cursul de 5,04.

Ce se întâmplă dacă vreau să comand mai puțin de 40 L? Funcția compusă nu mai există pentru acea valoare, deoarece pasul 1 dă sub 300 EUR, iar producătorul nu primește comanda. Cu 39 L ai $7,5\cdot 39=292,5$ EUR, sub minim. Formula $37,8x+126$ ar da un număr, dar fără sens în situație.

Cum aflu costul pentru 1000 L fără să refac cei trei pași? Folosești formula compusă: $T(1000)=37,8\cdot 1000+126=37926$ lei. Merge pentru că 1000 L dau 7500 EUR, deci comanda e peste minimul de 300 EUR. Pe un lanț lung, formula compusă te scutește de calcule intermediare și de greșeli de unitate.

Cum aflu câți litri pot lua cu 3000 lei? Desfaci lanțul de la coadă, adică rezolvi $37,8x+126=3000$, cu operațiile inverse în ordinea inversă: scazi transportul, $3000-126=2874$ lei, apoi împarți la curs, $2874:5,04\approx 570,2$ EUR, și la preț, $570,2:7,5\approx 76,03$ L. Rezultatul e peste minimul de 40 L, deci comanda se poate face.

Este compunerea funcțiilor același lucru cu legea de compoziție de la Bacalaureatul M3? Nu. Legea de compoziție, cu simbolul $\circ$ sau $\ast$, este o operație între două numere reale și apare la clasa a XII-a. Compunerea funcțiilor aplică o funcție rezultatului alteia. Ea este în programa M_tehnologic a clasei a IX-a, în blocul despre funcții; nu a apărut în cele 83 de probe oficiale, dar, fiind în programă, poate fi cerută.